呂欣然，張 萌，馬 麗，王 彪

(西南大學 物理科學與技術學院學校，重慶 400715)

近年來，國內(nèi)學者聚焦于研究基于特定條件下的耦合形式的耦合擺振動[1]，但針對韋氏耦合形式的振轉(zhuǎn)耦合振子的研究仍然較少。而國外對于韋氏擺現(xiàn)有的研究均是基于已有公式推導出的特定條件下的韋氏擺裝置所測試的數(shù)據(jù)，其可推廣性有待提高。

1 研究內(nèi)容與方法

對于韋氏擺運動，其主要是由一個彈簧和一個重物(帶側(cè)耳的剛性圓柱)組成的彈簧振子，重物可以在彈簧的作用下作豎直方向的伸縮簡諧振動(豎直方向位移為x)，也可以作水平面內(nèi)的往復扭轉(zhuǎn)運動(水平扭轉(zhuǎn)角度為θ)[2]。

抬升擺錘至平衡位置之上后釋放，擺錘將沿彈簧中心線進行上下振蕩。經(jīng)過3～5 s無明顯扭動的上下振動后，擺錘在水平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)幅度逐漸增大，而豎直方向的振動幅度逐漸減小，直至停止上下振動。此時擺錘在水平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)幅度最大，角度可達180°以上。經(jīng)過3～5 s的水平扭轉(zhuǎn)運動后，擺錘再次逐漸開始上下振動，如此周期性地重復上下振動與水平往復扭轉(zhuǎn)運動的轉(zhuǎn)換過程。

1.1 理論模型分析

對于韋氏擺運動，其主要是由一個彈簧和一個重物(帶側(cè)耳的剛性圓柱)組成的彈簧振子，重物可以在彈簧的作用下作豎直方向的伸縮簡諧振動(豎直方向位移為x)，也可以作水平面內(nèi)的往復扭轉(zhuǎn)運動(水平扭轉(zhuǎn)角度為θ)。

抬升擺錘至平衡位置之上后釋放，擺錘將沿彈簧中心線進行上下振蕩。經(jīng)過3～5 s無明顯扭動的上下振動后，擺錘在水平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)幅度逐漸增大，而豎直方向的振動幅度逐漸減小，直至停止上下振動。此時擺錘在水平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)幅度最大，角度可達180°以上。經(jīng)過3～5 s的水平扭轉(zhuǎn)運動后，擺錘再次逐漸開始上下振動，如此周期性地重復上下振動與水平往復扭轉(zhuǎn)運動的轉(zhuǎn)換過程。

1.1.1 共振頻率條件

當外界周期性驅(qū)動力的頻率等于彈簧的固有頻率時，系統(tǒng)振幅可達最大，此即共振現(xiàn)象。韋氏擺的運動是由豎直和水平兩種模態(tài)的運動耦合而成，因此存在兩個自由度，對于每個模態(tài)都其有對應的特征頻率解。豎直振動與水平扭轉(zhuǎn)運動都存在各自的固有頻率，特征頻率由固有頻率耦合而成。運動中，擺錘對外表現(xiàn)的合運動頻率均可由兩種固有頻率經(jīng)不同程度的耦合得到。豎直方向振動的固有頻率為ωz，水平方向扭轉(zhuǎn)運動的固有頻率為ωθ。兩種振動模態(tài)互為各自周期性驅(qū)動力。因此，當ωz與ωθ趨于相等時，兩模態(tài)均可趨近振幅最大的共振狀態(tài)。此時擺錘對外表現(xiàn)的合運動頻率亦為特征頻率。

1.1.2 彈簧系數(shù)條件

為更好地滿足韋氏擺共振的頻率條件，韋氏擺裝置中使用的彈簧也需滿足一定條件。下面進行推導。

對與擺錘相比，自身質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量可忽略不計的理想彈簧來說，其豎直方向振動固有頻率與水平面內(nèi)扭轉(zhuǎn)角頻率分別為

(1)

(2)

式中，m和I分別為重物的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量。其中，彈簧的勁度系數(shù)k與扭轉(zhuǎn)系數(shù)δ可寫作下式：

