董云龍，戚厚軍，張昭

（1.天津職業(yè)技術師范大學 機械工程學院，天津 300222；2.天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222）

0 引言

固液分離設備是一種可以實現(xiàn)糞便污水混合物固液分離的機械，由齒輪帶動軸上的圓弧形轉子同旋向無縫嚙合，通過連續(xù)的同向旋轉并擠壓脫水，將混合物由進口送至出口。圓弧型轉子廓線對提高固液分離設備的脫水率以及連續(xù)運轉效率和處理能力影響很大，因此圓弧形轉子廓線的合理設計至關重要。由于轉子旋向相同且要求無縫嚙合，所以，在設計仿真中發(fā)現(xiàn)橢圓弧型轉子和漸開線型轉子均無法滿足工程的需要[1]。本研究使用幾何法圖解建立可圓弧型轉子的廓線方程，避免了復雜的設計過程。使用MATLAB軟件編程，得到輪廓曲線參數(shù)，再將所得數(shù)據(jù)導入Solidworks進行參數(shù)化建模[2]，快速得到轉子的三維模型，并通過仿真驗證廓型滿足工程需求，為實際加工生產(chǎn)提供了一種新的設計方法。

1 圓弧型轉子型線基礎理論

1.1 轉子廓線數(shù)學模型

圓弧型轉子設計計算中所采用的坐標系如圖1所示，其中O1x1y1為左轉子的動坐標系，O2x2y2為右轉子的動坐標系，O1X1Y1為左轉子的靜坐標系，O2X2Y2為右轉子的靜坐標系。μ為動坐標系O1x1y1和動坐標系O2x2y2所轉過的角度，rad；ω為動坐標系O1x1y1和動坐標系O2x2y2旋轉的角速度，rad/s。

圖1 圓弧型轉子坐標系

圓弧型轉子由8段圓弧拼接而成，在坐標系Oxy中，其中BC、FG兩段弧同屬于一個短軸圓，圓心位于點O點，半徑為R1，mm；AH、DE兩段弧同屬于一個長軸圓，圓心位于O點，半徑為R2，mm；AB、CD、EF、GH四段圓弧屬于半徑相同但圓心點不同的4個圓，半徑為R1+R2，圓心位于長軸圓上，同時這4個圓均短軸圓相切；β為圓弧GH段在以圓心為原點的直角坐標系O'x'y'中所對應的圓心角的角度，rad。圓弧型轉子示意圖如圖2所示。

圖2 圓弧型轉子示意圖

短軸圓半徑與長軸圓半徑關系為：

圓心角求解公式：

角度β的取值范圍為：

圓弧型轉子在同向旋轉時，每一對互相嚙合的轉子之間均保持90°的相位差旋轉，即每個轉子的短軸圓弧與另一個轉子的長軸圓弧進行嚙合，兩個圓弧型轉子的嚙合如圖3所示。α為弧BC所對的圓心角，θ為弧AH所對的圓心角，α=θ，rad。

圖3 兩個圓弧型轉子嚙合

圓弧GH段的型線方程可表示為：

圓弧型轉子的運動軌跡如圖4所示。驗證了轉子嚙合的正確性。

圖4 轉子的運動軌跡

1.2 轉子頂切分析

構造臨界無縫嚙合圓弧半徑關系方程，求解長軸圓半徑R2與圓心角α。

圖5為轉子的頂切，發(fā)生頂切的兩個轉子會在嚙合過程中相互碰撞，最終會將頂角吃掉，導致轉子間產(chǎn)生間隙，降低工作效率，因此要避免發(fā)生頂切。

圖5 轉子頂切

通過構建臨界嚙合圖解，建立求解R2的方程組，通過循環(huán)求解程序求解所需參數(shù)。當滿足以下四個條件時，所設計轉子在任意角度時均無縫嚙合。

轉子轉角的取值范圍為：

當確定R1后，將取值范圍內的φ值循環(huán)代入（8）求解α和R2，得到無頂切的轉子模型參數(shù)。

2 轉子輪廓曲線的繪制程序設計

MATLAB包含了大量計算算法，擁有工程中要用到的很多數(shù)學運算函數(shù)，能夠很方便的滿足用戶所需功能[3]。它的這些函數(shù)集包括從最基本的函數(shù)到復雜的函數(shù)，例如矩陣，特征向量、快速傅立葉變換等[4]。

基于MATLAB設計了圓弧型轉子理論廓線的設計程序。步驟如下：

（1）輸入轉子的初始參數(shù)短軸半徑R1，將φ值代入循環(huán)，根據(jù)式（5）和式（6）得到α和R2。

（2）代入式（7）和式（1）分別驗證α和R2是否在取值范圍內，若在則可以設計出對應的無縫嚙合轉子，若不在則對應的R1不存在對應的轉子，根據(jù)式（3）確定角度β的取值范圍。

