成金嬋

江蘇省興化市實驗小學(xué) 225700

推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要維度。它不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的一種思維方式，更是學(xué)生終身學(xué)習(xí)、適應(yīng)社會不可或缺的重要能力［1］。數(shù)學(xué)推理具有很強的邏輯性和嚴謹性，它能夠使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去偽存真，從眾多看似“雜亂無章” 的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中獲得某種規(guī)律性認識，從而在這個過程中提升學(xué)生思維能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)合理猜想

數(shù)學(xué)家波利亞說：“要成為一個好的數(shù)學(xué)家，你必須首先是一個好的猜想家?！辈孪胧峭评淼那白?。科學(xué)合理的猜想有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還能夠為學(xué)生的數(shù)學(xué)推理提供一定的方向。因此，要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，教師就應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供合理猜想的時間和空間。

師：星期天，淘氣和媽媽一起去超市購物。他們打算買一些大米，大米的價格是每包6 元，這個時候，媽媽準備出題考考淘氣：①如果買2 包大米，需要多少元？②如果買20 包大米，需要多少元？③如果買100 包大米，需要多少元？同學(xué)們，你們能夠幫助淘氣解決這些難題嗎？

生1：第①題可以列式為6×2=12（元）。

生2：第②題可以列式為6×20=120（元）。

生3：第③題可以列式為6×100=600（元）。

師：請同學(xué)們觀察并分析這3 個算式，說一說你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生討論、交流）

生1：從上往下觀察，我發(fā)現(xiàn)，如果其中的一個因數(shù)不變，而另一個因數(shù)變大，那么積也會變大。

生2：從下往上觀察，我發(fā)現(xiàn)，如果其中的一個因數(shù)不變，而另一個因數(shù)變小，那么積也會變小。

師：對。同學(xué)們還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生3：從上往下觀察，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘一個數(shù)，那么積也乘同一個數(shù)；從上往下觀察，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以一個數(shù)，那么積也除以同一個數(shù)。

師：你能結(jié)合這3 個式子具體說一說嗎？

生3：比如，從上往下看時，因數(shù)6不變，另一個因數(shù)2 乘10（變成20），積也乘10（變成120）；因數(shù)6 不變，另一個因數(shù)20 乘5（變成100），積也乘5（變成600）。從下往上看時，也是同樣的道理。

師：剛才我們得出了兩種結(jié)論：①一個因數(shù)不變，而另一個因數(shù)變大（小），那么積也會變大（小）。②一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘（或除以）一個數(shù)，那么積也乘（或除以）同一個數(shù)。

師：同學(xué)們比較一下，哪個結(jié)論更好一些呢？

生4：我感覺，第①個表達得比較模糊，第②個結(jié)論更好些，表達得更準確。

教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)生活情境，激發(fā)學(xué)生興趣，在學(xué)生列出算式后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察3 個算式，學(xué)生在觀察、分析和討論中進行猜想和推理。需要注意的是，由于認知水平的差異，學(xué)生進行猜想和推理的結(jié)論也是有差異的。教師應(yīng)該順勢而教，引導(dǎo)學(xué)生對兩種推論進行比較，使學(xué)生自主探索出積的變化規(guī)律。

二、科學(xué)驗證，夯實推理根基

數(shù)學(xué)是依靠嚴謹?shù)倪壿嬐评斫M成的有機系統(tǒng)。學(xué)生通過觀察和分析做出的初步猜想，還不能稱之為真正的數(shù)學(xué)結(jié)論。教師要向?qū)W生滲透“推理與證明”的科學(xué)意識，使學(xué)生始終保持嚴謹、理性的思考，反復(fù)從不同視角、不同情況驗證結(jié)論成立的必然性，并能夠有條理地表達出自己的思考過程，使學(xué)生的推理真正做到言之有理，落筆有據(jù)［2］。

（一）舉例驗證，感悟歸納推理

在小學(xué)階段，學(xué)生接觸到的歸納推理大多為不完全歸納推理。在驗證過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生舉出更多的例子來驗證猜想結(jié)論的正確性，就屬于一種歸納推理。但是，小學(xué)生推理經(jīng)驗不足，教師應(yīng)盡量細化驗證的過程，對于舉例、計算等環(huán)節(jié)做出更加具體的指導(dǎo)，并引導(dǎo)學(xué)生充分考慮一些容易被忽視的特殊情況，這樣才能讓學(xué)生真正經(jīng)歷推理的過程，體驗歸納推理的科學(xué)性。

