關(guān)成斌

（廣東東軟學(xué)院 信息管理與工程學(xué)院，廣東 佛山 528225）

0 引言

在組織生產(chǎn)時(shí)需要采購(gòu)原料，除了原料的價(jià)格成本外，一般還涉及兩項(xiàng)支出：一是單次訂貨成本，是指因訂貨而支付的費(fèi)用，常常是按照批次進(jìn)行收費(fèi)的；二是庫(kù)存成本，是指原料到達(dá)工廠后，進(jìn)行原料存儲(chǔ)所需支付的費(fèi)用，在一般的研究中，認(rèn)為庫(kù)存成本與數(shù)量呈線性關(guān)系，即采用單位庫(kù)存成本表示[1-2]。

實(shí)際上，單次訂貨成本與單位庫(kù)存成本呈現(xiàn)出相反的走勢(shì)，即單次訂貨批量多，則均攤到每件原料上的單次訂貨成本就低，但同時(shí)會(huì)造成庫(kù)存數(shù)量和天數(shù)增多，因此單位庫(kù)存成本自然就提高了。如何平衡這個(gè)問(wèn)題，雷蒙德·費(fèi)爾菲爾德等學(xué)者們提出了經(jīng)濟(jì)訂貨批量的概念。所謂經(jīng)濟(jì)訂貨批量（Economic Order Quantity，EOQ），是指通過(guò)平衡單次訂貨成本和庫(kù)存成本核算，以實(shí)現(xiàn)總成本最低的最佳訂貨量。經(jīng)濟(jì)訂貨批量是固定訂貨批量模型的一種，可以用來(lái)確定企業(yè)一次訂貨的數(shù)量。當(dāng)企業(yè)按照經(jīng)濟(jì)訂貨批量來(lái)訂貨時(shí)，可實(shí)現(xiàn)單位原料的訂貨成本和庫(kù)存成本之和最小化[2-5]。

但是在實(shí)際的操作中存在一種超限的情況：工廠倉(cāng)庫(kù)較小，但是可以在附近租借別人的倉(cāng)庫(kù)進(jìn)行臨時(shí)存放，但是相對(duì)自有倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)存成本明顯增加，稱之為存在超限庫(kù)存，此時(shí)經(jīng)濟(jì)訂貨批量的確定就變得比較復(fù)雜。

目前針對(duì)訂貨批量的研究方法較多，常見的是解析法，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式得到經(jīng)濟(jì)訂貨批量的計(jì)算公式，然后帶入相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。但是對(duì)于超限經(jīng)濟(jì)批量的情況，雖然可以得到解析式，但是相對(duì)于典型的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式更加復(fù)雜，本文借助Python編程語(yǔ)言提出了一種基于數(shù)據(jù)分析法的超限經(jīng)濟(jì)訂貨批量確定方法。

1 超限訂貨批量情況下的成本分析

1.1 研究場(chǎng)景及思路

本文的研究場(chǎng)景：工廠倉(cāng)庫(kù)較小，但是可以在附近租借別人的倉(cāng)庫(kù)進(jìn)行臨時(shí)存放，但是相對(duì)自有倉(cāng)庫(kù)，其庫(kù)存成本明顯增加，研究這種情況下的經(jīng)濟(jì)訂貨批量。

研究思路：給出不同情況下的平均單位訂貨成本與庫(kù)存成本之和（以下簡(jiǎn)稱單位總成本）的計(jì)算公式，基于Python及numpy、matplotlib庫(kù)計(jì)算不同訂貨批量情況下的平均單位總成本，采用數(shù)據(jù)分析法找出單位總成本最低情況下的訂貨批量，即為經(jīng)濟(jì)訂貨批量，如圖1所示。

圖1 超限情況下經(jīng)濟(jì)訂貨批量研究思路

1.2 不超限情況下單位總成本計(jì)算

不超限情況時(shí)，單次訂貨批量Q低于額定庫(kù)存容量E，這種情況比較簡(jiǎn)單，只需要考慮單位原料訂貨成本和單位原料庫(kù)存成本即可。

參數(shù)假設(shè)：Q為單次訂貨批量（套）；S為單次訂貨成本；C為單位庫(kù)存成本（一套原料一天的庫(kù)存成本）；E為額定庫(kù)存容量（套）；D為一天消耗量（套）。

