陳敏婕

(南京師范大學附屬中學鄴城路初級中學，江蘇南京，210019)

微專題教學是非常重要的一種教學形式，它立足教材又高于教材，教學設(shè)計靈活.其核心點在于“?！?，落腳點在于“思”.指向?qū)W生對數(shù)學思想的抽象和應用，優(yōu)化學生的數(shù)學思維，從而提高學生對于經(jīng)驗與方法的運用和遷移的能力，提升數(shù)學素養(yǎng).下面以“函數(shù)圖象視角下的方程、不等式”微專題教學設(shè)計為例，對此進行闡述.

1 教學目標與載體選取

1.1 教學目標

(1)知道函數(shù)與方程(組)、不等式(組)的關(guān)系.

(2)會用函數(shù)的圖象，求相應方程(組)、不等式的近似解.

(3)通過兩個函數(shù)圖象解方程(組)的探索活動，感受函數(shù)與方程的辯證統(tǒng)一，感受函數(shù)圖象與方程(組)、不等式的內(nèi)在聯(lián)系，體驗知識的內(nèi)在統(tǒng)一性與融合，感受數(shù)學在數(shù)學內(nèi)部的應用是推動數(shù)學自身發(fā)展的動力之一.

1.2 載體選取

一次函數(shù)是學生最先接觸的一類函數(shù)，也是最為熟悉的，它的圖象呈直線樣態(tài).從一次函數(shù)的圖象作為切入口，并且貫穿課堂始終，讓學生充分感受數(shù)形結(jié)合思想.

通過問題串，串聯(lián)各環(huán)節(jié)的教學組織，給予學生充分的時間和空間、思考與表達、總結(jié)與歸納，升華認知，感受三者內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一性.

2 教學過程

2.1 情境創(chuàng)設(shè)

圖1

問題1：說說你對y=-x+3的認識.

設(shè)計意圖：引導學生從兩個不同的角度看同一個表達式，如果看成變量，它就是一次函數(shù)；如果看成未知數(shù)，它就是二元一次方程.

師生活動：

生：這是一個一次函數(shù)，y隨x的增大而減小.

生：把-x移項到左邊，可以看成是二元一次方程.

師：兩位同學站在不同的角度，都對這個表達式就行了闡述.這里的x、y，如果看成變量，它就是一次函數(shù)；如果看成未知數(shù)，它就是二元一次方程.請同學們畫出函數(shù)圖象.

2.2 探索活動

問題2：一次函數(shù)y=-x+3圖象上點的坐標與二元一次方程x+y-3=0的解有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系，即一次函數(shù)圖象上點的坐標就是二元一次方程的解；以二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數(shù)的圖象上.

師生活動：

師：你描的是哪些點？

生：(0，3)，(3，0).

師：一次函數(shù)圖象上點的坐標與二元一次方程的解有什么關(guān)系？

生：一次函數(shù)圖象上點的坐標就是二元一次方程的解；以二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數(shù)的圖象上.

問題3：一次函數(shù)與一元一次方程有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系，即當其中一個變量的值確定時，可以由相應的一元一次方程確定另一個變量的值.

師生活動：

師：再描一個點，已知它的橫坐標是4，你是如何確定它的縱坐標的？

生：直接看圖象，縱坐標是-1.

師：很好，同學們還有不同的方法嗎？

生：代入函數(shù)表達式y(tǒng)=-x+3求解，y=-1.

師：剛才通過兩種方式都得到了這個點的縱坐標.反過來，再找一個點，已知它的縱坐標是2，你又能得到什么？

生：這個點的橫坐標是1，可以看圖，或者代入函數(shù)表達式求.

師：當一次函數(shù)表達式中一個變量x或y確定時，它就變成了？

生：一元一次方程.

師：你覺得一次函數(shù)與一元一次方程有什么關(guān)系？

生：一次函數(shù)的表達式，當其中一個變量的值確定時，可以由相應的一元一次方程確定另一個變量的值.

問題4：一次函數(shù)與一元一次不等式有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系，即當其中一個變量的取值范圍確定時，可以由相應的一元一次不等式確定另一個變量的取值范圍.

師生活動：

師：一次函數(shù)除了與方程有著密切聯(lián)系，從圖象中你還能讀出不等關(guān)系嗎？

生：當y>0時，x<3.

師：你是怎么識圖的，能分享下經(jīng)驗嗎？

生：當y>0時，只要看圖象上x軸上方的部分，此時對應的x<3.

師：類似的，請同學們嘗試寫出三個不同的不等關(guān)系.

圖2

師：除了讀圖，你還有不同的方法得到“當y>0時，x<3”嗎？

生：可以直接回看一次函數(shù)表達式當y>0時，也就是-x+3>0，解這個不等式.

師：你能說說一次函數(shù)與一元一次不等式有什么關(guān)系？

生：一次函數(shù)的表達式，當其中一個變量的取值范圍確定時，可以由相應的一元一次不等式確定另一個變量的取值范圍.

問題5：在原坐標系中再畫一個函數(shù)y=2x的圖象，結(jié)合剛剛的研究內(nèi)容，你能提出一個問題嗎？

追問1：如何求交點的坐標？

追問2：求關(guān)于x的不等式-x+3>2x的解集.

設(shè)計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標，就是相應二元一次方程組的解.兩個函數(shù)圖象聯(lián)系起來看，亦能看出不等關(guān)系.

師生活動：

師：如何求交點的坐標？

生：直接看圖象，交點的坐標是(1，2).

師：你借助于圖象的直觀性，有同學利用不同的方式得到的嗎？

生：通過聯(lián)立兩個函數(shù)表達式，解方程組.

