黃霏月，陳新光，陳水源，郭永健，黃志高，葉晴瑩

(1.福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院，福建 福州 350117；2.福建師范大學(xué)附屬中學(xué)，福建 福州 350007)

導(dǎo)體球具有高度對(duì)稱性，因此常常作為電磁學(xué)問題的研究對(duì)象．在達(dá)到靜電平衡時(shí)，凈電荷僅分布于導(dǎo)體外表面．若帶電導(dǎo)體球繞定軸勻速旋轉(zhuǎn)，其周圍將形成一定的磁場，對(duì)此類磁場的求解是一種典型的靜磁場邊值問題，傳統(tǒng)的解法利用磁矢勢或磁標(biāo)勢結(jié)合邊界條件解拉普拉斯方程或泊松方程，其計(jì)算過程相對(duì)繁瑣[1-2];文獻(xiàn)[3]在基于磁場疊加原理的基礎(chǔ)上，巧妙地借助了磁矢勢、電場強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度之間的特殊關(guān)系，利用積分的方法求得帶電球體的磁場全空間解析解，為此類問題的求解提供了新的方法．本文嘗試分析導(dǎo)體球面的電荷在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中其軌道運(yùn)動(dòng)的情況，由此出發(fā)，從而求出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球磁場的空間分布，為求解此類問題提供了一個(gè)新的方法．并利用Comsol有限元軟件對(duì)該問題進(jìn)行數(shù)值模擬，從仿真模擬的視角進(jìn)行對(duì)比分析，以期達(dá)到驗(yàn)證理論分析結(jié)果準(zhǔn)確性的目的．

1 方程及求解

1.1 電荷軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩

為便于計(jì)算，假設(shè)半徑為R的導(dǎo)體球面均勻分布著電荷，面電荷密度為σ，導(dǎo)體球以均勻角速度ω繞其直徑旋轉(zhuǎn)，討論其全空間磁場分布．以球心為原點(diǎn)o，轉(zhuǎn)軸為極軸，建立圖1所示的球坐標(biāo)系．當(dāng)球體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球面上的電荷以球面為運(yùn)動(dòng)軌道做定向運(yùn)動(dòng)，電荷運(yùn)動(dòng)的軌道角動(dòng)量為

圖1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球示意圖

(1)

原子中電子的軌道運(yùn)動(dòng)將產(chǎn)生磁矩，在玻爾氫原子模型中，電子在閉合的圓軌道上以角動(dòng)量L繞原子核運(yùn)動(dòng)，閉合軌道上的電子運(yùn)動(dòng)形成一個(gè)小電流環(huán)，由經(jīng)典電磁學(xué)知識(shí)可知，這樣的一個(gè)小電流環(huán)可以看作一個(gè)磁偶極子，其磁偶極矩為

ul=ISn，

(2)

其中，I是電流環(huán)的電流，S是電流環(huán)所包圍的面積，n是該電流環(huán)所包圍面積的法向單位矢量.設(shè)電子軌道運(yùn)動(dòng)的半徑為r，電子繞核運(yùn)動(dòng)的線速度為v，則有

(3)

式(3)即為電子軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁矩[4]．

類比電子軌道磁矩的推導(dǎo)過程可推得電荷軌道運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的磁矩與軌道角動(dòng)量的關(guān)系為

(4)

式中Q為軌道運(yùn)動(dòng)電荷的總電荷量，L為電荷運(yùn)動(dòng)的軌道角動(dòng)量．

對(duì)上述所討論的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球而言，其總電荷量為

Q=4πR2σ，

(5)

將式(1)、式(5)代入式(4)可得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)球面電荷的軌道磁矩為

(6)

1.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球的磁感應(yīng)強(qiáng)度

1.2.1 球面外部(r>R)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

帶電導(dǎo)體球球面上的電荷繞軸做定向運(yùn)動(dòng)激發(fā)的磁場，等效于與圓心在同一直線上半徑不同的一系列圓形電流所產(chǎn)生的磁場[5]．磁偶極子在場點(diǎn)r處產(chǎn)生的磁矢勢為

(7)

對(duì)于球坐標(biāo)有

(8)

將式(7)代入式(8)，對(duì)磁矢勢求旋度可得r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(9)

將式(6)代入式(9)整理后可得

(10)

式(10)即為以直徑為轉(zhuǎn)軸，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電導(dǎo)體球球面外部各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

1.2.2 球面內(nèi)部(r

對(duì)于R～R+dR的球殼，當(dāng)其足夠薄時(shí)，可近似看成一個(gè)球面，球面的面電荷密度σ=ρdr，其中ρ為球殼的體電荷密度.

球面電荷軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁矩為

(11)

(12)

比較式(11) 、 (12) 可得:均勻旋轉(zhuǎn)帶電導(dǎo)體球球面等效成均勻磁化介質(zhì)球的等效磁化強(qiáng)度為

M=Rσωez.

