張 玉

(常州市第五中學(xué)，江蘇常州，213000)

1 問題提出

2 理論依據(jù)

2.1 數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)最重要的一個(gè)特點(diǎn)是：數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是指邏輯上要無懈可擊，結(jié)論要十分確定，一般又稱為邏輯嚴(yán)密性或嚴(yán)格性，結(jié)論確定性或可靠性.從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是相對的，例如，微積分剛剛創(chuàng)立時(shí)，邏輯上很不嚴(yán)密，但是這一數(shù)學(xué)概念是富有成果的，其獲得了驚人的有效應(yīng)用，直到后來經(jīng)過數(shù)學(xué)家很長時(shí)間的努力，才使微積分建立了比較嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).類似微積分這樣的不斷發(fā)展和完善的概念體系在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中還有很多.所以數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性也是相對的，它與數(shù)學(xué)發(fā)展的水平密切相關(guān)，并隨著數(shù)學(xué)發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某潭炔粩嗵岣?關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是相對的這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)需要也不會停止自己的發(fā)展過程，懷爾德也提出了相似的觀點(diǎn).他在論數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力和規(guī)律時(shí)，提出了關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的23條規(guī)律，其中，第十五條，數(shù)學(xué)的不斷進(jìn)化伴隨嚴(yán)密程度的提高.每一代數(shù)學(xué)家都會感到對先前幾代人所作的隱藏的假設(shè)進(jìn)行證明(或反駁)是必要的.上述都清楚地表明，數(shù)學(xué)是高度嚴(yán)謹(jǐn)性的，但是不是絕對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，在?shù)學(xué)中不存在絕對的東西，也表明數(shù)學(xué)具有無限的發(fā)展可能性，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是需要不斷去追求和完善的，數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的出現(xiàn)恰恰為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了新的契機(jī).

2.2 數(shù)學(xué)概念的形式定義

通常，教科書的主要受眾教師和學(xué)生普遍認(rèn)可其所使用的教科書的權(quán)威性，不同版本的教科書對于同一內(nèi)容的表述不同，對教師和學(xué)生的引導(dǎo)會不同，他們進(jìn)行思考和推理的依據(jù)還是來源于其所使用的教科書，不同版本對同一內(nèi)容的呈現(xiàn)不應(yīng)該出現(xiàn)互相矛盾的情況和關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同，以下我們對四個(gè)版本的相關(guān)概念進(jìn)行比較分析.

2.3 教科書比較研究與分析

表1 四個(gè)教科書版本的“指對冪”函數(shù)定義比較

表1，整理了四個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的形式定義的內(nèi)容，以下作比較分析.值得注意的是，湘教版對冪函數(shù)的定義與其他版本的定義有實(shí)質(zhì)性的區(qū)別，只有湘教版中對于冪函數(shù)的定義要求α≠0，其余版本α可為任意常數(shù)，但是這并不構(gòu)成數(shù)學(xué)內(nèi)部或數(shù)學(xué)本質(zhì)上的矛盾，對于特殊的指數(shù)α=0的情況，可以做出單獨(dú)的不同的約定，這本身并不影響冪函數(shù)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性.在α≠0的情況下也基本不存在對于冪函數(shù)概念界定的分歧.因?yàn)椴煌膬绾瘮?shù)的定義域不統(tǒng)一，冪的運(yùn)算性質(zhì)能否運(yùn)用是一個(gè)相對復(fù)雜的問題，是否是同一函數(shù)還要取決于α的不同取值，后續(xù)這個(gè)問題可以解決.

3 指對數(shù)函數(shù)的新定義

3.1 新的指對數(shù)函數(shù)的定義

基于以上不同版本的比較分析，對于指對數(shù)函數(shù)的問題似乎解決了，使用不同版本的教科書的受眾還是不可避免地存在分歧.如果能夠構(gòu)造出指對數(shù)函數(shù)的新的定義形式，將各個(gè)版本的指對數(shù)的定義統(tǒng)一起來，問題就被完全解決了.

