劉 云

(江蘇省泰興中學(xué)，江蘇泰興，225400)

1 問題呈現(xiàn)

(1) 求橢圓E的方程；

(2) 若N(s，t)是平面上的動點(diǎn)，從下面兩個條件中選一個，證明：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)．

②t=2，s∈R，直線NC，ND與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P，Q．

此題以橢圓為問題背景，第一步求解橢圓的方程，比較常規(guī)，起點(diǎn)比較低；第二步以結(jié)構(gòu)不良試題形式來創(chuàng)設(shè)問題，根據(jù)兩個不同方面上的動點(diǎn)與對應(yīng)兩長軸(或兩短軸)的端點(diǎn)所對應(yīng)的兩條直線與橢圓的另一個交點(diǎn)，形成一條新直線必經(jīng)過定點(diǎn)來創(chuàng)設(shè)新的題型，在考查學(xué)生分析問題、解決問題能力，以及理解能力、探究能力、創(chuàng)新能力與應(yīng)用意識等的同時，具有很好的開放性與創(chuàng)新性，

2 問題破解

解后反思：根據(jù)題目條件求解圓錐曲線的方程，往往是此類問題的第一小步，難度不大．可以依據(jù)條件構(gòu)建方程(組)，或借助圓錐曲線的定義合理構(gòu)建關(guān)系式來確定參數(shù)a，b，c的值，從而來確定圓錐曲線的方程．這是較為常規(guī)的設(shè)置，通常采用常規(guī)方法.

(2) 選擇條件①：

當(dāng)t=0時，P(2，0)，Q(-2，0)，直線PQ為x軸；

綜上所述，直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(4，0)．

解后反思：設(shè)線法是解決圓錐曲線中的定點(diǎn)問題時比較常規(guī)的一種技巧方法，以直線的方程，與圓錐曲線的聯(lián)立，沿著常規(guī)破解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的基本思路加以推進(jìn)，實(shí)現(xiàn)問題的解決．設(shè)線法思路常規(guī)，目標(biāo)明確，但運(yùn)算量大．

當(dāng)t=0時，P(2，0)，Q(-2，0)，直線PQ為x軸，所以直線PQ經(jīng)過的定點(diǎn)應(yīng)在x軸上；

直線PQ經(jīng)過的定點(diǎn)應(yīng)是切線l與x軸的交點(diǎn)(4，0)．

證明如下：(亦可以通過另一些特殊位置(如取t=1)分析出定點(diǎn)(4，0)．)

由(1)，不妨設(shè)A(-2，0)，B(2，0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

而動點(diǎn)N的橫坐標(biāo)x=1，所以要證原命題成立，只需證明x=1是上述方程的根，

將x1=my1+4，x2=my2+4代入，只需證明3y1(my2+2)+y2(my1+6)=0，只需證明2my1y2+3(y1+y2)=0，

綜上所述，直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(4，0)．

解后反思：先猜后證法吻合圓錐曲線中定點(diǎn)問題破解的基本思維過程，利用思維過程中先確定定點(diǎn)，再加以科學(xué)驗(yàn)證的基本思路來展開，體現(xiàn)思路歷程．先猜后證法具有推理中分析法的特性，但過程比較繁雜．

當(dāng)t=0時，P(2，0)，Q(-2，0)，直線PQ為x軸，所以直線PQ經(jīng)過的定點(diǎn)應(yīng)在x軸上，

不妨設(shè)A(-2，0)，B(2，0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定點(diǎn)M(m，0)，

綜上所述，直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(4，0)．

解后反思：共線性質(zhì)法是合理利用條件中三點(diǎn)共線所對應(yīng)的直線斜率相等來合理構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式，綜合圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)等來合理聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)問題的破解．共線性質(zhì)法合理利用條件中的眾多點(diǎn)、線之間的聯(lián)系，邏輯推理性強(qiáng)．

而對于條件②，可以類比條件①中的解析方法，同樣可以得以有效解決．下面以設(shè)線法加以展開．

選擇條件②：

解：(設(shè)線法)N(s，2)，s為變量，由(1)，不妨設(shè)C(0，-1)，D(0，1)，

則直線NC的方程為3x-sy-s=0，直線ND的方程為x-sy+s=0，

當(dāng)s=0時，P(0，1)，Q(0，-1)，直線PQ為y軸；

考慮到橢圓的對稱性，令x=0，

3 結(jié)論總結(jié)

根據(jù)以上具體問題與解析過程，對問題中的條件進(jìn)一步加以深化、推廣與拓展，可以得到更具一般性的結(jié)論．

4 教學(xué)啟示

涉及圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題，破解的基本思維方法有兩大類：

(1) “一般推理，特殊求解”，主要是根據(jù)題設(shè)條件加以合理設(shè)參，或設(shè)點(diǎn)，或設(shè)線等，結(jié)合條件構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而加以推理、運(yùn)算，借助消參數(shù)或參數(shù)的任意性，通過推理或運(yùn)算得到相應(yīng)的定點(diǎn)坐標(biāo)，即可達(dá)到目的．

(2) “特殊探路，一般證明”，主要是根據(jù)題設(shè)條件從特殊情境、特殊位置等場合入手，確定定點(diǎn)坐標(biāo)，再把問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，朝著已經(jīng)確定的定點(diǎn)方向，有目標(biāo)性地推理或運(yùn)算，“特殊探路”是確定目標(biāo)，“一般證明”是完備過程，在解答題中兩者缺一不可，在選擇題或填空題中就可不必去證明．