（3）將所得參數(shù)代入各段軌跡線方程中，得到各段對應的軌跡線，將其表示在坐標系中，得到轉子的整體外輪廓軌跡線[5]。

根據(jù)輪廓曲線繪制流程，編制對應的MATLAB程序，運行即可得到對應的轉子理論廓線，如圖6所示。

圖6 轉子輪廓曲線

3 轉子的實體建模

將轉子的輪廓曲線程序保存為.m文件，在MATLAB中運行該程序，依靠MATLAB強大的數(shù)學能力計算出輪廓曲線上的坐標點[6]，通過編程生成符合SolidWorks需要的.txt文件，再導入SolidWorks中實現(xiàn)轉子的三維實體建模[7]。

應用SolidWorks中的曲線工具，可以通過各點的XYZ坐標清單生成需要的樣條曲線[8]。在軟件菜單選項中選擇插入曲線，選擇通過XYZ點的曲線，導入之前修改好的.txt坐標文件，即可生成需要的轉子外輪廓曲線[9]。此時需要將得到的廓線轉換為實體線才能進行拉伸。利用SolidWorks中的轉換實體引用命令將外輪廓曲線轉變?yōu)閷嶓w線，然后將生成的外輪廓曲線通過草圖拉伸得到轉子的三維模型，如圖7所示。

圖7 圓弧型轉子三維模型

4 轉子的模態(tài)分析

模態(tài)分析時，根據(jù)有無約束可以分為自由模態(tài)和約束模態(tài)，通過ABAQUS軟件進行模態(tài)分析。首先將Solidworks建立的三維模型另存為.x_t格式，將其導入到ABAQUS中添加屬性、設置分析步、添加約束和劃分網(wǎng)格，然后對其進行有限元分析[10]。轉子使用的材料為304不銹鋼板，即0Cr18Ni9，其材料密度為7.93 g/cm3，楊氏模量為204000 MPa，泊松比為0.285?？紤]轉子的實際工作情況，在內孔與軸的接觸面上施加固定約束，求解在約束條件下的固有頻率。網(wǎng)格劃分采用六面體為主的掃掠網(wǎng)格，進階算法，單元類型為C3D8R，共809個單元。在分析步中選前10階模態(tài)進行計算。從理論上來說求解的固有頻率可以有無限階，但是只有前幾階的參考意義較大，高階的實際意義很小，因此本節(jié)只取轉子的前6階固有頻率和振型進行分析，見表1。

表1 轉子前6階固有頻率和振型

通過有限元模擬，建立了圓弧型轉子的三維有限元模型，并對其進行模態(tài)分析，得到圓弧型轉子的前六階固有頻率和振型。由于圓弧型轉子的前六階固有頻率很低，所以器件在高頻工作環(huán)境中不會產(chǎn)生共振，在低頻工作環(huán)境中要避免出現(xiàn)這幾階固有頻率。且由于軸孔部分施加約束，圓弧型轉子在發(fā)生振動時，軸孔附近振幅變化不大，而轉子邊緣工作部分容易發(fā)生變形，與實際工況相符。通過模態(tài)分析得出在實際裝配中有三點要注意：一要保證轉子片在工作過程中被墊片壓緊，即始終垂直于軸，避免發(fā)生傾斜；二轉子與軸配合的軸孔設計公差配合盡可能選擇過渡配合或過盈配合，以避免轉子在軸上發(fā)生松動，導致產(chǎn)生振動，縮減使用壽命；三墊片的尺寸在保證正常運轉的情況下要盡可能大，避免發(fā)生振動時轉子產(chǎn)生大面積變形。

5 結語

基于幾何圖解法，以這種直觀的推導方式得到了圓弧型轉子的各段外輪廓曲線方程，且通過分析無頂切轉子的臨界嚙合條件，得出了轉子的設計的關鍵參數(shù)，利用MATLAB語言編程生成數(shù)據(jù)點，導入Solidworks建模，實現(xiàn)了轉子的三維實體建模，將兩種軟件相結合，快速便捷得到了轉子的廓型，實現(xiàn)參數(shù)化設計。并利用ABAQUS對轉子進行模態(tài)分析，驗證了轉子設計的合理性，并為轉子的優(yōu)化設計奠定基礎，且通過分析結果，對轉子的設計、制造和安裝提出了指導性的意見。該方法通俗易懂，便于應用，為機構設計及優(yōu)化設計提供了一種新思路。