3.2 新舊定義等價(jià)性的證明

現(xiàn)對問題作以下表述，條件P：f(x)=ax(a>0,a≠1)，條件q:f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的非常值連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)·f(y)=f(x+y).以下證明P是q的充分必要條件.

充分性：若f(x)=ax，則f(x)·f(y)=ax·ay=ax+y=f(x+y)充分性得證.

必要性：① 對于等式f(x)·f(y)=f(x+y)，取x=1,y=0，則f(1)·f(0)=f(1+0)=f(1)，可以推出f(0)=1(若f(1)=0，則可以推出f(x)是常值函數(shù)，故舍去).

② 記f(1)=a，設(shè)x∈N，故f(x)=ax，對x∈N成立.

上述證明的思路是逐步將定義域步擴(kuò)充，從正整數(shù)，到整數(shù)，到有理數(shù)，再到全體實(shí)數(shù).以上完成了新的構(gòu)造式定義與原有的形式定義的等價(jià)性的證明.

3.3 新舊定義的比較

各個(gè)版本的教科書中均以實(shí)際問題為情境，比如細(xì)胞分裂或碳十四衰變，從具體的問題情境中抽象出函數(shù)關(guān)系y=2x和y=0.999 879x，引導(dǎo)學(xué)生觀察這一類函數(shù)的共同特征，進(jìn)而給出指數(shù)函數(shù)的形式化定義.與本文所給出的構(gòu)造化的定義在形式上有明顯的區(qū)別，但在本質(zhì)上是一致的.形式化的定義容易引起歧義，即本文開頭所提及的一個(gè)問題，而新的構(gòu)造式定義則避免了這種歧義.形式定義，是較簡潔且抽象水平較低的，對于學(xué)生而與學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)距離很遠(yuǎn)，學(xué)生很難真正理解其意義，不符合高中學(xué)生的認(rèn)知水平.

4 對教師教學(xué)和教科書編寫的建議

4.1 對教師教育教學(xué)的建議

教師在理解和教學(xué)形式化定義的概念時(shí)，有時(shí)過于強(qiáng)調(diào)“形式”，缺乏變通，缺少了對函數(shù)概念的本質(zhì)分析與理解.解題教學(xué)中也面臨類似的問題，過于強(qiáng)調(diào)形式化的解題步驟，常常要求學(xué)生按照固定的步驟進(jìn)行，忽視了對于問題本質(zhì)的分析與理解，缺乏解題思路的引導(dǎo).教師在概念教學(xué)時(shí)更應(yīng)該關(guān)注概念本質(zhì)，不應(yīng)過于死板的強(qiáng)調(diào)形式化的概念內(nèi)容.

教師不僅是教科書的受眾，也應(yīng)該是教科書的積極研究者.從上述教材的比較分析也可以發(fā)現(xiàn)，盡管部分教師對于指對數(shù)函數(shù)的概念辨析存在分歧，但是如果教師能夠?qū)Σ煌姹镜慕炭茣鞅容^研究分析，就能夠從人教A版和人教B版中找到答案.一線的教育教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不應(yīng)該使得教師的思維與視野越來越固化，成為思維定式，而應(yīng)該用更開放的發(fā)展的甚至批判的眼光去看待教科書所呈現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容.

4.2 對教科書編寫的建議

教科書的編寫應(yīng)注重科學(xué)性和教學(xué)性結(jié)合，既要考慮數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性，也要考慮學(xué)生的可接受性.教科書中的指對數(shù)的形式化的定義容易引起歧義，給教育教學(xué)帶來不必要的麻煩，應(yīng)該更關(guān)注數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，不能受限制于形式.數(shù)學(xué)概念是逐步發(fā)展的，要用發(fā)展的，理解的觀點(diǎn)去看問題，全面地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).而不應(yīng)該將教科書視作絕對的權(quán)威.教科書是有局限性的，它只能以確定的某一形式來呈現(xiàn)具體的內(nèi)容，但是對同一問題，可以有不同的理解方式，不悖于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不互相矛盾，都是可取的.