顏壽春

浙江省溫嶺市教育科學(xué)研究室 317500

六年級上冊第五單元“圓”內(nèi)涵豐富，承載著深厚的文化元素，通過這個單元的學(xué)習(xí)，不僅能加深學(xué)生對周圍事物的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為后續(xù)研究圓柱、圓錐相關(guān)知識奠定了基礎(chǔ)。探究圓的知識，還要用到“轉(zhuǎn)化、極限”等思想方法，能有效促進學(xué)生“直觀想象、邏輯推理、抽象、建模、運算”等能力的發(fā)展［1］。

一、整體設(shè)計、分散難點

由于“圓”是小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形中唯一一個曲線圖形，從直線圖形到曲線圖形，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)進入了一個新的領(lǐng)域，研究問題的方式需要進行遷移與創(chuàng)新，再加上本單元概念多、公式雜、題目靈活多變，教師需從學(xué)生認知特點和規(guī)律出發(fā)，“整體設(shè)計單元教學(xué)，穩(wěn)扎穩(wěn)打有序推進”，以下便是本單元調(diào)整補充后的整體設(shè)計（表1）。

表1

二、品味文化，感悟思想

在“數(shù)學(xué)文化”的大背景中進行數(shù)學(xué)教學(xué)，能讓學(xué)生在追根溯源中明白知識的來龍去脈［2］。

本單元有三處承載了數(shù)學(xué)文化，一是《墨經(jīng)》中記載的“圓，一中同長也”，二是《周髀算經(jīng)》中的“圓出于方”和“周三徑一”，三是劉徽的割圓術(shù)。從文化的高度研究數(shù)學(xué)課堂，對這些數(shù)學(xué)史料進行再加工、再創(chuàng)造，還原知識形成的過程，把知識的科學(xué)性和文化性有機融合，可以讓數(shù)學(xué)與學(xué)生更加緊密聯(lián)結(jié)。

1.對比操作，理解“一中同長”

在認識圓的特征時，按照概念形成的4 個階段：“認識階段、分析階段、構(gòu)建階段、應(yīng)用階段”設(shè)計教學(xué)過程，能讓學(xué)生充分理解概念的本質(zhì)［2］。認識階段：從六千年前人類制造的史上第一個圓形輪子，引出“為何輪子都是圓的”？學(xué)生交流之后驗證，嘗試用直尺、線繩、圓規(guī)3 種不同的方式畫圓，找到共同點。教師順勢引出2000 多年前墨子的“圓，一中同長也”。分析階段：“一中”指一個中心，“同長”指圓上每一個點到中心的距離相等。構(gòu)建階段：結(jié)合圓的各部分名稱和特點，讓學(xué)生體會“一中同長”，再與正三角形、正方形、正五邊形等正多邊形比較，進一步理解“一中同長”，得出“邊的數(shù)量越多，中心點到頂點和邊的距離越來越接近，但始終不相等，直至變成一個圓，才有與中心點等距”的特征。應(yīng)用階段：學(xué)生運用圓的特征解釋本課開始時提出的“輪子為什么是圓形的”，再討論“窖井蓋為什么是圓的”。

2.猜想驗證，推理“周三徑一”

在教學(xué)圓的周長時，教師讓學(xué)生自由猜想怎樣得到圓周長，圓周長怎樣計算，然后出示正方形里一個最大的圓，圓內(nèi)再畫一個正六邊形，讓學(xué)生直觀感受到“C正六邊形＜C圓＜C正方形”，而“C正六邊形=6r=3d”“C正方形=4d”，就推理出了“3d＜C圓＜4d”。接著介紹《周髀算經(jīng)》中記載的“周三徑一”，教師適時激勵：“這是一個非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程，你們通過觀察和推理，得出的結(jié)論與幾千年前古人的研究如出一轍，真了不起。”在激勵中，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索到底是介于3d 與4d之間的哪個數(shù)，最后介紹劉徽的割圓術(shù)和祖沖之發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)，以及之后的人們用分析法計算出的圓周率，直至今天的人們用計算機算出了小數(shù)點后數(shù)十萬億位，這些探索不斷推動著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

3.引導(dǎo)遷移，探究“化曲為直”

圓的面積公式推導(dǎo)中，“化曲為直”的思想是核心。首先，學(xué)生借助經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)“數(shù)方格”這一方法的不足，進而提出“怎樣將圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形”。在對平行四邊形等平面圖形推導(dǎo)過程的回憶后，學(xué)生領(lǐng)悟到用“新知轉(zhuǎn)化成舊知”的方法去遷移學(xué)習(xí)新知。圓和哪個熟悉圖形可以建立聯(lián)系？將目標(biāo)聚焦到正方形上，接著引導(dǎo)學(xué)生猜想面積的倍數(shù)關(guān)系。第三環(huán)節(jié)是驗證猜想，通過小組合作，在剪一剪、拼一拼的動手操作中，把圓不斷地平均分，轉(zhuǎn)化成長方形來思考，學(xué)生親歷“轉(zhuǎn)化”的過程，進一步內(nèi)化了“化曲為直”的思想方法。

