駱建華

(江蘇省如皋市白蒲鎮(zhèn)初級中學(xué)，江蘇如皋，226511)

“相交線”一節(jié)主要研究的是兩條直線相交所形成的四個角的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.它是角的認知的進一步拓展，又是后面研究垂線、平行線、三角形、平行四邊形等幾何圖形的基礎(chǔ)，在教材中處于幾何教學(xué)承上啟下的重要節(jié)點上.因此，落實好這節(jié)課的教學(xué)，對學(xué)生的學(xué)段幾何認知影響巨大.通過多年“相交線”教學(xué)過程的梳理，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在認識“相交線”時，務(wù)必強化以下四方面的學(xué)習.

1 體會定義的雙重性

我們知道，初中階段的很多數(shù)學(xué)定義都具有“雙重性”——既是概念的判定方法，也是新概念的性質(zhì).如“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，既可以依據(jù)“兩組對邊分別平行”來判定某個四邊形是否為平行四邊形，也可根據(jù)“某一四邊形為平行四邊形”得出“該四邊形兩組對邊分別平行”的性質(zhì).對定義雙重性的認識是學(xué)生進入初中后才開始的.而在“相交線”之前，教材少有涉及，“相交線”之后，則會大量涌現(xiàn).所以這一節(jié)，我們應(yīng)借助對頂角、鄰補角的定義教學(xué)，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)定義的“雙重性”.

如教學(xué)對頂角時，我們應(yīng)結(jié)合定義讓學(xué)生明白，兩邊互為反向延長線的角叫做對頂角，還要讓他們知道“對頂角的兩邊互為反向延線”.前者是用來判斷兩角是否為對頂角的(即對頂角的判定)，而后者則是對頂角所具有特征(也就是對頂角的性質(zhì)).再如教學(xué)鄰補角的定義時，我們不僅要讓學(xué)生知道“具有一條公共邊，且另一邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角”，還要讓他們知道“兩個鄰補角的邊一條是公共邊，另一條互為反向延長線”.

這樣的定義教學(xué)，不僅能讓學(xué)生清晰地認識鄰補角、對頂角，知道其所具有的位置特征，還能讓他們積累數(shù)學(xué)定義學(xué)習的經(jīng)驗，對定義所具有的性質(zhì)、判定的“雙重性”有一個初步的認識，為以后其他數(shù)學(xué)定義的學(xué)習做鋪墊.

2 明晰幾何的研究內(nèi)容

在人教版七年級上冊《數(shù)學(xué)》中，第四章引言中明確：幾何是研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的一門學(xué)科.簡而言之，我們幾何學(xué)習要研究的是幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，這個“簡而言之”是筆者在內(nèi)的眾多一線教師的理解.在第四章《幾何圖形初步》中，雖然對此學(xué)生已有所了解，但并沒有完整的認知.教師應(yīng)教的便是讓學(xué)生明晰以下內(nèi)容：線段的中點、角平分線等的認知，更多是從數(shù)量上的深度探索，而到了鄰補角時，名稱中就會有了位置和數(shù)量兩種關(guān)系.鄰，位置；補，數(shù)量.位置與數(shù)量較好地融到了“鄰補角”的名稱之中，而對頂角的教學(xué)，首先從形的角度給出了定義，定義中明確了兩角的位置關(guān)系，隨后利用“同角的補角相等”得到的“對頂角相等”，明確了對頂角的數(shù)量關(guān)系.在同一節(jié)課對兩個相關(guān)數(shù)學(xué)概念的探求都是從幾何研究的核心內(nèi)容出發(fā)，這給予了我們讓學(xué)生深刻認知幾何學(xué)習內(nèi)容的絕佳契機.課上，我們應(yīng)抓住鄰補角、對頂角的教學(xué)契機，在其定義與性質(zhì)的深挖中，明晰幾何研究的主要內(nèi)容.

如，教學(xué)鄰補角時，我們要引導(dǎo)學(xué)生從圖1中發(fā)現(xiàn)∠AOC與∠AOD的位置特征：共OA邊，∠AOC的邊OC與∠AOD的邊OD互為反向延長線.這就是兩個角所具有的“鄰”的位置關(guān)系.再通過平角的定義，使學(xué)生知道∠AOD+∠AOC=180°，這是兩個角“補”的數(shù)量關(guān)系.對幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的明確還不能僅局限于鄰補角.在接下來的對頂角學(xué)習中，得出對頂角定義后，我們應(yīng)追問：從位置特征上，我們知道了∠AOC和∠BOD這對對頂角的關(guān)系，那么，根據(jù)研究鄰補角的經(jīng)驗，我們還會研究這兩個角的什么關(guān)系？在完成兩個概念學(xué)習后，我們更要進一步明確：研究幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，是我們這一學(xué)段幾何學(xué)習的核心內(nèi)容.

