◎方異平

(湖北省大冶市第一中學(xué)，湖北 大冶 435100)

高中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績差異非常明顯，學(xué)生對提高數(shù)學(xué)成績的意愿也相對較高，這也是課外輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)鼓吹數(shù)學(xué)成績重要性的籌碼從高考的角度分析，數(shù)學(xué)成績占比相對較高，并且數(shù)學(xué)的計(jì)算或者解題思維也會(huì)滲透到物理、化學(xué)、地理及生物等科目，促使學(xué)生、家長對數(shù)學(xué)都非常重視不等式的解題過程可體現(xiàn)學(xué)生的計(jì)算能力，并且可作為學(xué)生計(jì)算能力高低的有效參考等式計(jì)算的模式相對固定，但不等式的應(yīng)用或者解題過程需要學(xué)生靈活變化思維，以一種動(dòng)態(tài)的思維考察題目中各類元素的變化趨勢，將此類思維運(yùn)用到基本初等函數(shù)的比較大小題目、函數(shù)與向量的最值問題以及圓錐曲線動(dòng)點(diǎn)變化或者導(dǎo)數(shù)題目中參數(shù)范圍的求解過程中

一、高中數(shù)學(xué)不等式考查特點(diǎn)及題型分析

(一)選填題型分析

高中數(shù)學(xué)不等式的選填題型較為常見，是高考的必考題型，但此類題目的靈活性比較強(qiáng)，可與各知識(shí)模塊相結(jié)合，常見的結(jié)合方式包括集合求解范圍、對數(shù)比較大小、函數(shù)不等式以及線性規(guī)劃等此類題目的題干往往比較簡單，類似以下例題1和例題2此種類型但此類題型的規(guī)律性較強(qiáng)，并且作為選填題目，對學(xué)生知識(shí)總結(jié)能力及靈活變通能力的考查也相對較高學(xué)生在解答此類題目時(shí)，可借助一些規(guī)律減少計(jì)算量，甚至直接通過答案的特點(diǎn)確定正確答案但正是由于此類題目的出題方式比較靈活，如果題目難度增加，也會(huì)作為選填題中的壓軸題目出現(xiàn)，失分率往往較高學(xué)生在應(yīng)用不等式時(shí)，應(yīng)將不等式的解法和題目題干中的關(guān)鍵元素結(jié)合起來，通過知識(shí)定位以及題型模擬的方法確定解題思路但學(xué)生應(yīng)清楚的是，此類題目的考查重點(diǎn)并非不等式，而是與題目所涉及的知識(shí)模塊的性質(zhì)、定義相關(guān)，有時(shí)也需要學(xué)生進(jìn)行大量的計(jì)算，但從整體角度分析，此類題型對不等式的考查依舊比較明顯，解題難度整體不高

1若2-2<3--3-，則( )

A.ln(-+1)>0 B.ln(-+1)<0

C.ln|-|>0 D.ln|-|<0

2若定義在的奇函數(shù)()在(-∞,0)單調(diào)遞減，且(2)=0，則滿足(-1)≥0的的取值范圍是( )

A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]

(二)大題題型分析

不等式在大題中的應(yīng)用更為關(guān)鍵，一些題型對不等式的應(yīng)用呈顯性特點(diǎn)，會(huì)在第二問直接給出不等關(guān)系，提問學(xué)生不等關(guān)系中包含的參數(shù)的取值范圍有些題目雖然并未給出不等關(guān)系，但在學(xué)生解題時(shí)，則需要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造不等關(guān)系，利用不等關(guān)系確定題目中參數(shù)的范圍，此類題目多在圓錐曲線以及導(dǎo)數(shù)部分出現(xiàn)，數(shù)列部分也有所涉及學(xué)生在應(yīng)用不等式時(shí)，需要注意的是，為了確保不等式應(yīng)用的準(zhǔn)確性，不能思維定式由于不等式的具體形式和列式求解的辦法需要根據(jù)題目的已知條件確定，而已知條件往往需要經(jīng)過變形之后方可使用，為此，學(xué)生在應(yīng)用不等式或者自行構(gòu)造不等式時(shí)，應(yīng)對題設(shè)條件進(jìn)行處理，避免受到題設(shè)條件誤導(dǎo)，出現(xiàn)思路上的問題另外，此類題目對學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的要求相對較高，學(xué)生需要經(jīng)過大量的練習(xí)和總結(jié)之后，方可確定構(gòu)造不等式的具體形式以及數(shù)列放縮的因子等此類題型的常見形式如例題3和例題4所示

