雷白鴿

(重慶市勘測院，重慶 401120)

1 引 言

高程異常擬合需要精確的GPS數(shù)據(jù)，GPS技術(shù)的快速發(fā)展成為推動似大地水準面精化研究快速發(fā)展的重要因素。高精度的GPS數(shù)據(jù)結(jié)合高精度的似大地水準面模型能夠更加精確地確定目標地區(qū)點的高程異常。目前高程異常擬合研究方法主要有數(shù)學模型擬合法、地球重力場模型法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[1]。

國內(nèi)外學者針對高程異常擬合這一課題進行了大量的研究。張興福等[2]通過研究多類重力場模型擬合GPS點大地高，提出了簡單譜組合方法和加權(quán)譜組合方法可提高區(qū)域模型高程異常精度，但重力數(shù)據(jù)和地形數(shù)據(jù)流程復雜，制約著工程的實際進展；楊明清等[3]提出了一種改進了的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)和算法，高程異常值估算的精度達到了厘米級，但對算法和非線性映射網(wǎng)絡(luò)要求較高，難以實現(xiàn)；胡伍生等[4]提出了在平坦地區(qū)，二次曲面擬合法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相結(jié)合能夠有效地發(fā)揮二者的優(yōu)點，但受似大地水準面不規(guī)則變化影響，精度尚需提高。

良好的高程異常擬合方法不僅需要良好的精度，方便、實用性也很重要。數(shù)學模型法由于不需要額外的重力、地形參數(shù)和良好的擬合效果成為目前普遍使用的似大地水準面精化方法[5，6]。本文主要提出了對多種單一數(shù)學模型進行最優(yōu)加權(quán)平均的方法。分別使用多項式擬合模型(簡稱多項式法)和多面函數(shù)模型(簡稱函數(shù)法)對某地區(qū)高精度GPS/水準數(shù)據(jù)進行似大地水準面模型構(gòu)建，再通過最優(yōu)加權(quán)平均法對以上兩個模型進行最優(yōu)加權(quán)平均(簡稱加權(quán)法)，通過計算內(nèi)外符合精度、檢核點最大最小誤差、檢核點誤差小于 1 cm、2 cm、3 cm、4 cm的個數(shù)，比較模型的優(yōu)劣性，得到一種擬合效果好、可靠性強的高程異常擬合方法。

2 原理與方法

2.1 多項式擬合模型

多項式擬合模型是高程異常擬合研究中使用最為頻繁的一種方法。多項式擬合模型適用于地形較為平坦的地區(qū)。當多項式階次較高時，擬合的曲面會出現(xiàn)較大的震蕩，可能出現(xiàn)有些點誤差較大的情況，因此多項式的階次一般采用二次或者三次。建立多項式擬合模型來代表高程異常值，通過最小二乘平差[7]求得系數(shù)，代回擬合模型即可求得各點高程異常。具體流程如圖1所示。

圖1 多項式擬合模型似大地水準面精化流程圖

具體方法如下：

構(gòu)造已知點高程異常值ξ與坐標點之間的模型關(guān)系為：

ξ=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2+……

(1)

式中，ξ表示高程異常值，ai(i=0，1，2，3…)為多項式擬合模型的系數(shù)。

已知點數(shù)大于三個，可以寫出誤差方程：

(2)

矩陣形式：

V=XA-ξ

(3)

根據(jù)最小二乘原理得：

A=(XTX)-1XTξ

(4)

求得系數(shù)矩陣A后，帶入式(1)可求得各點擬合后的高程異常值。

2.2 多面函數(shù)模型

似大地水準面是不規(guī)則的圓滑表面，適合用一系列有規(guī)則的數(shù)學表面的總和，以任意精度逼近，因此多面函數(shù)模型適用。將所有已知點的數(shù)據(jù)分別建立關(guān)系式，并將這些關(guān)系式按照一定的規(guī)則或者比例疊加在一起，實現(xiàn)任意情況的無規(guī)則的曲面的擬合，得到理想的擬合效果。具體流程如圖2所示：

圖2 多面函數(shù)模型似大地水準面精化流程圖

具體方法如下：

高程異常函數(shù)表達式為：

(5)

公式中，n為中心節(jié)點的個數(shù)，Cj為待定系數(shù)，Qj(x，y，xj，yj)是以(xj，yj)為中心的二次核函數(shù)，可表示為：

Qj(x，y，xj，yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+δ]b

(6)

公式中，δ是平滑因子，視具體情況而定，需要反復試驗找到最佳光滑因子。b為非零實數(shù)，一般取 ±0.5。

寫成誤差方程的ξ1矩陣形式為：

V=QC-ξ

(7)

根據(jù)最小二乘原理得：

C=(QTQ)-1QTξ

(8)

