王 永，劉菲菲

(1. 安徽省肥西中學(xué)，安徽合肥，231200 2. 合肥經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽合肥，231200)

1 問題呈現(xiàn)

(1) 求l的斜率；

此題凸顯核心素養(yǎng)，尤其是數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算，是一道難得的經(jīng)典好題.

2 問題解決

GeoGebra簡(jiǎn)稱GGB，是一款功能及其強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)可視化數(shù)學(xué)軟件，適用于多種學(xué)科.下面先用GGB來解答教學(xué)，然后對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證并嚴(yán)格證明.

① 在指令輸入框輸入方程0.5x2-y2=1；

② 作直線y=1，在雙曲線上取一點(diǎn)P，用工具直線(line)連接AP；

③ 用指令Reflect(g,f)作出對(duì)稱直線交雙曲線于Q，用工具直線(line)連接AQ,PQ；

④ 選中工具欄斜率(Slope)分別點(diǎn)擊直線AP,AQ,PQ；

⑥ 拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)P，可以始終看到kAP+kAQ=0，kPQ=-1.

繼續(xù)來解答(2)：

① 在指令輸入框輸入方程0.5x2-y2=1，再輸入y=sqrt(2) x-2sqrt(2)+1即AP；

② 指令框輸入y=-sqrt(2) x+2sqrt(2)+1即AQ，用工具直線(line)連接PQ，在代數(shù)欄可以立刻得到它的直線斜截式方程，并用工具文本(text)輸入l_{PQ}：y=-x+frac{5}{3}；

圖1和圖2分別展示了此題兩問的最終結(jié)果.

圖1

圖2

傳統(tǒng)教學(xué)，老師只能畫出草圖示意，無法動(dòng)態(tài)展示動(dòng)點(diǎn)問題，也不能具體展示出題目蘊(yùn)含更深刻的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生難以理解想象，可視化效果弱.使用GGB動(dòng)態(tài)軟件，能夠使抽象問題具體化，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和研究熱情，加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)現(xiàn)有知識(shí)的深思考，重構(gòu)再加工，從而真正做到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.

下面對(duì)此題給出嚴(yán)格證明：

(1)解法1：設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，于是

(x2-2)(y1-1)+(x1-2)(y2-1)=0?2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4m+4=0，

由于直線AP,AQ的斜率必須存在，即直線l不能經(jīng)過A點(diǎn)，所以k=-1.

解法2：可設(shè)直線AP的方程為y=kx-2k+1(k≠0)，則直線AQ的方程為y=-kx+2k+1.于是

所以，直線l的斜率為-1.

此題也可以用韋達(dá)定理解出P的坐標(biāo)，讀者可以自行嘗試，在此不再贅述.

3(x1-2)(x2-2)+3(y1-1)(y2-1)=3|(x1-2)(x2-2)|，

(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=-(x1-2)(x2-2)，

得m2-6m+9=-2m2+8m-6，

解法3：設(shè)直線AP的斜率為k(k≠0)，則直線AQ的斜率為-k，由夾角公式可得

以下同解法1或2，不再贅述.

通過GeoGebra輔助解答教學(xué)的可視化實(shí)踐研究，不難發(fā)現(xiàn)，GGB動(dòng)態(tài)課件可以把復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題可視化，形象生動(dòng)，能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，從而潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng)；同樣GGB軟件亦可以讓學(xué)生輕松實(shí)現(xiàn)對(duì)本題的推廣，譬如可以讓學(xué)生嘗試在橢圓和拋物線中是否也有類似的結(jié)論或者其它可能的假設(shè)猜想；同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)此題進(jìn)行簡(jiǎn)單改編，然后使用GGB進(jìn)行驗(yàn)證，比如已知S△PAQ的面積求cos∠PAQ等等.