3已知等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，+1->0，=3，且，，12+成等比數(shù)列

(1)求和；

二、高中數(shù)學(xué)不等式應(yīng)用及解題方法分析

(一)以分類討論思想為基礎(chǔ)，注重參數(shù)分析

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)解題中最常用的思想，此思想也會(huì)與轉(zhuǎn)化和化歸思想聯(lián)合使用，對題設(shè)條件進(jìn)行變形，突出不等式的計(jì)算和解題過程在應(yīng)用分類討論思想時(shí)，學(xué)生應(yīng)重視分析不等式中包含的性質(zhì)問題，包括函數(shù)單調(diào)性以及周期性等另外，由于此類題目需要分類討論，相對的計(jì)算過程也比較復(fù)雜特別是在涉及函數(shù)的對稱軸或者單調(diào)性時(shí)，學(xué)生一定要仔細(xì)畫圖，將函數(shù)圖像的變化規(guī)律明確反映在草稿紙上，這樣在涉及解集問題、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，可從圖中直接看出最終的結(jié)果，這也是提高不等式解題速度的有效方法之一下面通過具體的例題進(jìn)行說明

5已知,∈且≠0，若(-)(-)(-2-)≥0在≥0上恒成立，則( )

A.<0 B.>0 C.<0 D.>0

解題過程大致為：

(1)當(dāng)<0時(shí)，在≥0上，-≥0恒成立，∴只需滿足(-)(-2-)≥0恒成立，此時(shí)2+<，由二次函數(shù)的圖像可知，只有<0時(shí)，滿足(-)(-2-)≥0，>0不滿足條件

(2)當(dāng)<0時(shí)，在[0,+∞)上，-≥0恒成立，∴只需滿足(-)(-2-)≥0恒成立，此時(shí)兩根分別為=和=2+

①當(dāng)+>0時(shí)，此時(shí)0<<2+，當(dāng)≥0時(shí)，(-)(-2-)≥0不恒成立；

圖1

②當(dāng)+<0時(shí)，此時(shí)2+<，若滿足(-)(-2-)≥0恒成立，只需滿足<0；

圖2

③當(dāng)+=0時(shí)，此時(shí)2+=>0，滿足(-)(-2-)≥0恒成立

圖3

綜上可知滿足(-)(-)(-2-)≥0在≥0恒成立時(shí)，只有<0，故選C

在解決這個(gè)題目時(shí)，學(xué)生需要首先篩選題目中的有效信息，包括主要的不等式和恒成立區(qū)間；在明確此類問題的基礎(chǔ)上，學(xué)生應(yīng)思考題干中、、+對參數(shù)范圍的影響，進(jìn)而以此作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，擴(kuò)展分類討論的計(jì)算過程由于此題分類討論的情況相對較多，雖然計(jì)算不難，但作為選做題目，難度依舊較高，學(xué)生在解題時(shí)需要格外小心，按部就班地在草稿紙上畫出不同情況之下對應(yīng)的圖像，選擇符合題意的不等式范圍如果題目涉及函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生應(yīng)以函數(shù)的增減區(qū)間作為分類討論的分解標(biāo)準(zhǔn)，如上文中例題2所示，具體的解題過程不再贅述

(二)嚴(yán)格遵守不等式的應(yīng)用條件，避免用錯(cuò)

這里所說的不等式應(yīng)用條件特指基本不等式的應(yīng)用條件基本不等式是最為常見的不等式，但正是因?yàn)榇祟惒坏仁捷^為常見，在實(shí)際的應(yīng)用中相應(yīng)的約束條件也較多尤其是在利用基本不等式求解最值類問題時(shí)，其約束條件相對固定，學(xué)生應(yīng)背記清楚，避免出錯(cuò)另外，在應(yīng)用基本不等式時(shí)，有時(shí)也需要對不等式進(jìn)行構(gòu)造處理，目的是利用題設(shè)條件，但此類題目往往具有明顯的標(biāo)志性前提，如“均為正數(shù)”“相加為1”等下面借助具體的例題進(jìn)行說明

6已知正數(shù)，滿足2+=，則+2的最小值為( )