師：通過觀察和分析上面的例子，我們已經(jīng)做出了猜想。那么，我們的猜想是否正確呢？是不是所有的乘法算式都具有這樣的規(guī)律呢？

生1：我們可以通過列舉更多的例子來驗證我們的猜想。

師：對，我們在舉例的時候要特別考慮一些特殊的情況。

（學(xué)生以小組為單位進行舉例驗證）

生1：我們小組列舉了這樣兩組算式，發(fā)現(xiàn)我們原來猜想的結(jié)論是正確的。

生2：我們小組有新的發(fā)現(xiàn)。我們發(fā)現(xiàn)“0”這個數(shù)字并不完全滿足我們的猜想。比如，2×6=12，如果因數(shù)2 不變，另一個因數(shù)6×0＝0，那么2×0=0，這就相當(dāng)于積12×0=0，這種情況下是符合這個規(guī)律的；但是，當(dāng)除以“0”時，情況就不一樣了。因為0 不能作除數(shù)，所以如果這個數(shù)是0，就導(dǎo)致算式?jīng)]有意義了。

師：對，這一點發(fā)現(xiàn)很重要。那么，現(xiàn)在我們?nèi)绾蝸硇拚约旱慕Y(jié)論呢？

生3：應(yīng)該把“0”這種情況排除在外。結(jié)論為：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘（或除以）一個數(shù)（0 除外），那么積也乘（或除以）同一個數(shù)。

師：這樣我們得出的結(jié)論就更嚴謹了。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過舉例來論證猜想的正確性。在舉例的過程中，不但進一步加深了學(xué)生對積的變化規(guī)律的認知深度，還通過對“0”這種特殊情況的探討，使學(xué)生的思維更加嚴謹，在親身經(jīng)歷由個別到一般的歸納推理過程中感受到了推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。

（二）數(shù)形結(jié)合，使結(jié)論更穩(wěn)固

“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”用數(shù)形結(jié)合的策略來驗證猜想結(jié)論的正確性主要是基于以下兩點考慮：一是小學(xué)生形象思維較強，抽象思維薄弱，而數(shù)形結(jié)合可以在學(xué)生思維形象性和數(shù)學(xué)規(guī)律抽象性之間搭建一座橋梁，從而延緩學(xué)生認知坡度；二是盡管在上述教學(xué)中，學(xué)生通過不完全歸納推理已經(jīng)驗證了結(jié)論的正確性，但不完全歸納推理仍然具有較強的或然性，學(xué)生畢竟無法窮盡所有的算式對這條規(guī)律進行反復(fù)驗證，而運用數(shù)形結(jié)合驗證“積的變化規(guī)律”，不但能夠使數(shù)學(xué)結(jié)論更加穩(wěn)固、更加令人信服，還能夠提升學(xué)生對“積的變化規(guī)律”的理解深度。

師：除了用舉例的辦法，我們還能夠用數(shù)形結(jié)合的方法來驗證我們結(jié)論的正確性。這是一個長方形（如圖1），它的長是2 厘米，寬是1 厘米，那么它的面積是多少呢？

圖1

生1：它的面積是2×1=2（平方厘米）。

師：如果它的寬不變，長度乘2（如圖2），這時它的面積是多少？

圖2

生1：2×2=4（厘米），它的面積是4×1=4（平方厘米），而原來的面積是2 平方厘米，2×2=4（平方厘米）

生2：寬不變，長乘2，面積也乘2，這與我們的結(jié)論是相符合的。

師：如果它的寬不變，長度乘3（如圖），這時它的面積是多少？

圖3

生1：2×3=6（厘米），它的面積是6×1=6（平方厘米），而原來的面積是2 平方厘米，2×3=6（平方厘米）。

生2：寬不變，長乘3，面積也乘3，這與我們的結(jié)論也是相符合的。

師：由圖可知，寬不變，長乘幾，面積就乘幾。長方形的寬是一個因數(shù)，長方形的長是另一個因數(shù)，通過推理，我們能夠清晰地看到面積隨著長的變化而變化，也就是積隨著因數(shù)的變化而變化。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的策略理解、驗證“積的變化規(guī)律”，這就使得抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律以比較直觀形象的方式呈現(xiàn)出來，助力學(xué)生理解。此外，學(xué)生通過把數(shù)與形結(jié)合起來，通過面積隨著長的變化而變化體現(xiàn)出乘積隨著因數(shù)的變化而變化，從而進一步有力地論證了推理結(jié)論的正確性。

新課標將“推理能力”列為十大核心詞之一。數(shù)學(xué)推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，其在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要作用。推理能力的培養(yǎng)與發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。教師要從創(chuàng)設(shè)情境、引發(fā)猜想、科學(xué)驗證等環(huán)節(jié)入手，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗推理的全過程，不斷積累觀察、分析、猜想、抽象、驗證等數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)手段，以達到發(fā)展學(xué)生推理能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)的教育目標。