王世杰

（上海飛機制造有限公司，上海 201324）

0 引言

碳纖維增強樹脂基復合材料具有高比強、高比模量、抗疲勞、耐腐蝕、可設計性強等特點，因而廣泛應用于航空航天領域，并帶來明顯的減重效益。隨著人們對飛機整體重量的重視，復合材料已越來越多的應用在尾翼、機身、機翼等主承力結構中。其中T 型、工型以及帽型結構是復合材料加筋壁板結構的典型構件。對于工型長桁結構一般是由上蓋板、下底板、左/右C 型構件組合而成的，左/右C 型構件在與上蓋板、下底板組合時，會產生三角空隙區(qū)。圖1 是工型長桁截面示意圖。在實際制作中，一般使用一定體積的復合材料填充物（捻子條）來填充三角空隙，以降低應力集中并提高R 區(qū)成型質量。圖2 是捻子條形狀示意圖。

圖1 工型長桁截面示意圖

圖2 捻子條形狀示意圖

復雜結構在劃分網(wǎng)格時，由于形式復雜而計算花費時間長，或者由于計算機內存不足時，往往對結構進行幾何簡化。但為了得到準確的分析結果，結構幾何簡化模型也應盡量靠近原始模型，簡化一些尺寸相對較小的細節(jié)，主要的結構幾何形狀一定要保留，隨意的刪減一些結構，會改變模型的剛度，得到的結果與實際值之間存在巨大的差別。T 型/工型等梁或長桁結構在劃分網(wǎng)格時，若對捻子條區(qū)域幾何簡化，則腹板與緣條相交處呈直角，幾何形狀劇烈變化導致該處應力集中，使仿真分析結果失真。圖3 是將捻子條區(qū)幾何簡化后應力仿真分析結果。從圖3 中可以看出直角處應力值明顯高于其他區(qū)域。故T 型、工型以及帽型加筋壁板的三角填充區(qū)不能幾何簡化，需要對捻子條區(qū)域進行仿真細節(jié)建模，以得到較為準確的仿真結果。

圖3 捻子條區(qū)幾何簡化后應力仿真分析結果

在復合材料仿真細節(jié)建模過程中，如何高效、快速劃分網(wǎng)格，是仿真分析過程中亟待解決的問題。有限元的前處理工作長期停留在手工操作階段，不但費時費力，而且容易出錯。隨著計算機技術、編程技術的迅猛發(fā)展，以及人們對仿真建模效率要求的不斷提升，人們越來越重視網(wǎng)格自動生成算法的研究。相關學者已提出了多種自動程序的有限元網(wǎng)格生成算法。這些算法對任意復雜形狀區(qū)域的網(wǎng)格剖分魯棒性強，能盡可能地避免病態(tài)三角網(wǎng)格的出現(xiàn)。這些算法多是采用C、C++或C#等語言編制，或者基于這些語言的程序庫，算法復雜度大，約束條件多。目前復合材料建模多采用Abaqus 軟件，該軟件的二次開發(fā)腳本使用經達索系統(tǒng)定制的Python 語言。若想利用已有算法實現(xiàn)捻子條區(qū)域的三角網(wǎng)格剖分，需用Python 語言重新編寫。

本文以Delaunay 三角網(wǎng)格劃分規(guī)范為基礎，利用捻條三角填充區(qū)近似對稱性的幾何特點，使用Abaqus的內核腳本語言Python，重點開展工型/T 型等梁、長桁以及帽型加筋壁板等復材結構的三角填充區(qū)域的網(wǎng)格自動劃分研究，探索和驗證網(wǎng)格自動劃分算法的可行性和可靠性。使用該算法劃分的三角網(wǎng)格質量高，算法實現(xiàn)簡單，為后續(xù)工型/T 型等結構的復材零件快速建模發(fā)揮了重要作用。

1 網(wǎng)格劃分基本思想

楊輝三角，又稱帕斯卡三角，它是一個無限對稱的數(shù)字金字塔，從頂部的1 開始，下面一行中的每個數(shù)字都是上面兩個數(shù)字之和。圖4 是楊輝三角形。從圖中可以看出，如果將上一行的數(shù)字與下一行緊鄰的兩個數(shù)字用直線順序相連，將構成一個完美的等邊三角形。

圖4 楊輝三角形

針對某一區(qū)域的三角剖分問題，是指對有限平面（空間）點集內的點，按一定的方式連接起來，成為互不交叉三角形網(wǎng)，通常情況要求劃分出的三角形網(wǎng)格應盡量均勻，即避免出現(xiàn)狹長的三角形。有限元網(wǎng)格生成技術的方法很多，但俄國數(shù)學家Delaunay 在1943 年證明：必定存在且僅存在一種剖分算法，能夠滿足“最大最小角”優(yōu)化準則。即所有三角形的最小內角之和最大，通常稱之為Delaunay 三角剖分。Delaunay 網(wǎng)格劃分規(guī)范廣泛應用于有限元網(wǎng)格自動生成中，確保了網(wǎng)格中的三角形形狀處于可控狀態(tài)。

Delaunay 三角剖分算法保證了任意空間區(qū)域用三角形剖分的可靠性。但Delaunay 算法較為復雜，需要同時滿足多個附加條件。捻子條區(qū)域截面是曲邊三角形的異形截面，且具有對稱性?；谀碜訔l區(qū)域形狀特點，本文在Delaunay 算法規(guī)則的基礎上，采用楊輝三角模型的三角網(wǎng)格剖分方法，具有算法實現(xiàn)難度低、網(wǎng)格結構形式簡單等特點。

