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        基于ARIMA-TGM組合模型的邊坡變形預(yù)測

        2022-10-31 12:02:32馮杭華
        地理空間信息 2022年10期
        關(guān)鍵詞:時變差分邊坡

        馮杭華

        (1.浙江華東測繪與工程安全技術(shù)有限公司,浙江 杭州 310014)

        目前監(jiān)測數(shù)據(jù)分析的方法主要包括回歸分析法[1](雙曲線法、指數(shù)曲線法等)、灰色系統(tǒng)[2]、時間序列分析法[3]、遺傳算法[4]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]、卡爾曼濾波[6]等方法。其中時間序列分析是通過建立合適的數(shù)學(xué)模型,擬合時間序列,并完成預(yù)測功能。ARIMA模型就是這一類的典型代表,被廣泛應(yīng)用到建筑物沉降預(yù)測[7]、基坑沉降監(jiān)測[8]和橋梁變形監(jiān)測[9]等領(lǐng)域。胡波[10]等利用ARIMA模型對邊坡觀測數(shù)據(jù)組成的時間序列進(jìn)行分析研究,驗(yàn)證ARIMA模型預(yù)測邊坡變形的可行性。GM(1,1)模型作為灰色系統(tǒng)的核心,同樣被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域[11-14],但該模型具有一定的局限性。張儀萍[15-16]等在GM(1,1)模型基礎(chǔ)上用多項(xiàng)式逼近模型中的參數(shù),采用最小二乘法確定多項(xiàng)式中的待定系數(shù),構(gòu)建時變參數(shù)GM(1,1)模型。楊柳[17]等將時變參數(shù)GM(1,1)模型運(yùn)用到邊坡位移預(yù)測分析并且取得很好的效果。

        本文的主要內(nèi)容利用權(quán)系數(shù)將ARIMA模型和時變參數(shù)GM(1,1)模型相結(jié)合形成組合模型,簡稱ARIMA-TGM組合模型。結(jié)合邊坡位移實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測,將預(yù)測結(jié)果和ARIMA模型與時變參數(shù)GM(1,1)模型二者的預(yù)測結(jié)果對比,驗(yàn)證ARIMA-TGM組合模型在邊坡位移變形監(jiān)測中的可行性和優(yōu)越性。

        1 理論模型

        1.1 ARIMA模型

        求和自回歸移動平均模型(ARIMA模型)是一種被廣泛應(yīng)用的時間序列預(yù)測模型,該模型具有完備的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ),且算法效率高,易于實(shí)現(xiàn)。ARIMA模型來自于自回歸滑動混合模型(ARMA模型),ARMA模型包括自回歸模型(AR模型)和滑動平均模型(MA模型)兩大部分。

        運(yùn)用ARMA模型的前提是原始序列必須為平穩(wěn)的,當(dāng)原始序列存在趨勢性和周期性時ARMA模型不再適用時,針對非平穩(wěn)的時間序列ARIMA模型應(yīng)運(yùn)而生。ARIMA模型主要思想是先將一個非平穩(wěn)序列時間序列{Yt},經(jīng)過d次差分Wt=?dYt得到一個平穩(wěn)的時間序列{Wt},然后運(yùn)用ARMA模型對平穩(wěn)的時間序列{Wt}進(jìn)行分析預(yù)測。則稱{Yt}為求和自回歸滑動平均模型,即ARIMA(p,d,q)模型,其計(jì)算流程如圖1所示。

        圖1 ARIMA模型計(jì)算流程圖

        1.2 時變參數(shù)GM(1,1)模型

        設(shè)x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為已知的非負(fù)初始數(shù)據(jù)序列,一次累加生成序列為X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)),其中

        GM(1,1)模型微分方程為:

        式中,z(1)(t)=0.5×x(1)(t)+0.5×x(1)(t-1)。

        傳統(tǒng)GM(1,1)模型的白化微分方程中參數(shù)a,b假定為固定常數(shù),這樣不符合現(xiàn)實(shí)情況,王金柱[18]假定參數(shù)a,b也是關(guān)于時間的函數(shù)時,建立了時變參數(shù)GM(1,1)模型,具體建模步驟如下:

        1)模型的建立,時變參數(shù)模型微分方程為:

        白化方程為:

        式中,a(t)和b(t)為所要求解的時變參數(shù),可用以下多項(xiàng)式逼近。

        則有:

        為使s取最小值,對式(6)進(jìn)行全微分。

        將式(5)代入式(4)并展開為矩陣形式可得:

        式中,Y=(x(0)(2),…,x(0)(n))T,B=(a0,ap,b0,bq)T。

        根據(jù)最小二乘法,可得式(8)的解為:

        2)時變參數(shù)模型的求解,將式(4)中的x(1)(t)用緊鄰均值生成代替,可解得微分方程的通解。

        并且令初始條件x(1)(1)=x(1)(0)得到c=x(0)(1)。

        根據(jù)復(fù)合梯形積分得式(10)的離散化形式。

        式中,當(dāng)t<n時,結(jié)果為模型的擬合值;當(dāng)t>n時,

        所求的結(jié)果為模型的預(yù)測值[17],對作一階累減得到擬合預(yù)測數(shù)據(jù)序列。

        3)多項(xiàng)式次數(shù)的確定。時變參數(shù)模型中多項(xiàng)式次數(shù)p、q的最佳取值根據(jù)原始實(shí)測值與模型擬合值的平均擬合相對誤差達(dá)到最小值來確定[16]。

        1.3 ARIMA-TGM組合模型

        本文通過權(quán)系數(shù)將ARIMA模型和時變參數(shù)GM(1,1)模型相結(jié)合。采用取方差倒數(shù)的方法求解權(quán)系數(shù)的大小,它的主要思想是為了使組合預(yù)測模型的誤差平方和盡可能地小,對誤差平方和較小的模型賦予較高的權(quán)系數(shù),而對誤差平方和較大的模型賦予較小的權(quán)系數(shù)[19]。

        式中,ej為第j個模型的擬合誤差平方和。

        式中,Xt為第t期實(shí)際觀測值;Xˉtj為第t期第j種預(yù)測方法的擬合值;先得到ARIMA模型和時變參數(shù)GM(1,1)模型的擬合值,根據(jù)式(12)和式(13)計(jì)算2種模型所對應(yīng)的權(quán)系數(shù),然后根據(jù)下式計(jì)算ARIMA-TGM組合模型的擬合預(yù)測值。

        2 工程實(shí)例分析

        孔口邊坡的位移監(jiān)測數(shù)據(jù),監(jiān)測數(shù)據(jù)自2010-07-05~2013-02-05,以10 d為一周期,一共32期監(jiān)測數(shù)據(jù),分別使用ARIMA模型、時變參數(shù)GM(1,1)模型和ARIMA-TGM組合模型對前20期的位移監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合建模,并預(yù)測后12期的邊坡位移變化量。前20周期的實(shí)測值見表1。

        表1 邊坡位移監(jiān)測的前20周期實(shí)測值

        2.1 ARIMA模型預(yù)測

        ARIMA模型預(yù)測過程主要分為以下4步:

        1)原始序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)。本文先通過觀察位移變化曲線,然后再采用ADF單位根檢驗(yàn)法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。由圖2所得原始時間序列位移值存在明顯的上升趨勢,再經(jīng)過ADF檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量遠(yuǎn)大于1%、5%、10%顯著水平下的臨界值,并且p為0.938遠(yuǎn)大于0.05,所以可以確定原始序列為非平穩(wěn)序列,需要進(jìn)行平穩(wěn)化處理。首先取d=1進(jìn)行一階差分,圖3為一階差分后的時間序列圖,從圖3可以看出樣本數(shù)據(jù)在0附近波動,并且一階差分后序列的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-12.386,遠(yuǎn)小于1%、5%、10%顯著水平下的臨界值,p的值為5.836e-08無限接近于0,因而經(jīng)過一階差分后為平穩(wěn)時間序列,故d取值為1。

        圖2 實(shí)測位移的時間序列圖

        圖3 一階差分后的時間序列圖

        2)模型識別與定階。通過觀察差分后平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖截尾性等特征確定模型形式,并且根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)初步確定p和q的取值范圍,然后再結(jié)合BIC準(zhǔn)則進(jìn)一步確定ARIMA模型的最佳階數(shù)p、q,通過反復(fù)實(shí)驗(yàn),最終確定當(dāng)p=0,d=1,q=1時BIC最小值為-3.174,所以ARIMA(0,1,1)為最優(yōu)模型。