(3)

(4)

(G：剪切模量，E：楊氏模量，d：彈簧導線直徑，D：平均線圈直徑，n：繞組數(shù))[3]合并兩式可以得到彈簧的線圈直徑與彈簧的彈性參數(shù)與剛度參數(shù)間滿足以下關系式：

(5)

由前分析可知，韋氏擺達到共振需要滿足

ωz=ωθ

(6)

將式(1)～(5)帶入可得彈簧與重物之間需滿足的參數(shù)關系。這對于挑選重物與彈簧組裝韋氏擺裝置有一定的指導意義。

1.2 建立動力學模型

對一根柔軟彈簧，其勁度系數(shù)為k，扭轉(zhuǎn)系數(shù)為δ。彈簧下端懸掛一質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動慣量為I的重錘。以彈簧平衡位置為原點，建立空間柱坐標系，z為縱坐標，θ為水平方向角度坐標。寫出系統(tǒng)拉格朗日方程：

(7)

(8)

(9)

若使韋氏擺達到共振情況，需滿足

(10)

(11)

(12)

將所求得的特征頻率表達式帶入式(8)、(9)中，可得韋氏擺豎直方向振動軌跡方程(13)與水平面內(nèi)扭轉(zhuǎn)振動方程(14)：

(13)

(14)

2 實驗驗證

2.1 實驗準備

實驗器材：重錘、不同質(zhì)量的螺帽、鐵皮卷、不同規(guī)格的彈簧、游標卡尺、三線擺轉(zhuǎn)動慣量測量儀、高鐵架臺。

實驗中所采用的重錘上的螺桿可以通過組裝質(zhì)量不同的螺帽或鐵皮卷進行配重，也通過改變配重在螺桿上的距離改變轉(zhuǎn)動慣量。

為了更好地用tracker進行追蹤，在螺桿上粘貼輕質(zhì)紅色標記，以利于水平扭轉(zhuǎn)追蹤；在重錘底部粘貼白色細條標記，以利于豎直振動追蹤。

2.2 運動模態(tài)的周期性轉(zhuǎn)化行為

同等條件下，在鐵架臺底部和正對鐵架臺處安置拍攝裝置同時進行拍攝，保證拍攝平面與物體運動平面平行。實驗中利用tracker在豎直振動模式和水平扭轉(zhuǎn)模式下追蹤示意圖如圖1所示。

圖1 Tracker追蹤圖

將同一條件下兩種模式的tracker追蹤所得Z-t圖與θ-t圖進行擬合，擬合結(jié)果如圖2所示。

圖2 豎直方向與水平方向軌跡追蹤圖

需要注意的是，此圖中因兩者的縱坐標不同，無法定量比較，因此只需關注兩者橫坐標的關系?？梢园l(fā)現(xiàn)，韋氏擺運動過程中其豎直振動與水平扭轉(zhuǎn)運動確實存在周期上的相互轉(zhuǎn)化。當豎直振動達到最弱時，水平扭轉(zhuǎn)運動也相應達到最強；而隨著水平扭轉(zhuǎn)運動的減弱，豎直振動也對應增強。

2.3 理論模型驗證

將tracker追蹤得到的豎直運動數(shù)據(jù)導入matlab進行傅里葉頻譜分析，得到結(jié)果如圖3所示。根據(jù)理論分析可知，圖中兩個尖峰值處所對應的橫坐標即為韋氏擺運動的兩個特征頻率F1和F2，從而得到特征角頻率ω1、ω2。

圖3 傅里葉頻譜分析圖

根據(jù)建立的韋氏擺豎直振動理論軌跡公式，將初始條件和特征角頻率帶入，通過matlab繪制函數(shù)(圖4)，與實際振動曲線(圖5)進行同等標度擬合，擬合結(jié)果如圖6所示，在誤差范圍內(nèi)以及理論建模時不考慮能量耗散的前提下，發(fā)現(xiàn)在拍頻、平均角頻率、耦合振幅上擬合效果良好。

