張一航,蓋 磊

(1.中國(guó)海洋大學(xué) 海洋與大氣學(xué)院,山東 青島 266100；2.中國(guó)海洋大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，山東 青島 266100)

1913年，布拉格父子在研究X射線在晶面上的反射時(shí)得到了著名的布拉格公式。自此之后，布拉格衍射在分析晶體結(jié)構(gòu)等方面得到了廣泛的應(yīng)用[1,2]。微波同X射線一樣也是電磁波，其波長(zhǎng)相對(duì)較長(zhǎng)，可以采用晶格常數(shù)為厘米量級(jí)的模擬晶體進(jìn)行微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證布拉格公式[3]。

使用(100)晶面進(jìn)行布拉格實(shí)驗(yàn)，當(dāng)入射角較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)數(shù)個(gè)不符合布拉格公式的異常峰值。由于微波本身并不是平面波，而是球面波，出射微波存在一定的張角，當(dāng)入射角較大時(shí)，出射微波可能被接收喇叭直接接收到。據(jù)此分析，異常峰值的出現(xiàn)，可能為反射波與出射微波直接作用，發(fā)生干涉加強(qiáng)所致。為驗(yàn)證此分析，進(jìn)行了理論推導(dǎo)，求得了出射微波能被直接接收的臨界入射角，并在其約束下求得了異常峰值出現(xiàn)的理論角度值。

就此問(wèn)題，已進(jìn)行過(guò)的研究在求解臨界角時(shí)只考慮了發(fā)射喇叭的張角[4]，未考慮接收喇叭的接收范圍，這會(huì)使求得的臨界角偏大、約束條件過(guò)于嚴(yán)格，不能解釋實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的所有異常峰值。文章在確定臨界角時(shí)，綜合考慮了發(fā)射喇叭和接收喇叭張角的影響，推算了更為精確的臨界角，在其約束下，對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的所有異常峰值進(jìn)行了解釋。

1 實(shí)驗(yàn)條件

采用DH926B微波實(shí)驗(yàn)儀，(100)型模擬晶面陣的晶格常數(shù)d=4.0 cm，微波波長(zhǎng)λ=3.303 cm。

用(100)型模擬晶面陣作為散射點(diǎn)陣面時(shí)，以60°為起始角度、以1°為間隔改變?nèi)肷浣铅?，測(cè)量每一φ值對(duì)應(yīng)的電流強(qiáng)度I[5]。

2 異常峰值產(chǎn)生的原理

2.1 原理綜述

用發(fā)射喇叭直接發(fā)射出的微波干涉加強(qiáng)后能產(chǎn)生明顯異常峰值的反射波有兩種，一種是第一層晶面上的反射波，一種是第二層晶面上的反射波[4]。

第一層晶面上的反射波與發(fā)射喇叭直接發(fā)射的微波干涉加強(qiáng)產(chǎn)生的異常峰值的入射角為φ1，第二層晶面上的反射波與發(fā)射喇叭直接發(fā)射的微波干涉加強(qiáng)產(chǎn)生的異常峰值的入射角為φ2，發(fā)射喇叭射出的微波可不經(jīng)反射直接被接收喇叭接收到的臨界入射角為φ0。驗(yàn)證上述異常峰值成因分析的合理性，歸結(jié)為驗(yàn)證在φ0的約束下，求得的φ1和φ2的理論值能否與實(shí)測(cè)中異常峰值出現(xiàn)的角度吻合。因此求解φ0、φ1、φ2是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。以下先求解φ0，然后在φ0的約束下，求解φ1、φ2的理論值。

2.2 φ0的求解

發(fā)射喇叭、接收喇叭的臂長(zhǎng)分別為l1和l2，發(fā)射喇叭到接收喇叭的距離為l(l取決于入射角，是未知量)，發(fā)射喇叭、接收喇叭的張角為α(發(fā)射喇叭、接收喇叭同規(guī)格，張角相等)，接收喇叭的喇叭口寬為a。經(jīng)測(cè)量得：l1=60.5 cm，l2=61.0 cm，α=40.0°，A=10.0 cm。在綜合考慮發(fā)射喇叭和接收喇叭張角影響的情況下，接收喇叭能夠直接接收到發(fā)射喇叭發(fā)射出的微波的臨界狀態(tài)如圖1所示。

圖1 臨界狀態(tài)

在圖1中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，CD=a/2=5 cm,AB=l，∠AOB=2φ0，∠OAC=∠OBC=α/2，由于∠OAC=∠OBC，故O、A、B、C四點(diǎn)共圓，從而有∠ACB=∠AOB=2φ0。

在ΔABC中，由正弦定理，有：

(1)

其中：

(2)

在ΔAOB中，由正弦定理，有：

(3)

在ΔAOB中，由余弦定理，有：

(4)

聯(lián)立(1)(2)(3)(4)式解得臨界角φ0=64.08°。

2.3 φ1的理論值

如圖2所示，在圖2中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，AB=l，∠AOB=2φ1，取空氣的折射率n=1[6,7]，并考慮微波在氣體-固體界面上反射時(shí)的半波損失[8,9]，則第一層晶面的反射波與直接射出的微波的波程差：