(13)

(14)

式(14)即以直徑為轉(zhuǎn)軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電導(dǎo)體球球面內(nèi)部各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

綜合式(10)、(14)可得

(15)

式(15)即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電導(dǎo)體球空間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布．

2 基于Comsol的模型建構(gòu)

Comsol是一款具有強(qiáng)大功能的多物理場仿真軟件，軟件自帶多個(gè)求解模塊使得模型建構(gòu)更加便捷．利用軟件中的AC/DC模塊可對(duì)本文所討論的定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球全空間的磁場分布進(jìn)行仿真模擬．

2.1 模擬參數(shù)的設(shè)定

本文在模型的建構(gòu)上以轉(zhuǎn)軸為極軸、球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，選用良導(dǎo)體銅作為導(dǎo)體球的材料，旋轉(zhuǎn)方向沿轉(zhuǎn)軸的正方向，仿真過程所涉及的具體參數(shù)如表1所示．

表1 計(jì)算參數(shù)

2.2 數(shù)值模擬的結(jié)果

2.2.1 全空間磁感線分布圖

基于以上參數(shù)的設(shè)置，仿真得到的定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球全空間的磁感線分布如圖2所示，圖3為xz平面視圖的結(jié)果．

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球全空間磁感線分布

圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球全空間磁感線分布(xz平面視圖)

2.2.2 軸線上磁場分布

為進(jìn)一步分析其軸向磁場分布情況，提取模擬結(jié)果中z軸線上及x軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)值，分別作與軸線上位置的關(guān)系圖(見圖4、圖5)．

圖4 z軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況圖

圖5 x軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度變化情況圖

2.3 仿真結(jié)果分析

利用Comsol有限元軟件對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球空間磁場分布進(jìn)行數(shù)值模擬，并對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行分析，包括磁感應(yīng)強(qiáng)度總體分布特征、仿真結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比、磁感應(yīng)強(qiáng)度邊界條件的一致性．

2.3.1 磁場總體分布特征

(1)由圖2可以看出，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電導(dǎo)體球所產(chǎn)生的磁場在全空間的分布上具有較高的對(duì)稱性，對(duì)稱軸為轉(zhuǎn)軸.

(2)由圖3可以看出，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球在球內(nèi)部所產(chǎn)生的磁場與場點(diǎn)位置無關(guān)，是勻強(qiáng)磁場，方向沿轉(zhuǎn)軸正方向.

(3)由圖2和圖3可以看出，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球在球內(nèi)部所產(chǎn)生的磁場是偶極型的，近似于把一個(gè)條形磁體放置在導(dǎo)體球的中心，導(dǎo)體球正上方與條形磁體的N極相對(duì)應(yīng)．靠近轉(zhuǎn)軸線上兩極的磁感線分布最密集，遠(yuǎn)離導(dǎo)體球表面磁感線逐漸稀疏，磁場減弱.

(4)對(duì)比圖4和圖5可知，在球外軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變化趨勢相同，隨著坐標(biāo)位置的增大磁感應(yīng)強(qiáng)度都呈現(xiàn)出減小的趨勢，并且對(duì)比z軸與x軸兩軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的變化情況，可得z軸變化速度更快．

2.3.2 仿真結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比

根據(jù)仿真時(shí)所設(shè)置的各參數(shù)值，通過先前理論推導(dǎo)得到的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電導(dǎo)體球全空間磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算公式，即式(15)，由MATLAB編程可以得到所建構(gòu)模型的理論計(jì)算結(jié)果．并對(duì)兩種結(jié)果得到的軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨軸線上位置的變化情況展開對(duì)比分析．圖6、圖7分別為z軸、x軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度大小仿真與理論的結(jié)果對(duì)比圖．

圖6 z軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度大小仿真與理論結(jié)果對(duì)比圖

圖7 x軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度大小仿真與理論結(jié)果對(duì)比圖

由圖6、圖7可以看出，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電導(dǎo)體球全空間磁感應(yīng)強(qiáng)度仿真計(jì)算值與理論值基本吻合，由此驗(yàn)證了前文方程及求解關(guān)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球空間磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算公式推導(dǎo)的準(zhǔn)確性以及有限元仿真的可信性．在球內(nèi)，即-10 mm

2.3.3 磁感應(yīng)強(qiáng)度邊界條件的一致性分析

(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件要求當(dāng)θ=0°或180°，r=R時(shí)，定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球所產(chǎn)生的磁場具有連續(xù)性，即B1n=B2n．理論推導(dǎo)的結(jié)果和仿真的結(jié)果表明在x軸線上球面處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不具有連續(xù)性，而z軸線上球面處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小具有連續(xù)性，與磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件相一致．

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度的自然邊界條件要求當(dāng)r→∞時(shí)，B→0．由圖6和圖7可知在球外磁感應(yīng)強(qiáng)度都呈現(xiàn)出隨軸線上位置增大而減小的趨勢，由此可以預(yù)見，隨著軸線上位置的不斷增大，在距離球面無限遠(yuǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度將減小至0，與磁感應(yīng)強(qiáng)度的自然邊界條件相一致．

3 總結(jié)

本文創(chuàng)新性地通過分析定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球中的電荷在旋轉(zhuǎn)過程中的軌道運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)了對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球空間磁場的求解，該方法在計(jì)算上難度較小，且具有可推廣性，可計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)球體、柱體的全空間磁場分布．本文另一創(chuàng)新之處在于利用有限元仿真軟件Comsol對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)帶電導(dǎo)體球在全空間形成的磁場進(jìn)行仿真模擬，并將仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果相對(duì)比，二者基本吻合，誤差較小，由此不僅可以驗(yàn)證得出有限元法在模擬磁場分布上的可行性，而且使得磁場可視化，同時(shí)間接說明了理論推導(dǎo)結(jié)果的準(zhǔn)確性．