A.8 B.10 C.9 D.6

此類題目相對簡單，考查的知識(shí)相對基礎(chǔ)，但學(xué)生在應(yīng)用基本不等式時(shí)，應(yīng)明確不等式的應(yīng)用條件，主要包括：①不等式各項(xiàng)均應(yīng)為正數(shù)；②在求解題干中“和”的最小值時(shí)，學(xué)生需要將構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；在求解題干中“積”的最大值時(shí)，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；③在應(yīng)用基本不等式時(shí)需要注意應(yīng)對取等號(hào)值進(jìn)行驗(yàn)證，如果驗(yàn)證等號(hào)值時(shí)發(fā)現(xiàn)不等式不成立，則此時(shí)的最值不可取，最值也就不存在了但這并不意味著題目的最值就真的不存在，而是需要變化其他解題思路，避開等號(hào)值常見的方法有畫圖、求導(dǎo)等在計(jì)算例題7時(shí)，學(xué)生需要靈活應(yīng)用“1”的作用，進(jìn)而將題設(shè)條件應(yīng)用到不等式的構(gòu)造過程中，借助基本不等式求解最小值

(三)建立完善的函數(shù)構(gòu)造體系，廣泛刷題

導(dǎo)數(shù)與不等式題型是一類重要題型，題目難度較大，并且有時(shí)也會(huì)與數(shù)列知識(shí)、三角函數(shù)聯(lián)合，題目的計(jì)算量相對較大，往往作為壓軸題目出現(xiàn)，近些年考查的難度雖然有所下降，但整體計(jì)算量依舊不小，經(jīng)驗(yàn)性非常強(qiáng)，需要大量刷題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)在解答此類問題時(shí)，常常會(huì)用到構(gòu)造函數(shù)的方法構(gòu)造新函數(shù)，此類函數(shù)中的因子即為題目所求，不等式的變化目的也是突出所求參數(shù)的獨(dú)特地位在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，學(xué)生需要先明確經(jīng)典構(gòu)造模型的具體形式，仿照經(jīng)典構(gòu)造模型進(jìn)行函數(shù)的構(gòu)造，這樣可節(jié)省解題時(shí)間在構(gòu)造了函數(shù)之后，往往需要對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析，分析的方法一般為求導(dǎo)，其間還需要聯(lián)合具體的函數(shù)圖像，對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行進(jìn)一步的判斷下面結(jié)合具體的例題進(jìn)行說明

8已知函數(shù)()=e-sin-cos,()=e+sin+cos

(2)若()=2+，求

三、高中數(shù)學(xué)不等式學(xué)習(xí)策略

數(shù)學(xué)作為高中教育階段的基礎(chǔ)性學(xué)科，同樣又體現(xiàn)在學(xué)生的日常生活中，具有明顯的實(shí)踐性特點(diǎn)其中，不等式的運(yùn)算同樣是數(shù)學(xué)知識(shí)中最為貼近日常生活的板塊，并有著廣闊的應(yīng)用范圍基于此，教師要掌握好不等式的應(yīng)用方法，利用好不等式的優(yōu)勢

(一)利用不等式的相關(guān)性質(zhì)解決問題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師首先可以通過不等式的應(yīng)用來解決相關(guān)的性質(zhì)問題高中階段的數(shù)學(xué)題中常常會(huì)出現(xiàn)某個(gè)特定不等式的范圍問題因此，通過對不等式的應(yīng)用，便能夠借助其中的性質(zhì)予以展開其中，包括同向、異向不等式兩邊相互加減進(jìn)行多個(gè)不等式的結(jié)合，得到符合條件的數(shù)值但是，在這一過程中，需要把握好其中的細(xì)節(jié)應(yīng)當(dāng)明確的是，這樣一種應(yīng)用僅僅是對不等式的轉(zhuǎn)化，而非針對不等式的等價(jià)變形因此，需要在過程中遵循不等式的規(guī)律，切實(shí)避免實(shí)際的取值范圍無形中增大而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)偏差

