王春燕

江蘇省宜興市豐義中學(xué) 214252

中考試題都是經(jīng)過命題專家精心設(shè)計(jì)而成，每一道試題都具有研究?jī)r(jià)值與使用價(jià)值.復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可把它作為好的教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生析題解題，獲得解題的基本技巧，提高復(fù)習(xí)效率.筆者以一道中考試題為例，談?wù)勅绾卫弥锌荚囶}，提高復(fù)習(xí)實(shí)效，下面是筆者的一些做法與思考.

試題再現(xiàn)與簡(jiǎn)單剖析

在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AE=BF.

（1）如圖1所示，連接CE，DF，那么線段CE與DF有何數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？

圖1

（2）如圖2所示，過點(diǎn)F在DF左側(cè)作FG⊥DF，且FG=DF，連接EG，依題意補(bǔ)全圖形，那么線段EG與CF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

圖2

（3）如圖3所示，連接AF，CE，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求AF+CE的最小值.

圖3

此題以正方形為背景構(gòu)造四邊形綜合題，綜合考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等幾何知識(shí).滲透了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、極限思想等.通過研究這道典例，可以幫助學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)平行四邊形的相關(guān)知識(shí)，建立平行四邊形一章的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)目標(biāo).同時(shí)，學(xué)生可以體會(huì)到正方形、平行四邊形與三角形之間的相互聯(lián)系，掌握常用的思想方法，提高綜合應(yīng)用知識(shí)的能力.

教學(xué)節(jié)選呈現(xiàn)

1.導(dǎo)入新課，出示課題

同學(xué)們，中考題并不神秘.很多中考題雖然題在書外，但是考查的根在書內(nèi).下面請(qǐng)同學(xué)們看這樣一道中考題，我們以此題為載體復(fù)習(xí)“平行四邊形”一章的內(nèi)容.

2.問題牽引，探究思考

閱讀試題，觀察圖形，了解試題的已知與所求，回想與試題圖形相近的教材習(xí)題，并回顧相關(guān)知識(shí)，思考下列問題：

問題1：你能從教材中找到與這道題相關(guān)的試題嗎？

問題2：根據(jù)前面所學(xué)知識(shí)，兩條線段的數(shù)量關(guān)系可能有哪些情況？?jī)蓷l線段的位置關(guān)系可能有哪些情況？

問題3：根據(jù)前面的解題經(jīng)驗(yàn)，要證明兩條線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，有哪些可行的方法？

問題4：求兩條線段和的最小值，你有什么辦法？

問題5：在此題的解答過程中，你運(yùn)用了平行四邊形的哪些知識(shí)？你能構(gòu)建這些知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系嗎？

提出上述問題后，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探究，然后在小組內(nèi)交流.其間，教師巡回指導(dǎo)，對(duì)有困難的學(xué)生給予幫助.

3.小組合作，集思廣益

學(xué)生在問題的引導(dǎo)下獨(dú)立思考，10分鐘后，教師讓學(xué)生在小組內(nèi)交流不同的解法，然后各小組選代表在全班交流.需要注意的是，教師要參與到小組活動(dòng)中去，關(guān)注不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生的參與程度、思維的深度，發(fā)現(xiàn)一些典型的錯(cuò)誤并及時(shí)糾正，為全班交流與后續(xù)教學(xué)做準(zhǔn)備.

4.班內(nèi)展示，評(píng)價(jià)歸納

把各小組好的解法在大屏幕上展示，學(xué)生對(duì)展出的解法進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，在此基礎(chǔ)上教師適時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥與強(qiáng)化，梳理好的解法，回顧相關(guān)知識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建相關(guān)知識(shí)體系.

教學(xué)節(jié)選1：線段CE與DF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的探究.

師：認(rèn)真觀察圖形1，可以看到線段CE與DF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是什么？

生：我看到線段CE與DF的數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是互相垂直.

師：如何證明這兩條線段相等？你準(zhǔn)備用什么方法？

生：線段CE，DF分別在△BCE與△CDF中，通過證明這兩個(gè)三角形全等，可以證明這兩條線段相等.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD，因?yàn)锳E=BF，所以AB-AE=BC-BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，因?yàn)锽E=CF，∠B=∠BCD，BC=CD，根據(jù)“邊角邊”，得△BCE≌△CDF，所以CE=DF.

師：如何證明這兩條線段互相垂直呢？你準(zhǔn)備如何轉(zhuǎn)化？

生：欲證明CE⊥DF，只需證明∠CFD+∠BCE=90°即可，由正方形四個(gè)角都是直角，得∠BEC+∠BCE=90°，所以需證明∠BEC=∠CFD.由△BCE≌△CDF，可得∠BEC=∠CFD，所以∠CFD+∠BCE=90°，所以CE⊥DF.

教學(xué)節(jié)選2：線段EG與CF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的探究.

師：第二小題的圖形沒有畫完，請(qǐng)同學(xué)們先根據(jù)題意畫出正確的圖形（同學(xué)們根據(jù)題中交代的畫法，畫出了如圖4所示的圖形）.請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察圖4，可以看到線段EG與CF有何數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系呢？

圖4

生：我發(fā)現(xiàn)線段EG與CF的數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是平行.