圖1

3 掌握概念(定理)的三種表示形式

初中階段，學(xué)生獲取的數(shù)學(xué)概念、定義定理及其它重要結(jié)論的呈現(xiàn)方式是多樣的.其中，不少幾何概念(定理)或幾何問題會采取三種呈現(xiàn)形式：文字語言、圖形語言和符號語言對于幾何這個領(lǐng)域，這三種不同的呈現(xiàn)方式是學(xué)生理解幾何圖形，并用好幾何圖形的定義、性質(zhì)和判定方法解決問題的重要抓手.所以，幾何教學(xué)中，我們要特別重視用三種不同形式的語言描述同一幾何圖形及其相關(guān)結(jié)論的教學(xué).

以“相交線”為例，呈現(xiàn)鄰補角、對頂角不僅要給定圖這樣的圖形語言，還要呈現(xiàn)諸如“一邊為公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角為鄰補角”(文字語言)的鄰補角定義描述，及“∠AOC與∠BOC互為鄰補角，∠AOC+∠BOC=180°”(符號語言)的鄰補角性質(zhì)描述.類似地，關(guān)于對頂角，我們也應(yīng)有與鄰補角的這種類似表述方法：“兩邊互為反向延長線的角叫做對頂角”，“如圖1，∠AOC與∠BOD互為對頂角，則∠AOC=∠BOD”(符號語言).如此教學(xué)，在這樣幾何開端課堂上，學(xué)生就學(xué)會用不同的方式表述同一幾何圖形的重要結(jié)論，為后續(xù)幾何學(xué)習積累下寶貴的經(jīng)驗.

4 養(yǎng)成多角度認識幾何圖形的習慣

幾何教學(xué)中，同一幅幾何圖形在不同的時段，學(xué)生會獲得不同結(jié)論.因而，幾何圖形教學(xué)應(yīng)因時因地而異.對一幅幾何圖形中可能蘊藏的結(jié)論的挖掘，會在不同的教學(xué)時點上從不同的角度挖掘出不同的深度.當一個新的圖形出現(xiàn)時，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析圖形，為當下能得到的和未來可能生長出的結(jié)論埋下生長點，這樣不僅保證幾何圖形認知的延續(xù)性，還培養(yǎng)了學(xué)生從多角度認識幾何圖形的習慣.

在“相交線”教學(xué)中，我們就應(yīng)讓學(xué)生逐步形成從不同角度認識同一幾何圖形的習慣，以圖1為例，圖中出現(xiàn)了“兩線、四角”，除了常見的平角外，還出現(xiàn)了相“鄰”的兩角和相“對”的兩角，一角兩鄰角、兩角共兩鄰角等圖形位置.這些角的新“格局”，給學(xué)生認識線的位置關(guān)系帶來了很多可能.因而，認識圖1所示的“兩線四角”的角度也就要變成多維.這樣我們既可以研究相鄰或相對的兩角的關(guān)系，也可以研究三個角甚至四個角之間的關(guān)系.另外在圖形呈現(xiàn)出來后，絕不應(yīng)直奔鄰補角、對頂角而去，必要的提問“面對圖1，你覺得我們會研究哪些角之間的關(guān)系”還是不可缺少的.學(xué)生給出∠AOC與∠BOC,∠AOC與∠BOD等兩角關(guān)系的作答固然可喜，但給出“∠AOC、∠BOC、∠COD三角關(guān)系”的作答則更為可貴.這是學(xué)生多角度認識同一幾何圖形的開始，是積累豐富的幾何圖形學(xué)習經(jīng)驗的開端，在后續(xù)學(xué)習中，只要我們持之以恒地多問幾個“圖中還有哪些數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系值得探索”“除了本節(jié)認知的性質(zhì)或判定方法外，圖形中還有其他的性質(zhì)(判定方法)嗎”之類的問題，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)散探索，同時也學(xué)會聚焦認知幾何圖形.

作為幾何圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系深度探索的開端課堂，在知識教學(xué)的同時，培養(yǎng)學(xué)生認知幾何圖形的習慣，盡可能讓學(xué)生體會到幾何圖形學(xué)習的基本套路應(yīng)為最重要也是最核心的內(nèi)容.“相交線”是學(xué)生認知從線到角的全面啟動，我們有必要為學(xué)生今后的幾何學(xué)習謀求一個有深度的開局.

本文呈現(xiàn)了“相交線”教學(xué)的幾個重要方面，僅為個人的粗淺認識，權(quán)當引玉之磚，供各位同行專家參考.