4.精準(zhǔn)演繹，支撐“極限思想”

圓的面積推導(dǎo)過程中，學(xué)生對于“平均分的份數(shù)（偶數(shù)份）越多，拼成的圖形越接近長方形”這樣的表述理解有困難，此時，教師要借圖形軟件助力精準(zhǔn)演繹，為學(xué)生提供強有力的視覺支持，讓學(xué)生清楚地看到：把圓動態(tài)平均分成4 份、8 份、16 份、32 份……拼成的圖形就越接近平行四邊形。并將這個過程用數(shù)學(xué)語言進行精準(zhǔn)表達，如：因為長方形的長是圓周長的一半，即πr，長方形的寬是圓的半徑，即r，長方形的面積等于長×寬=πr×r，所以，圓的面積=πr×r=πr2。這時教師要適時板書，幫助學(xué)生更清楚地理解轉(zhuǎn)化過程。

三、共性歸整，模型求聯(lián)

數(shù)學(xué)上的求聯(lián)，是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的諸多元素，通過主動建構(gòu)聯(lián)系，由已知熟悉的概念聯(lián)想到相關(guān)的概念，并根據(jù)一定的維度關(guān)系進行組合與排列，構(gòu)成一個穩(wěn)定的模塊儲存于學(xué)習(xí)者的認知庫里。本單元基于求聯(lián)的學(xué)習(xí)方式，能有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，促使“四基”整體提升。

1.去偽存真，情境求聯(lián)

教師要設(shè)計題組讓學(xué)生在解決實際問題的分析、比較中更進一步加深對知識的理解。例如：“在一個半徑為5 米的圓形花圃，圍一條寬為3 米的環(huán)形石子路。這條環(huán)形路的面積是多少平方米？”“一個半圓形水池半徑是8 米，直徑增加2 米，水池面積增加了多少平方米？”“分針走一圈與時針走一圈，針尖掃過的面積相差多少平方厘米？”［3］把這3 個實際的場景抽象之后，其實就是同一個數(shù)學(xué)模型——環(huán)形，只需要運用求環(huán)形面積的知識來解決這個問題就可以了。教師還可以布置課后作業(yè)，讓學(xué)生自己設(shè)計同一模型下的不同情境題目，提高對題目結(jié)構(gòu)化的把握和分析歸納能力。

2.等價轉(zhuǎn)換，相似求聯(lián)

相似求聯(lián)，是指當(dāng)遇到一個不熟悉的問題時，會通過聯(lián)想將它變成一個自己熟悉的的問題，繼而使問題得到解決。這對學(xué)生來說是有一定難度的，因為相似求聯(lián)并沒有固定的策略與方法，它需要通過對具體問題的具體分析、深入剖析，精準(zhǔn)提取已有知識體系中的相對應(yīng)概念，才能實現(xiàn)由陌生到熟悉的相似轉(zhuǎn)換。教師要設(shè)計相似題組對比練習(xí)，讓學(xué)習(xí)者看到此類圖形會自然進行聯(lián)想。

如圖1、圖2，外面圓的周長與里面小圓的周長之和相比較，哪一個長？

圖1

圖2

如圖3，從點A 到點B，沿著大圓走和沿著中、小圓走的路程相同嗎？

圖3

如圖4，比較大圓周長、小圓周長之和、長方形周長的大小。

圖4

以上3 例其實是等價題組，都是外圓周長等于直徑上所有相切圓周長之和。再如下圖（圖5）所示，在相同的正方形內(nèi)畫圓，每個正方形內(nèi)的圓形面積總和都是相等的。教師精心設(shè)計題組對比練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生通過猜測、驗證，得出相等結(jié)論，有利于培養(yǎng)等價聯(lián)想能力。

圖5

3.旋轉(zhuǎn)平移，構(gòu)圖求聯(lián)

構(gòu)圖求聯(lián)，意指在分解組合圖形時，看清由哪幾個基本圖形組合起來的，或是從哪一個基本圖形里去掉哪一個或幾個基本圖形得到的，或借助旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、平移、分割、拼補、添輔助線等方法化難為易，從而找出解答的方法。

如圖6：已知圖中陰影部分面積，求圓環(huán)面積。

圖6

如圖7，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，那么這兩個部分的面積之比是多少？

圖7

如圖8，3 個圓的半徑都是10cm，3個圓兩兩相交于圓心，求陰影部分的面積和。

圖8

4.對比想象，動態(tài)求聯(lián)

動態(tài)求聯(lián)，意指讓靜態(tài)的圖形通過想象、畫圖等方式聯(lián)系起來，形成習(xí)題模塊，尋求解法上的共通點，形成同一解決策略，感受習(xí)題模塊“萬變不離其宗”的內(nèi)在魅力，同時在變化中，發(fā)展空間觀念，感受數(shù)學(xué)之美［4］。如以下3 例通過化靜為動的想象和對比，就能發(fā)現(xiàn)屬于同一模塊的知識，都是以系繩處為定點圓心，小動物活動的范圍就是以定點到小動物之間的距離為半徑的數(shù)個面積之和，同時注意有序思考，不遺漏不重復(fù)。