師：當(dāng)兩條線段平行且相等時(shí)，那么它們構(gòu)成的四邊形是什么樣的四邊形呢？此時(shí)你有什么方法證明猜測(cè)的結(jié)論？

生：當(dāng)兩條線段平行且相等時(shí)，那么它們所構(gòu)成的四邊形就是平行四邊形，所以可以先證明四邊形GECF是平行四邊形.由第一小題的證明可知，CE⊥DF，CE=DF，因?yàn)镕G ⊥DF，F(xiàn)G=DF，根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行，得FG∥CE，F(xiàn)G=CE.根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得四邊形CEGF是平行四邊形，所以GE∥CF，GE=CF.

教學(xué)節(jié)選3：當(dāng)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1時(shí)，探究線段AF+CE的最小值.

師：求兩條線段和最小值有哪些方法？

生：利用軸對(duì)稱把這兩條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中.

師：利用軸對(duì)稱把兩條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，屬于將軍飲馬問題，此題不屬于將軍飲馬問題，如何把這兩條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中呢？

生：如圖5所示，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)M，使AM=AD=1，連接ME，MC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠BAD=∠ADC=∠ABF=90°，AB=CD=1.所以∠MAE=90°，AM=AB.在△MAE 和△ABF中，AM=BA，∠MAE=∠ABF，AE=BF，根據(jù)“邊角邊”，得△MAE≌△ABF，所以ME=AF，這樣AF+CE就轉(zhuǎn)化為ME+CE，在△MEC中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得ME+EC＞MC.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)M，E，C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，ME+CE=MC最小，所以AF+CE的最小值為MC.在Rt△CMD中，MC=，所以AF+CE的最小值為

圖5

5.拓展延伸，提升思維

教學(xué)節(jié)選4：如圖6所示，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BA，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述問題的原始條件不變，EG與CF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍成立嗎？如圖7所示，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC延長(zhǎng)線上時(shí)，上述問題的原始條件不變，EG與CF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍成立嗎？

圖6

圖7

生：如圖6所示，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BA，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD.因?yàn)锳E=BF，所以AB+AE=BC+BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，因?yàn)锽E=CF，∠B=∠BCD，BC=CD，根據(jù) “邊角邊”，得△BCE≌△CDF，所以CE=DF，∠BEC=∠CFD.因?yàn)椤螧EC+∠BCE=90°，所以∠CFD+∠BCE=90°，所以CE⊥DF.

師：也就是說，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BA，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，仍有結(jié)論CE與DF相等且互相垂直，那么如何說明GE∥CF，GE=CF呢？

生：因?yàn)镃E⊥DF，CE=DF，F(xiàn)G⊥DF，F(xiàn)G=DF，根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行，得FG∥CE，F(xiàn)G=CE.根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得四邊形CEGF是平行四邊形，所以GE∥CF，GE=CF.圖7的情形與圖6類似.

教學(xué)節(jié)選5：如圖8所示，設(shè)CE與DF相交于點(diǎn)P，連接BP，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，始終保持AE=BF，求線段BP的最小值.

圖8

師：當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是什么形狀呢？請(qǐng)畫出草圖.

生：因?yàn)樵邳c(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持∠CPD=90°，所點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以CD為直徑的一段圓弧，如圖9所示.

圖9

師：既然點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線是一段圓弧，那么求線段BP的最小值就是求圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的最小值，此時(shí)線段BP的最小值是多少？

生：如圖9所示，設(shè)圓弧的圓心為O，連接BO與圓弧的交點(diǎn)P，此時(shí)BP最小.在直角三角形BCO中，由勾股定理，得，所以BP的最小值為

教學(xué)后思

1.精心選擇復(fù)習(xí)素材

本課的教學(xué)任務(wù)，既要系統(tǒng)復(fù)習(xí)本單元知識(shí)，又要對(duì)知識(shí)進(jìn)行橫向聯(lián)系，因此，符合上述兩個(gè)要求的素材才是好素材.本課時(shí)挖掘教材習(xí)題與中考題的聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)典型試題的研究與開發(fā)，讓復(fù)習(xí)課既有神秘感又有熟悉感，提高復(fù)習(xí)效率.

2.認(rèn)真設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)方案

設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)方案，要激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，以培養(yǎng)學(xué)生能力為宗旨，解題時(shí)盡量讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、探究解法，表達(dá)思路，辨析錯(cuò)誤，努力落實(shí)自主合作互協(xié)的教學(xué)模式.同時(shí)，在一題多解、一題多變中，讓學(xué)生全方位、多角度思考問題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的水平.

3.勿忘強(qiáng)化表達(dá)訓(xùn)練

解題教學(xué)中，要注重學(xué)生解題過程的表達(dá)，對(duì)于顯而易見的結(jié)論，也不能忽視邏輯推理的過程，既要關(guān)注學(xué)生獲得的結(jié)論，也要關(guān)注學(xué)生獲得結(jié)論的過程，對(duì)于運(yùn)算錯(cuò)誤、說理不清、推理無據(jù)的情況應(yīng)進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練，讓學(xué)生真正做到懂了、會(huì)了、對(duì)了，全了.