單次訂貨批量為Q情況下的單位原料訂貨成本為：

原料的消耗天數(shù)為Q D；在原料的消耗周期內(nèi)，每天的平均庫(kù)存量為Q2；因此在原料消耗周期內(nèi)的總庫(kù)存為：Q2()2D（天·套）；總的庫(kù)存成本為：Q2C/(2D)，平均一套原料的庫(kù)存成本為：

因此，在單次訂購(gòu)批量為Q套原料時(shí)，單位總成本為：

1.3 超限情況下單位總成本計(jì)算

參數(shù)假設(shè)同上，推導(dǎo)思路是，首先將所有原料按照正常庫(kù)存成本計(jì)算，然后再將超限的部分單獨(dú)計(jì)算，將兩部分相加即可，其中第一部分的計(jì)算同1.2節(jié)所述。

第二部分的計(jì)算方法如下：

超限的數(shù)量為：Q-E；超限部分的消耗天數(shù)為：在超限部分的消耗周期內(nèi)，每天的平均超限數(shù)量為：；因此在超限部分消耗周期內(nèi)的總超限量為：則平均單位原料額外支出的超限成本為：

有兩點(diǎn)需要注意：（1）超限單價(jià)取Co-C，主要是考慮這一部分已經(jīng)按照正常庫(kù)存計(jì)算了，因此在計(jì)算超限成本時(shí)要去除正常庫(kù)存情況下的成本；（2）分母上的Q，是用于計(jì)算這部分成本均攤到此次訂貨批量的單位成本，因此應(yīng)取Q而非Q-E。

因此，在訂貨批量為Q時(shí)，單位總成本為：

1.4 考慮超限情況下單位總成本計(jì)算

合并以上兩種情況，可以得到考慮超限情況下訂貨批量為Q時(shí)，單位總成本計(jì)算公式為：

按照傳統(tǒng)的解析法，需要利用式（6）對(duì)Q求導(dǎo)，并令其為0，即可得到TC為最小值時(shí)Q的計(jì)算公式，也就是經(jīng)濟(jì)訂貨批量[2,6]。但是，對(duì)于式（6）來(lái)說(shuō)，采用解析法存在兩個(gè)方面的問(wèn)題：（1）由于Q＜E、Q≥E兩種情況分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)計(jì)算公式，因此需要進(jìn)行兩次計(jì)算，兩次計(jì)算的結(jié)果還需要帶入式（6）進(jìn)行驗(yàn)證，判斷到底應(yīng)該取哪個(gè)結(jié)果，因此處理起來(lái)略顯麻煩[4,6]；（2）對(duì)于Q≥E的情況進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算相對(duì)比較麻煩，而且推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果也較復(fù)雜，應(yīng)用不便[7]。

為了解決上述問(wèn)題，本文采用Python程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言及其numpy、matplotlib等模塊編寫程序，利用數(shù)據(jù)分析法進(jìn)行超限經(jīng)濟(jì)訂貨批量的確定和處理[8]。

2 基于Python的超限經(jīng)濟(jì)訂貨批量數(shù)據(jù)分析法

基本的思路是從式（6）入手，通過(guò)編程計(jì)算不同Q值情況下的TC(Q)值，并繪制出曲線，找出曲線上最小的點(diǎn)，則該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Q值為經(jīng)濟(jì)訂貨批量，曲線的最小值則為單位原料最小總成本。為更簡(jiǎn)單便捷的實(shí)現(xiàn)，程序引用numpy庫(kù)，該庫(kù)是Python的一種開源的數(shù)值計(jì)算擴(kuò)展，可用來(lái)存儲(chǔ)和處理大型矩陣，支持大量的維度數(shù)組與矩陣運(yùn)算，也針對(duì)數(shù)組運(yùn)算提供大量的數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)。為更直觀地展示訂貨批量與各成本的關(guān)系，引入matplotlib庫(kù)，它是一個(gè)Python的2D繪圖庫(kù)，可以便捷地生成直方圖、功率譜、條形圖、錯(cuò)誤圖、散點(diǎn)圖等常用的可視化圖形[9-10]。