        3)模型參數(shù)估計(jì)與模型檢驗(yàn)。使用極大似然估計(jì)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),得到模型參數(shù)θ1為0.389。模型確定后,模型擬合統(tǒng)計(jì)R方為0.966,說明擬合效果較好。還需要對殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果Ljung-BoxQ為11.803,P值為0.812,殘差檢驗(yàn)為白噪聲,自相關(guān)系數(shù)均在95%可信區(qū)間,進(jìn)一步說明ARIMA(0,1,1)模型可以進(jìn)行預(yù)測。

        4)模型預(yù)測。利用以上確定的最優(yōu)ARIMA(0,1,1)模型對后12期邊坡位移進(jìn)行預(yù)測,具體預(yù)測結(jié)果如表2所示。

        2.2 時變參數(shù)GM(1,1)模型預(yù)測

        同樣使用時變參數(shù)GM(1,1)模型對邊坡位移前20期的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合建模,然后預(yù)測后12期的邊坡位移值。時變參數(shù)GM(1,1)模型的最佳多項(xiàng)式次數(shù)p、q的取值不能取太大值,否則會導(dǎo)致矩陣出現(xiàn)病態(tài)現(xiàn)象,所以本文設(shè)定p、q的取值在0~4之間,利用matlab平臺結(jié)合平均擬合相對誤差達(dá)到最小原則設(shè)計(jì)搜索算法確定最佳p、q的取值,通過搜索最終確定當(dāng)p值取0、q值取1時平均擬合相對誤差達(dá)到最小,時變參數(shù)GM(1,1)模型可以取得很好的擬合效果。利用建立好的時變參數(shù)GM(1,1)模型對邊坡后12期位移值進(jìn)行預(yù)測,具體預(yù)測結(jié)果見表2。

        2.3 ARIMA-TGM組合模型預(yù)測

        根據(jù)邊坡位移的實(shí)測值和ARIMA模型與時變參數(shù)GM(1,1)模型前20期邊坡位移的擬合結(jié)果,利用式(12)、(13)求2種模型所對應(yīng)的權(quán)系數(shù),求出賦予ARIMA模型的權(quán)系數(shù)為0.738,賦予時變參數(shù)GM(1,1)模型的權(quán)系數(shù)為0.262。分別將ARIMA模型與時變參數(shù)GM(1,1)模型后12期邊坡位移預(yù)測值乘以各自對應(yīng)得權(quán)系數(shù)然后相加就得到ARIMA-TGM組合模型的邊坡位移預(yù)測值,具體預(yù)測結(jié)果見表2。

        表2 3種模型的預(yù)測結(jié)果對比

        由表2可以看出,ARIMA模型的預(yù)測最小絕對誤差為0.001,最大為0.828;時變參數(shù)GM(1,1)模型的預(yù)測最小絕對誤差為0.004,最大為1.188;ARIMA-TGM組合模型的預(yù)測最小絕對誤差為0.043,最大為0.741,3種模型的預(yù)測值和實(shí)際觀測值都很接近,都能很好地描述邊坡位移的變化趨勢。

        為了更加客觀地對比3種預(yù)測模型的預(yù)測精度,通過計(jì)算平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)、和均方根誤差(RMSE)3種評價指標(biāo)進(jìn)行模型評價,具體計(jì)算結(jié)果見表3。

        表3 3種模型3種指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果

        由表3可得,本文的ARIMA-TGM組合模型的MAE、MAPE和RMSE 3種精度評價指標(biāo)均小于ARIMA模型和時變參數(shù)GM(1,1)模型所對應(yīng)的MAE、MAPE和RMSE值,所以ARIMA-TGM組合模型的預(yù)測精度更高。

        3 結(jié)語

        本文使用權(quán)系數(shù)將ARIMA模型和時變參數(shù)GM(1,1)模型結(jié)合形成ARIMA-TGM組合模型,分別運(yùn)用3種模型對邊坡位移進(jìn)行擬合預(yù)測,通過計(jì)算MAE、MAPE和RMSE精度評價指標(biāo)對3種模型的預(yù)測精度進(jìn)行對比,結(jié)果表明ARIMA-TGM組合模型的預(yù)測精度高于單一模型的預(yù)測精度,能更加有效的對邊坡監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測,對邊坡穩(wěn)定性評估和工程的防災(zāi)減災(zāi)具有一定的參考價值。

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