2 網(wǎng)格質量判定標準

網(wǎng)格質量是決定計算效率和計算精度的重要因素。很多情況在模擬計算過程中，系統(tǒng)會發(fā)出單元質量不合格的警告信息，嚴重時會導致出錯進而導致計算中斷。因此，建立網(wǎng)格質量判定標準體系，對于仿真分析具有重要的意義。

Abaqus 軟件針對二維三角形單元的主要質量指標包括兩種：

（1）單元的形狀因子表示單元的面積與該單元具有相同的外接圓半徑的等邊三角形的面積之比，形狀因子的取值范圍為0～1，值越大表明該單元的形狀越好。

（2）三角形單元縱橫比為各邊長度與三角形各個邊上的高度的比值再乘以√3/2，如果比率小于1，則取倒數(shù)。取其中最大值作為單元的縱橫比。單元的形狀越不接近等邊三角形，縱橫比越大?？v橫比理想值等于1，通常該值不能超過8。

3 捻子條區(qū)域的曲邊三角形網(wǎng)格剖分算法

輸入：按順序輸入捻子條曲邊三角形各曲邊的節(jié)點編號，節(jié)點坐標。

輸出：捻子條區(qū)域的三角網(wǎng)格。

假定已經由其他自動化程序或手工完成了捻子條區(qū)域的曲邊三角形邊界點的定義，即確定了曲邊三角形各曲邊的節(jié)點編號順序以及相應的坐標值。本文采用的三角剖分算法如下：

（1）按照一定的順序依次讀入曲邊三角形的節(jié)點編號、節(jié)點坐標。令曲邊三角形曲邊相交的頂點編號為0，向下依次編碼為1，2，3……

（2）在曲邊三角形的左曲邊與右曲邊對應節(jié)點之間，按照楊輝三角結構形式布置等分節(jié)點；

（3）從編號為2 的節(jié)點開始，記錄該行及上一行（包括曲邊上的節(jié)點和等分節(jié)點）節(jié)點編號、節(jié)點坐標。計算每個頂點內角的大小余弦值，并記錄每個頂點的前相鄰節(jié)點和后相鄰節(jié)點；

（4）對內角余弦值從大到小排列，求出最大內角余弦值的頂點，記為A。將該頂點與它的前相鄰點（記為B）和后相鄰點（記為C）連接成三角形，并檢測ABC組成的三角形外接圓是否包含其他頂點，如果包含其他頂點，轉到步驟（5），否則轉到步驟（6）；

（5）取次大內角余弦進行判斷，按照步驟（4）重新計算；

（6）從子節(jié)點數(shù)據(jù)結構中去除頂點A，按照步驟（4）重新計算，直到節(jié)點數(shù)目只有3 個的時候停止，并將這3 個頂點連成三角形，從而結束曲邊三角形的三角剖分；

（7）最后將曲邊三角形曲邊相交的頂點、曲邊三角形左曲邊1 號節(jié)點和曲邊三角形的右曲邊1 號節(jié)點連接成三角形網(wǎng)格。

4 案例說明

為驗證算法的正確性與可行性，本文應用有限元分析軟件Abaqus 的二次開發(fā)語言Python 對算法給予實現(xiàn)，并使用工型長桁三角空隙區(qū)域構成的簡單多邊形對算法進行測試。

同時為了評判網(wǎng)格劃分質量，采用節(jié)點連元法，將曲邊三角形邊對應節(jié)點相連構成三角形單元。圖5是優(yōu)化前網(wǎng)格剖分結果。

圖5 優(yōu)化前網(wǎng)格剖分結果

優(yōu)化后網(wǎng)格自動剖分試驗結果見圖6～8。圖6 是捻子條區(qū)域初始節(jié)點，圖7 是自動插入等分節(jié)點分布圖，圖8 是優(yōu)化后網(wǎng)格剖分結果。表1 是優(yōu)化前與優(yōu)化后捻子條區(qū)三角形網(wǎng)格質量指標參數(shù)對比結果。

表1 優(yōu)化前與優(yōu)化后捻子條區(qū)三角形網(wǎng)格質量指標參數(shù)對比結果

圖6 捻子條區(qū)域初始節(jié)點

圖7 自動插入等分節(jié)點

圖8 優(yōu)化后網(wǎng)格剖分結果

5 結語

本文在研究Delaunay 三角網(wǎng)格劃分方法基礎上，將楊輝三角模型應用到捻子條填充區(qū)的網(wǎng)格劃分中，從而實現(xiàn)三角形網(wǎng)格的高質量劃分，并得出如下結論：

（1）捻子條區(qū)域內是否增加節(jié)點會顯著影響R 區(qū)網(wǎng)格劃分質量，當將邊界上的節(jié)點直接相連創(chuàng)建三角形單元時，網(wǎng)格質量差，形狀因子只有0.16，單元縱橫比超過了可接受值8，發(fā)出警告的單元數(shù)目占比為70.83%，超過一半以上網(wǎng)格單元質量較差。

（2）通過在捻子條區(qū)域內部適當位置自動增加一定數(shù)目節(jié)點，按照設定的三角形單元網(wǎng)格劃分準則，可以剖分出單元質量更好的三角形網(wǎng)格。形狀因子提升至0.56，單元縱橫比降至2.54，發(fā)出警告的單元數(shù)目占比也降至14.78%。單元質量得到明顯改善。