程序流程圖如圖2所示。

圖2 超限經(jīng)濟(jì)訂貨批量數(shù)據(jù)分析法程序流程圖

程序代碼如下：

#-*-coding:utf-8-*-

"""

Created on Sat Jun 19 10:10:34 2021@author:gcb

"""

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt

###=====參數(shù)設(shè)定=======

[S,D,E,C,Co]=[int(input("固定訂貨成本：")),

int(input("一天消耗量：")),

int(input("額定庫(kù)存：")),

float(input("單位庫(kù)存成本：")),

float(input("超限單位庫(kù)存成本："))][Qmin,Qmax,Qd]=[int(input("最小計(jì)算庫(kù)存：")),

int(input("最大計(jì)算庫(kù)存：")),

int(input("計(jì)算庫(kù)存間隔："))]

###====================

###=====成本計(jì)算========

Q=np.asarray(range(Qmin,Qmax,Qd))#生成計(jì)算庫(kù)存列表

COR=[] #超限成本

TC=[] #總成本列表

for ii in range(len(Q)):

Oc=S/Q[ii] #單位訂貨成本

Sc=Q[ii]*C/2/D #不考慮超限情況下的單位庫(kù)存成本

if Q[ii]＜=E: #判斷有無(wú)超限

Cor=0 #超限成本

else:

Cor=(Q[ii]-E)*(Q[ii]-E)*(Co-C)/(2*D*Q[ii])#超限成本

COR.append(Cor)

TC.append(Oc+Sc+Cor)

OC=S/Q #單位訂貨成本列表

SC=Q*C/2/D #單位庫(kù)存成本列表

jj=np.where(TC==min(TC))[0]

print("當(dāng)采購(gòu)量為：{}套時(shí)，最小單位成本為：{:0.2f}元。".format(Q[jj][0],min(TC)))

###====================

###=====可視化=========

plt.figure(figsize=(10,8))

plt.rcParams['font.sans-serif']=['STSong']#正常顯示漢字，后面的是字體

plt.xlabel("訂貨量",fontsize=20)

plt.ylabel("單位平均成本",fontsize=20)

A,=plt.plot(Q,TC,':',label='總成本')

B,=plt.plot(Q,OC,'-.',label='訂貨成本')

C,=plt.plot(Q,SC,'-x',label='正常庫(kù)存成本')

D,=plt.plot(Q,COR,'--',label='超庫(kù)存成本')

E,=plt.plot([Q[jj],Q[jj]],[0,30],label='經(jīng)濟(jì)訂貨批量')

font1={'family':'STSong','weight':'normal','size':20}

legend=plt.legend(handles=[A,B,C,D,E],prop=font1)

plt.axis([Qmin,Qmax,0,30])

plt.tick_params(labelsize=20)

plt.text(Q[jj][0],min(TC),"（{}，{:.2f}）".format(Q[jj][0],

min(TC)),

fontsize=20,horizontalalignment='center')#將經(jīng)濟(jì)訂貨批量及其對(duì)應(yīng)成本顯示在圖形中plt.show()

###=====================

從流程圖和代碼可見程序主要分成三部分，第一部分為參數(shù)設(shè)置部分，主要用于輸入關(guān)鍵參數(shù)，包括固定訂貨成本、一天消耗量、額定庫(kù)存、單位庫(kù)存成本、超限單位庫(kù)存成本，以及計(jì)算參數(shù)最小計(jì)算庫(kù)存、最大計(jì)算庫(kù)存、計(jì)算庫(kù)存間隔；第二部分為成本計(jì)算部分，主要是利用輸入的參數(shù)以及前文所述的式（6）計(jì)算單位平均訂貨成本、單位平均庫(kù)存成本、單位平均超限庫(kù)存成本以及單位平均總成本；第三部分為可視化部分，采用圖形的方式直觀顯示各成本曲線以及最小訂貨批量與各成本之間的關(guān)系。

3 案例分析

為了驗(yàn)證本文提出的方法，設(shè)置多種案例進(jìn)行計(jì)算分析。

3.1 案例一

參數(shù)設(shè)定：固定訂貨成本40 000，每日消耗量400，單位庫(kù)存成本1.5，超限單位庫(kù)存成本7，額定庫(kù)存3 000，最小計(jì)算庫(kù)存1 000，最大計(jì)算庫(kù)存10 000，計(jì)算庫(kù)存間隔100。