圖4 Matlab繪制理論運動軌跡

圖5 實際運動軌跡

圖6 實驗運動軌跡與理論運動方程等標度擬合

2.4 不同參數(shù)對運動的影響

證明韋氏擺運動存在水平和豎直兩種模式間的周期性轉(zhuǎn)化現(xiàn)象后，采用控制變量法探究不同參數(shù)對韋氏擺運動的影響。

2.4.1 初始條件z0

初始條件z0對運動的影響。在其他條件相同時，黃色軌跡在距離平衡點18 cm處釋放，藍色軌跡在20 cm處釋放，將兩者進行進行同等標度擬合，得到圖7。分析其運動軌跡，發(fā)現(xiàn)兩者的波包最大振幅與z0成正比，拍頻、平均頻率和耦合振幅幾乎不變。

圖7 不同z0情況下的軌跡對比圖

2.4.2 初始條件θ0

初始條件θ0對運動的影響。在其他條件相同時，藍色軌跡在距離平衡位置2π處釋放，紅色軌跡在距離平衡位置4π處釋放，將兩者進行進行同等標度擬合，得到圖8。分析其運動軌跡，發(fā)現(xiàn)兩者的波包最大振幅與θ0成正比，拍頻、平均頻率和耦合振幅幾乎不變。因此，初始條件z0和θ0主要影響表征分運動強度的波包最大振幅，對表征運動轉(zhuǎn)化的耦合振幅影響不大。

圖8 不同θ0情況下軌跡對比

2.4.3 轉(zhuǎn)動慣量I

在其他條件相同時，如圖9所示，三條軌跡中擺錘的轉(zhuǎn)動慣量分別為1.65 gm2,1.55 gm2和1.48 gm2。分析其運動軌跡，發(fā)現(xiàn)其與初始條件Z0和θ0對運動影響不同的是，轉(zhuǎn)動慣量I的改變不僅影響運動的波包最大振幅，還會影響豎直振動和水平轉(zhuǎn)動的耦合情況。

圖9 不同轉(zhuǎn)動慣量I下運動軌跡對比

根據(jù)理論模型，系統(tǒng)要實現(xiàn)運動完全轉(zhuǎn)化的韋氏擺現(xiàn)象，豎直振動和水平轉(zhuǎn)動的固有頻率需滿足相等關系，即(6)式。求解該等式，可以得到實驗中實現(xiàn)韋氏擺共振現(xiàn)象所需滿足的擺錘理論轉(zhuǎn)動慣量，為1.5 gm2。三種情況中，紫色軌跡擺錘轉(zhuǎn)動慣量最接近理論值，因此，其耦合振幅最小，運動在兩種模式間的轉(zhuǎn)化也更徹底。

同時可以發(fā)現(xiàn)，隨著實驗轉(zhuǎn)動慣量值與理論值的差值增大，其運動軌跡的包絡現(xiàn)象越發(fā)不明顯，有趨于簡諧振動的趨勢。這也說明了韋氏擺是彈簧振子結(jié)構(gòu)中的一種特殊情況，當韋氏擺結(jié)構(gòu)中的擺錘滿足特定條件時，才會有韋氏擺共振現(xiàn)象出現(xiàn)。

3 結(jié) 語

通過實驗驗證了韋氏擺動力學模型，研究了不同參數(shù)對韋氏擺運動的影響，但仍存在一定不足：模型構(gòu)建未充分考量空氣阻力、連接處摩擦在內(nèi)的衰減系數(shù)，無法定量計算對于振動的衰減及衰減程度；這也是未來實驗將改進的一個方向。

近年教育改革政策的出臺，國家不斷加大對教育方面的投入，高校規(guī)模呈現(xiàn)了擴容之勢。隨著教育質(zhì)量的不斷提高，教育資金投入的不斷增大，各大高校的實驗內(nèi)容也會增加。韋氏耦合運動有望成為大學物理實驗中重要項目。韋氏擺運動研究對于大眾科普和中小學教育同樣具有重要意義。利用該裝置，科普工作者可以進行耦合運動與能量守恒轉(zhuǎn)化現(xiàn)象的科學普及。