師：大家通過兩種方式得到了這個交點坐標，由此你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：兩個一次函數(shù)圖象的交點，就是相應的二元一次方程組的解.

師：還有同學有不同的問題提出嗎？

生：求等式-x+3>2x的解集.

生：我有兩種方法，第一種直接求解不等式，第二種從圖象上看，要滿足y1>y2，也就是看圖象上交點左邊的部分，此時的x<1.

師：通過上面兩個問題的研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：二元一次方程組和一元一次不等式，還可以借助于一次函數(shù)的圖象直接讀出結(jié)果.

2.3 拓展延伸

設(shè)計意圖：引導學生從形的角度發(fā)現(xiàn)，兩個一次函數(shù)圖象平行時沒有交點，相應的方程組無解.

師生活動：

生：方程組無解，兩個函數(shù)的圖象平行，沒有交點，因為它們的k值是一樣的.

問題7：求關(guān)于x的不等式-x+3>x2+1的解集.

設(shè)計意圖：引導學生從多角度觀察式子，提煉多種解法和思考路徑.

師生活動：

師：你有哪些方法解決呢？

生1：畫一次函數(shù)y=-x+3和二次函數(shù)y=x2+1的圖象，從圖象上看出解集.

生2：把這個不等式移項，整理得x2+x-2<0，畫二次函數(shù)y=x2+x-2的圖象，在x軸下方的圖象部分對應x的值就是這個不等式的解集.

師：這個不等式，你想怎么命名？

生：一元二次不等式.

師：關(guān)于一元二次不等式，你還聯(lián)想到什么？你有新的解法嗎？

圖3

生：我想到了一元二次方程，可以對式子x2+x-2因式分解得(x-1)(x+2)，也就是(x-1)(x+2)<0，再根據(jù)異號兩數(shù)相乘得負，得到這兩個因式異號，分類討論求解.

2.4 小結(jié)思考

問題8：通過今天的學習與研究，你對函數(shù)、方程、不等式有哪些新的認識？

追問：你還有新的問題提出嗎？

設(shè)計意圖：引導學生從整體上歸納、概括“函數(shù)、方程、不等式”的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，進一步體會到通過“讀圖”常?？梢詾榻鉀Q有關(guān)方程、不等式的問題提供方便；函數(shù)的圖象直觀，便于從“形”的特征解決方程、不等式的問題；“函數(shù)”是函數(shù)、方程、不等式三者關(guān)系中的主干這些深刻思想.

師生活動：

力爭給學生充分的時間和空間，思考與表達，再整合歸納、提煉升華.

3 幾點思考

3.1 主題遴選的整體意識

微專題的關(guān)鍵就是要選擇有代表性的研究主題，聚焦于一些核心素材，確立合適的教學目標，通過設(shè)計有針對性的系列活動，從整體上看待知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，旨在解決課堂教學中的一些典型問題.本專題正是基于以上考慮，抓住函數(shù)、方程、不等式三者之間一脈相承的關(guān)系，揭示知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)體系，實現(xiàn)其整體性和統(tǒng)一性.在教學過程中，突出了方法主線，不斷地通過“數(shù)”與“形”的雙向結(jié)合，讓學生切身感受“數(shù)形結(jié)合”思想，以及圖象解法的直觀性、代數(shù)解法的精準性.正如華羅庚先生所言：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，本專題在“數(shù)”與“形”方面的整體處理意識，有效地促進了學生對知識方法的融會貫通.

3.2 問題設(shè)計的結(jié)構(gòu)連貫

課堂順利展開的有效紐帶是問題，問題驅(qū)動的動力在于良好的問題結(jié)構(gòu)，即環(huán)環(huán)相扣的結(jié)構(gòu)性問題才能有效驅(qū)動課堂活動，誠如波利亞所指出的“良好組織的問題能使所提供的素材容易用上”.本微專題正是以8個結(jié)構(gòu)性問題為驅(qū)動，由淺入深，逐步遞進，體現(xiàn)了思維的連貫性與發(fā)展性.在問題的展開過程中，注意課堂中的充分“留白”，給予學生充足的思考時間與空間，啟發(fā)學生從整體上看待知識間的內(nèi)在聯(lián)系，感受和諧統(tǒng)一的本質(zhì)特征.其中問題1由函數(shù)引入，問題2～4分別將函數(shù)與方程以及不等式的關(guān)系串聯(lián)起來，問題5通過再次引入一個函數(shù)圖象，啟發(fā)學生結(jié)合前面的研究經(jīng)驗，自主提出問題，問題6～8則是在內(nèi)容拓展及深度思考上再加引導.

3.3 思考延展的深度取向

教學生學會思考應成為課堂教學的不懈追求，將知識的構(gòu)建、方法的形成、能力的發(fā)展在學生深度思考的場域內(nèi)自動生成.陳省身先生曾言：“數(shù)學是自己思考的產(chǎn)物.”學生思維素養(yǎng)的提升，主要依靠教師啟迪、引導，激起學生自主探究的意識，而后自己及時反思、監(jiān)控的思考行為.本專題正是基于以上的思考，確立了“教學生學會思考”的教學宗旨，著力為學生搭建深度思考的平臺，幫助學生形成系統(tǒng)的知識和一般的數(shù)學研究方法.例如在核心問題的追問中，以及一些需要學生反思提問的活動環(huán)節(jié)中，都有效地激起了學生深度思考的興致.

毋庸諱言，微專題的教學設(shè)計不同于新授課，新授課涵蓋的知識點或涉及的思想方法可能并不系統(tǒng)，而微專題恰好可以彌補這方面的缺憾，從整體上把握核心知識及重要方法，起到“見微知著”之效.本文的探索只是個人教學實踐中的“拙見”，后續(xù)尚有諸多問題有待探討和完善.