求得系數(shù)矩陣C后，帶入式(5)可求得各點擬合后的高程異常值。

2.3 最優(yōu)加權(quán)平均模型

本文提出的方法為最優(yōu)加權(quán)平均模型。單一數(shù)學模型在高程異常擬合中應(yīng)用廣泛，大多適用于特定的地勢情況，但精度難以符合要求，且對局部地勢復雜地區(qū)無法準確擬合。對不同的單一數(shù)學擬合模型進行最優(yōu)加權(quán)平均，產(chǎn)生一種新的最優(yōu)模型，意義重大。具體流程如圖3所示：

圖3 最優(yōu)加權(quán)平均模型似大地水準面精化流程圖

假設(shè)共有已知的GPS高程點m個，高程異常真值為ξ，對于第j(j=1，2…n)種單一擬合方法測得的第k個點的真誤差為：

εjk=ξk-ξjk

(9)

建立殘差矩陣：

(10)

根據(jù)最小二乘原則，得：

(11)

(12)

式中，P是所有單一模型的權(quán)重向量(權(quán)重pi之和為1)，R是分量為1的列向量，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，得：

(13)

由此可得最優(yōu)加權(quán)平均模型下的高程異常值為[8]：

(14)

3 實例分析

3.1 試驗數(shù)據(jù)介紹

本實驗以某地區(qū)地籍測量首級控制網(wǎng)數(shù)據(jù)(通過二等水準測量和GPS測量所得各點高程異常數(shù)據(jù))為研究數(shù)據(jù)，對提出的模型方法進行實驗驗證。本試驗區(qū)面積約為 100 km2，點位均勻分布，具體分布如圖4所示。由圖4可知，共有32個高程異?？刂泣c，高程異常值最大值為 11.670 m，最小值為 11.328 m，平均值為 11.536 m，地勢較為平坦。本實驗分別使用多項式擬合法、多面函數(shù)法和最優(yōu)加權(quán)平均法，并分別以已知點個數(shù)25、20、15對試驗區(qū)數(shù)據(jù)進行擬合，剩余點進行擬合后的檢核。

圖4 某地區(qū)高程異?？刂泣c分布圖

3.2 實驗結(jié)果及分析

本實驗分別按照三種模型的原理與方法進行驗證，實驗結(jié)果如表1所示。

表1 精度分析及誤差統(tǒng)計

外符合精度直接決定擬合效果的優(yōu)劣。由表1可知，最優(yōu)加權(quán)平均模型在參與擬合的已知點個數(shù)分別為25、20、15的條件下，外符合精度分別為 4.8 mm、12.1 mm、14.8 mm，優(yōu)于多項式擬合模型的 6.7 mm、13.3 mm、15.8 mm和多面函數(shù)模型的 15.3 mm、18.5 mm、24.3 mm，通過分析可知，最優(yōu)加權(quán)平均模型可整體最低提高精度分別為28.3%、9.0%和6.3%，外符合精度十分接近于擬合效果更好的多項式擬合模型。同等條件下的最優(yōu)加權(quán)平均模型檢核點最大誤差和最小誤差也都小于多項式擬合模型和多面函數(shù)模型，說明最優(yōu)加權(quán)平均模型能夠降低高程異常殘差，使擬合更為收斂。同等條件下檢核點誤差分別小于 1 cm、2 cm、3 cm、4 cm的個數(shù)最優(yōu)加權(quán)平均模型也接近于多項式擬合模型，優(yōu)于多面函數(shù)模型。

以擬合效果最好的25個已知點參與擬合的實驗方法結(jié)果進行進一步分析，如圖5所示。

圖5 檢核點高程異常不符值

由圖5可知，從擬合效果來看，最優(yōu)加權(quán)平均模型相較于多項式擬合模型和多面函數(shù)模型更為收斂，整體擬合效果更好。說明最優(yōu)加權(quán)平均模型相比于單一數(shù)學模型可以很好地降低誤差，提高精度。

4 結(jié) 語

通過分別使用多項式擬合模型、多面函數(shù)模型和最優(yōu)加權(quán)平均模型對某地區(qū)在同一條件下參與擬合的已知點個數(shù)分別為25、20、15進行擬合分析可知：

(1)同等條件下，最優(yōu)加權(quán)平均模型相較于單一數(shù)學模型，整體精度可以提高6%～28%。在地勢較為平坦的地區(qū)，多項式擬合模型比多面函數(shù)模型精度高，最優(yōu)加權(quán)平均模型可以綜合單一數(shù)學模型的優(yōu)點，提高精度。

(2)最優(yōu)加權(quán)平均模型檢核點更為收斂，誤差較大點數(shù)少，可靠性更強。由于其他單一模型也參與加權(quán)平均，會兼顧到其他單一模型對地勢較為復雜地區(qū)的影響，避免精度較高單一模型對局部地區(qū)無法準確擬合和精度較低模型所占權(quán)重過高的缺點，數(shù)據(jù)的可靠性得以保證。

(3)實際工程中，最優(yōu)加權(quán)平均模型操作流程簡單，實用性強，具有很好的實際意義和擬合效果，是工程中可以加強應(yīng)用的一種方法。