曹煜軒 姜建剛

(西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院 陜西 咸陽(yáng) 712100)

旋轉(zhuǎn)圓環(huán)上的珠子是一道有趣的力學(xué)問(wèn)題．描述了一個(gè)珠子在圓形繞軸旋轉(zhuǎn)的軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題．因其具有豐富的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),已有很多學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)過(guò)研究[1～3]．然而,本文通過(guò)理論分析發(fā)現(xiàn),拋物線型軌道上的珠子這一問(wèn)題仍具有十分有趣的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．同時(shí),本文通過(guò)數(shù)值模擬[4～6],更加直觀地闡明了珠子的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象．理清這一問(wèn)題背后的原理,十分有助于學(xué)生對(duì)動(dòng)力學(xué)與微分方程的融會(huì)貫通．

1 珠子的動(dòng)力學(xué)方程

一個(gè)質(zhì)量為m的珠子,放置在拋物線型的光滑軌道中,軌道繞y軸以角速度ω旋轉(zhuǎn),如圖1所示.

圖1 拋物線上的珠子示意圖

珠子的位置可由坐標(biāo)(x,y)確定．因?yàn)橹樽釉趻佄锞€軌道中運(yùn)動(dòng),存在約束x2=2py(p>0),其中p為拋物線軌道的焦準(zhǔn)距,所以珠子的位置只需一個(gè)廣義坐標(biāo)就可確定,選取x作為描述珠子運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)．

珠子的動(dòng)能可以表示為

(1)

選取軌道底部作為零勢(shì)能面,珠子的勢(shì)能為

(2)

則可以給出珠子的拉格朗日量

(3)

將式(3)代入拉格朗日方程

可得珠子的運(yùn)動(dòng)方程

(4)

為了更方便在相平面上討論穩(wěn)定性,我們令

并將ωc稱為旋轉(zhuǎn)軌道的臨界角速度,則式(4)可表示為

(5)

2 穩(wěn)定性分析

2.1 平衡點(diǎn)分析

觀察式(5),系統(tǒng)的平衡點(diǎn)可分為兩種情況：

(1)當(dāng)ω≠ωc時(shí),平衡點(diǎn)為(X,Y)=(0,0),即珠子靜止在軌道的最底部．

(2)當(dāng)ω=ωc時(shí),珠子平衡只需要Y=0,而X可取任意值,即只要珠子速度為零，軌道上的任何地方都可以平衡．

下面將分別討論這兩種情況的穩(wěn)定性．

2.2 當(dāng)ω≠ωc時(shí)

在平衡點(diǎn)(0,0)處,式(5)的線性化方程為

(6)

其中

當(dāng)ω>ωc即α>0時(shí),此時(shí)為兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根,根據(jù)微分方程的定性理論[7],平衡點(diǎn)(0,0)為鞍點(diǎn),是不穩(wěn)定的．而當(dāng)ω<ωc時(shí)即α<0,特征根是實(shí)部為零的兩個(gè)共軛復(fù)根

此時(shí)平衡點(diǎn)(0,0)稱為中心[7],是穩(wěn)定的但非漸近穩(wěn)定．

2.3 當(dāng)ω=ωc時(shí)

珠子可在任意位置平衡,設(shè)平衡點(diǎn)為

X=X*

做平移變換

X=Z+X*

將XOY平面上的平衡點(diǎn)(X*,0)平移到了ZOY平面的原點(diǎn),式(5)變?yōu)?/p>

(7)

因?yàn)槭?7)線性化后的系數(shù)矩陣‖A‖=0,表明原點(diǎn)為高階奇點(diǎn),所以不能通過(guò)A的特征根去判斷原點(diǎn)的穩(wěn)定性．我們通過(guò)探究其相平面上的軌線方程,分析其穩(wěn)定性．將式(7)消去時(shí)間t可得相平面上的曲線滿足的微分方程

(8)

式(8)的通解為

(9)

對(duì)于初值Y0在零附近的曲線,式(9)的圖像如圖2所示．可以看出,所有的解都有Y→0和Z→∞的趨勢(shì)．處在平衡位置的珠子,若被施加一個(gè)小的初速度,那么珠子的位置就會(huì)從零開(kāi)始沿著軌道逐漸增大,表明ZOY平面上原點(diǎn)是不穩(wěn)定的,即在XOY平面上,平衡點(diǎn)(X*,0)是不穩(wěn)定的．

圖2 ω=ωc時(shí),系統(tǒng)的相圖

上述分析可總結(jié)為：當(dāng)ω≥ωc時(shí),平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的,而當(dāng)ω<ωc時(shí),平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的,但非漸近穩(wěn)定．