如圖3所示，運(yùn)行程序，在Console欄按照提示輸入相關(guān)參數(shù)后，程序會(huì)執(zhí)行運(yùn)算并繪制圖形，在Console區(qū)域顯示經(jīng)濟(jì)訂貨批量和最小單位成本。

圖3 程序運(yùn)行案例分析

程序可視化圖形如圖4所示，在同一張圖上展示了單位平均訂貨成本、單位平均正常庫(kù)存成本、單位平均超限庫(kù)存成本、單位平均總成本隨訂貨量變化的曲線，并展示了單位平均總成本最低對(duì)應(yīng)的訂貨批量，即經(jīng)濟(jì)訂貨批量，而且展示了經(jīng)濟(jì)訂貨批量對(duì)應(yīng)的單位平均總成本。由圖4可知，單位平均訂貨成本隨訂貨量的增加而降低，單位平均庫(kù)存成本隨訂貨量的增加而增加，單位平均超庫(kù)存成本為一個(gè)多階增函數(shù)，總成本呈現(xiàn)為凹函數(shù)，因此一定存在一個(gè)極小值，該極小值即為經(jīng)濟(jì)訂貨批量對(duì)應(yīng)的最小單位平均總成本。

由圖4可知，在此案例條件下，經(jīng)濟(jì)訂貨批量為3 400套，對(duì)應(yīng)的單位總成本為18.46元/套，經(jīng)濟(jì)訂貨批量是高于額定庫(kù)存的，因此可以通過(guò)租用最多400套原料的倉(cāng)庫(kù)來(lái)降低單位平均總成本。

圖4 案例一可視化圖形

3.2 案例二

固定訂貨成本設(shè)定為10 000，其余參數(shù)同案例一。將上述參數(shù)輸入程序，輸出結(jié)果如圖5所示。在固定訂貨成本從40 000元降低為10 000元，其他條件不變的情況下，計(jì)算出來(lái)的經(jīng)濟(jì)訂貨批量為2 300套，此時(shí)并沒有超出額定庫(kù)存量，也就是說(shuō)，并不需要租用其他倉(cāng)庫(kù)。

圖5 案例二可視化圖形

3.3 二次分析法

以上兩個(gè)案例的經(jīng)濟(jì)訂貨批量都是整百的，實(shí)際上是由我們?cè)O(shè)置的計(jì)算庫(kù)存間隔決定的，由于兩個(gè)案例設(shè)置的計(jì)算間隔均為100，因此計(jì)算出來(lái)的經(jīng)濟(jì)訂貨批量也必然是整百的數(shù)，為了提高準(zhǔn)確度，可以采用二次分析法。即第一次采用低分辨率找到經(jīng)濟(jì)訂貨批量的大概位置，第二次計(jì)算時(shí)縮小計(jì)算范圍，提高分辨率。

如針對(duì)案例一進(jìn)行第二次運(yùn)算時(shí)，可以將最小計(jì)算庫(kù)存設(shè)置為3 300，最大計(jì)算庫(kù)存設(shè)置為3 500，計(jì)算庫(kù)存間隔設(shè)為1，輸出的可視化圖形如圖6所示，此時(shí)的經(jīng)濟(jì)訂貨批量為3 412，計(jì)算結(jié)果更精確。

圖6 案例一二次計(jì)算輸出圖形

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)超限經(jīng)濟(jì)訂貨批量的確定方法進(jìn)行了研究，根據(jù)一種實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，提出并實(shí)現(xiàn)了基于Python及其numpy、matplotlib等模塊的超限經(jīng)濟(jì)訂貨批量數(shù)據(jù)分析法，經(jīng)過(guò)具體案例分析，得出以下結(jié)論：（1）通過(guò)可視化的手段可以比解析法更直觀地展示更多信息；（2）數(shù)據(jù)分析法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、原理清晰，更適合處理復(fù)雜情況的經(jīng)濟(jì)訂貨批量；（3）本文的研究為采用現(xiàn)代信息技術(shù)和手段解決傳統(tǒng)問(wèn)題提供了一種思路。