例1 草場上有一個長20 米，寬10 米的關(guān)閉著的牛圈，圈的一角用長30 米的繩子拴著一只牛，這只牛的活動范圍有多大？

例2 一只小狗被拴在一個邊長為3 米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩子長是4 米，求小狗所能到的地方的總面積。

例3 一個邊長為4 米的正五邊形的建筑物的一個頂點處拴著一只小狗，四周都是空地。繩長剛好夠小狗走到建筑物外墻邊的任一位置。小狗的活動范圍是多少平方米？

四、梳理融匯，提升能力

在對圓形特征、圓周長與面積的探究中，學(xué)生頭腦中已初步形成了新的認知結(jié)構(gòu)網(wǎng)，這個認知網(wǎng)絡(luò)初具雛形，但它還不夠合理、準(zhǔn)確、牢固，如果要讓學(xué)生在面臨各種情況時，準(zhǔn)確地從認知網(wǎng)中提取出想要的信息和策略并順利解決這些問題，還需要教師的引導(dǎo)與幫助，形成提綱挈領(lǐng)的思維鏈，讓學(xué)生領(lǐng)悟到解決某一類問題的基本方法和基本策略，從而真正意義上實現(xiàn)減負提質(zhì)，高效學(xué)習(xí)。

1.順逆互推，打造邏輯力

逆向思維的培養(yǎng)能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，這個單元的逆向思維的運用主要體現(xiàn)在對計算公式的逆向運用上。例如，已知圓的周長，求圓的面積，必先求出圓的半徑，就需要逆向使用計算公式C=2πr。再如，已知半圓的周長，求半圓的面積，對逆向思維能力的要求就更高了。此時，列方程解答，可以減小逆向思維的難度，順利解出這類逆向思維的題。對于逆向思維能力較強的人，可以直接由計算公式C=2πr，得到r=C÷2π 或r=C÷（2×π），根據(jù)半圓周長=πr+2r，得到r=半圓周長÷（2+π）。

2.深挖關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)習(xí)力

圖9

圖10

圖11

圓周長、面積的變化規(guī)律，就是因為半徑這一要素引發(fā)的，教師還要提醒學(xué)生注意，判斷面積的變化時，要關(guān)注半徑的平方。而圓形與其他圖形的關(guān)系，關(guān)鍵是要找半徑與其他圖形長、寬或高、底的聯(lián)系，通過轉(zhuǎn)化將兩個或三個圖形打通，計算出面積或周長，同時鼓勵學(xué)生嘗試將關(guān)系網(wǎng)進行梳理整合，形成思維導(dǎo)圖或大綱、表格（表2），最后全班交流，形成規(guī)范合理、科學(xué)有序的關(guān)系網(wǎng)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的整理能力，提升自主學(xué)習(xí)能力。

表2

3.提綱挈領(lǐng)，形成思維鏈

與上面提到的關(guān)系推理一樣，本單元公式眾多，若不加以及時整理，學(xué)習(xí)效率會大打折扣。

此時，教師可以布置任務(wù)：本單元用到了哪些公式？你能將這些公式分類整理成表格嗎？（表3）值得注意的是，當(dāng)下思維導(dǎo)圖非常盛行，但是對于數(shù)學(xué)學(xué)科的整理，表格有其先天的優(yōu)勢，它便于橫向比較、縱向遞進，有利于進一步理解和掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與特征。

4.找尋訣竅，提高運算力

有研究表明，近十幾年來，中小學(xué)生的計算能力較之以往的同齡學(xué)生大為下滑，原因主要是由于新課程對于計算技能要求降低了，由此帶來的問題就是在“圓”單元的計算中，尤其是計算面積時，學(xué)生耗時耗力且錯誤頻發(fā)。例如學(xué)生在完成關(guān)于圓環(huán)的作業(yè)時，時間花費是以往同量作業(yè)的至少兩倍，且計算無差錯的屈指可數(shù)。此時，教師是選擇較簡單的數(shù)據(jù)降低計算難度還是惡補計算以提高正確率？顯然都不是最佳選擇。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析問題、發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，即記住常用π 值結(jié)果：1π 到9π、16π、25π、36π、64π、96π，以及常用平方數(shù)結(jié)果：11 到19 的平方數(shù)，這樣就能減輕計算量，提升計算正確率。

表3

借助“圓”單元的整體教學(xué)實踐，筆者深感數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)不應(yīng)拘泥于一課一題，應(yīng)以“發(fā)展思維”為目的，以培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”為終極目標(biāo)，盡力挖掘數(shù)學(xué)本身承載的“文化元素”“思想方法”，基于學(xué)生立場大視域、高角度地對教材、教學(xué)方式進行調(diào)整與變革，在每一節(jié)“求聯(lián)求通”的課堂教學(xué)中，讓學(xué)生實現(xiàn)知識體系的自主建構(gòu)，在充滿人文關(guān)懷的探索中，提升自身的核心素養(yǎng)。