圖2 第一層晶面反射產(chǎn)生異常峰值的狀態(tài)

(5)

由余弦定理：

(6)

當(dāng)兩微波波程差Δ1滿足：

Δ1=kλ(k∈N)

(7)

時(shí)，兩微波相干加強(qiáng)，將產(chǎn)生異常峰值。

記φij為φI在k=j時(shí)的解(i=1,2；j∈N)，聯(lián)立(5)(6)(7)式，并考慮約束條件φ1>φ0，解得此情況下異常峰值的對(duì)應(yīng)入射角為：φ10=80.54°(k=0)，φ11=73.58°(k=1)，φ12=68.75°(k=2)。其中約束條件φ1>φ0起到了控制k的取值的作用，在該條件的約束下，自然數(shù)k的最大取值為2。

2.4 φ2的理論值

如圖3所示，在圖3中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，AB=l，∠AOB=2φ2，取空氣的折射率n=1，并考慮微波在氣體-固體界面上反射時(shí)的半波損失，則第二層晶面的反射波與直接射出的微波的波程差：

圖3 第二層晶面反射產(chǎn)生異常峰值的狀態(tài)

(8)

由余弦定理：

(9)

當(dāng)兩微波波程差Δ2滿足：

Δ2=kλ(k∈N)(10)

時(shí)，兩微波相干加強(qiáng)，將產(chǎn)生異常峰值。

聯(lián)立(8)(9)(10)式，并考慮約束條件φ2>φ0，解得此情況下異常峰值的對(duì)應(yīng)入射角為：φ20=83.59°(k=0)，φ21=76.93°(k=1)，φ22=72.20°(k=2)，φ23=68.31°(k=3)。其中約束條件φ2>φ0同樣起控制k的取值的作用，在該條件的約束下，自然數(shù)k的最大取值為3。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

將實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)到的I、φ值繪制成I～φ曲線圖(如圖4所示)。為方便觀察較小的數(shù)值，同時(shí)繪制出I～φ曲線在70°～77°范圍內(nèi)的局部放大圖(如圖5所示)。

φ/°

φ/°

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，實(shí)測(cè)中出現(xiàn)異常峰值的角度為：68°，72°，73°，76°，80°，84°。

前文理論推導(dǎo)中異常峰值出現(xiàn)的理論角度值總結(jié)表1和表2所示。

表1 第一層晶面反射產(chǎn)生的異常峰值

表2 第二層晶面反射產(chǎn)生的異常峰值

將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)異常峰值的角度與表1、表2中出現(xiàn)異常峰值的理論值進(jìn)行對(duì)比，可得表3。

表3 異常峰值出現(xiàn)的實(shí)際角度與理論角度的對(duì)比

可見(jiàn)，除68°處以外，在每一個(gè)異常峰出現(xiàn)的理論角度附近，都實(shí)測(cè)到了一個(gè)異常峰，異常峰值出現(xiàn)角度的實(shí)際值與理論值的最大誤差也在1°以內(nèi)，實(shí)測(cè)值和理論值基本可以吻合。

在68°處附近，異常峰值有兩個(gè)理論解，但實(shí)測(cè)中僅在68°處測(cè)得一個(gè)異常峰值，這是因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)異常峰值出現(xiàn)的角度相差很小時(shí)，受實(shí)驗(yàn)儀器精度、環(huán)境干擾等因素的影響，測(cè)量時(shí)兩個(gè)峰值可能會(huì)發(fā)生重疊[10，11]。由于在68°處測(cè)得的異常峰值與理論值φ23、φ12的誤差均在1°以內(nèi)，故68°處的實(shí)測(cè)值與理論值也基本可以吻合。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

綜上所述，基于“發(fā)射喇叭直射的微波與反射微波發(fā)生干涉加強(qiáng)”這一分析推導(dǎo)得出的異常峰值出現(xiàn)角度的理論值與實(shí)際值基本吻合，其最大誤差也在1°以內(nèi)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的所有異常峰值均可以得到合理的解釋，由此證明了微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)中的異常峰值正是由于發(fā)射微波是球面波，當(dāng)入射角大于某一臨界角時(shí)，接收喇叭不僅能接收到反射微波，還能接收到發(fā)射喇叭直接發(fā)出的微波，二者干涉加強(qiáng)所導(dǎo)致的。

值得指出的是，在推導(dǎo)臨界入射角φ0的值時(shí)，同時(shí)考慮發(fā)射喇叭和接收喇叭的張角對(duì)充分解釋實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的所有異常峰值至關(guān)重要。若在推導(dǎo)時(shí)不考慮接收喇叭的張角，求得的φ0值將為71.08°，比考慮接收喇叭張角時(shí)求得的值明顯偏大。求得的φ0偏大，會(huì)使求解φ1、φ2的約束條件更加嚴(yán)格，使得φ12、φ23兩個(gè)理論解不滿足方程的約束條件，致使68°處實(shí)測(cè)到的異常峰值無(wú)法得到合理的解釋。因此，在分析異常峰值成因的過(guò)程中采用的綜合考慮發(fā)射喇叭和接收喇叭張角計(jì)算臨界入射角的方法具有一定的實(shí)際意義。