3 數(shù)值模擬

本節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬,探究處在平衡點(diǎn)的珠子若被施加一個(gè)小的擾動(dòng),即一個(gè)小的初速度,珠子的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)如何變化．

3.1 當(dāng)ω>ωc時(shí)

數(shù)值模擬的參數(shù)如表1所示．

表1 ω>ωc時(shí)數(shù)值模擬中的參數(shù)

模擬結(jié)果如圖3所示．

圖3 ω>ωc時(shí),珠子運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬結(jié)果

圖3(a)從相平面描述了珠子的運(yùn)動(dòng)情況,可以看出,當(dāng)ω>ωc時(shí),對(duì)于初位移為零,初速度為0.1 m/s的珠子,起初速度增大得很快,然后逐漸趨于一個(gè)恒定的速度,并且在這個(gè)過(guò)程中X持續(xù)增大．圖3(b)反映了珠子位置X和時(shí)間t的關(guān)系,同樣可以看出珠子的位置從零開(kāi)始隨著時(shí)間逐漸增大．模擬結(jié)果表明,當(dāng)ω>ωc時(shí),處在平衡位置珠子若受到一個(gè)小的擾動(dòng),則會(huì)沿著軌道向外運(yùn)動(dòng),表明平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的．這與我們?cè)?.2節(jié)中分析的結(jié)果一致．

3.2 當(dāng)ω<ωc時(shí)

參數(shù)如表2所示．

表2 ω<ωc時(shí)數(shù)值模擬中的參數(shù)

模擬結(jié)果如圖4所示．

圖4 ω<ωc時(shí),珠子運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬結(jié)果

圖4(a)可以看出,當(dāng)ω<ωc時(shí),對(duì)于初位移為零,初速度為0.1 m/s的珠子,其相平面的軌跡為橢圓,表明珠子始終在原點(diǎn)附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．圖4(b)中描述了珠子位置X和時(shí)間t的關(guān)系,從中也可看到珠子在做往復(fù)運(yùn)動(dòng),并且旋轉(zhuǎn)軌道的角速度ω越大,珠子往復(fù)運(yùn)動(dòng)的振幅越大．模擬結(jié)果可以說(shuō)明,處在平衡點(diǎn)的珠子若被施加一個(gè)小的擾動(dòng),珠子仍在平衡點(diǎn)附近往復(fù)運(yùn)動(dòng),即平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的,但不是漸近穩(wěn)定的．這也與我們?cè)?.2節(jié)中分析的結(jié)果一致．

3.3 當(dāng)ω=ωc時(shí)

通過(guò)2.3節(jié)分析,我們知道此時(shí)珠子可在任何位置平衡．選取不同的初始位置X0作為平衡位置,并給珠子施加一個(gè)小的初速度,參數(shù)如表3所示．

表3 ω=ωc時(shí)數(shù)值模擬中的參數(shù)

模擬結(jié)果如圖5所示．

圖5 ω=ωc放置在不同平衡位置時(shí),珠子運(yùn)動(dòng)情況的模擬結(jié)果圖

從圖5可以看出,當(dāng)ω=ωc時(shí),處在平衡位置的珠子若被施加一個(gè)小的初速度,珠子都會(huì)隨時(shí)間,向X增大的方向運(yùn)動(dòng),即珠子會(huì)遠(yuǎn)離初始位置．表明初始放置的平衡位置是不穩(wěn)定的．這與2.3節(jié)中平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的結(jié)論相一致．

4 結(jié)論

本文研究了拋物線型旋轉(zhuǎn)軌道上的珠子的運(yùn)動(dòng)這一非線性力學(xué)問(wèn)題．首先通過(guò)拉格朗日方程推導(dǎo)

出了珠子的運(yùn)動(dòng)方程,并分析了珠子的平衡點(diǎn)．接著基于微分方程的穩(wěn)定性理論,討論了不同軌道轉(zhuǎn)速時(shí),各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,得出結(jié)論：當(dāng)轉(zhuǎn)速大于等于臨界角速度時(shí),平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的,若施加小的擾動(dòng),珠子會(huì)向著遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)的位置運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速小于臨界角速度時(shí),平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的,即便存在小的擾動(dòng),珠子也會(huì)在平衡點(diǎn)附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．最后通過(guò)數(shù)值模擬,驗(yàn)證了分析的結(jié)果,并且更加直觀地反映了珠子的運(yùn)動(dòng)情況．