(二)利用不等式的特性求最值

一般認(rèn)為，在不等式應(yīng)用的過程中，最值問題是十分常見的一類問題，也是十分重要的問題那么，從比較常見的利用不等式進(jìn)行最值計(jì)算的方式來看，主要包括了和積轉(zhuǎn)化方法、常數(shù)代換方法、函數(shù)單調(diào)性方法和配湊定值方法雖然在利用不等式進(jìn)行最值計(jì)算時(shí)，看似簡單，但實(shí)際操作的過程中，仍很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤例如，在應(yīng)用和積轉(zhuǎn)換方法的過程中，應(yīng)當(dāng)格外注意原等式同實(shí)際所求式子的關(guān)系，并同時(shí)做好整體性思維的運(yùn)用雖然應(yīng)用不等式進(jìn)行最值計(jì)算是不等式十分廣泛的一種方法，但是在實(shí)際計(jì)算和應(yīng)用的過程中，要把握好各項(xiàng)細(xì)節(jié)，以避免出現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的數(shù)值偏大

(三)利用不等式的推理過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維

在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的過程中，教師首先可以通過對不等式的推理過程的應(yīng)用，針對學(xué)生的抽象思維進(jìn)行培養(yǎng)因此，這需要教師進(jìn)一步關(guān)注不等式的推理過程在課程教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)積極營造出不等式的推理氛圍，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生針對下一步的未知環(huán)境進(jìn)行合理想象同時(shí)，在學(xué)生參與學(xué)習(xí)的過程中，不能簡單地聽和看，要學(xué)會(huì)思考，尤其是針對教師的思維方式進(jìn)行思考，結(jié)合教師的思維方式嘗試自己分析和推理，從而構(gòu)建起抽象的思維，在不等式求解中針對抽象的規(guī)則加以充分利用

(四)利用初中與高中的連接，促進(jìn)知識(shí)點(diǎn)的掌握

在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)和應(yīng)用的過程中，教師需要進(jìn)一步把握好初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的連接，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握從很多學(xué)生的不等式認(rèn)知情況來看，學(xué)生會(huì)將高中的不等式當(dāng)作初中不等式的延伸和拓展由此可見，初中不等式同高中不等式之間往往也伴隨著一定的連貫性，并在二者的連接中形成了一個(gè)有機(jī)的整體系統(tǒng)因此，高中階段的不等式學(xué)習(xí)不僅僅是針對其中某一個(gè)具體章節(jié)的學(xué)習(xí)，更多的是通過高中階段的不等式學(xué)習(xí)來回歸整個(gè)初中階段的不等式學(xué)習(xí)，并以初中階段的不等式學(xué)習(xí)作為基礎(chǔ)和線索，激發(fā)學(xué)生在思想方面的共鳴，從而實(shí)現(xiàn)高中階段不等式學(xué)習(xí)能力的提升

(五)利用數(shù)學(xué)化歸思想，有效解決常見問題

在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)和應(yīng)用的過程中，教師也需要進(jìn)一步利用好數(shù)學(xué)化歸思想在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)思想的滲透是十分重要的數(shù)學(xué)思想的滲透和應(yīng)用也不僅僅體現(xiàn)在某一個(gè)單一板塊的知識(shí)中，而是完全貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終從不等式教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想來看，主要體現(xiàn)的是不等式中的“化歸思想”其中，“化歸思想”的核心則主要表現(xiàn)為在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，針對數(shù)學(xué)問題的運(yùn)算步驟進(jìn)行簡化因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，要切實(shí)學(xué)習(xí)好這一思想，并針對其進(jìn)行熟練的應(yīng)用，由此掌握面對數(shù)學(xué)問題時(shí)形成最為簡單的思路的方法，不斷減少數(shù)學(xué)問題解答的運(yùn)算步驟和負(fù)擔(dān)壓力同時(shí)，通過數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，也能夠在縮短解題步驟的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步降低學(xué)生的解題錯(cuò)誤率，從而保證更為理想的解題準(zhǔn)確率

(六)合理運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系解決問題

在應(yīng)用和學(xué)習(xí)不等式的過程中，教師同樣需要利用好各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系來引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，各個(gè)板塊的內(nèi)容彼此之間并不是相互獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系、相互依存的因此，在面對不等式問題進(jìn)行解答的過程中，學(xué)生不能只結(jié)合本章節(jié)的知識(shí)來面對問題，而要對以往所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)做好整合，并把握好其中的本質(zhì)和內(nèi)涵，通過規(guī)律引入更好地面對不等式問題，從而掌握更準(zhǔn)確、更輕松和更便捷的問題解答方式同時(shí)，通過各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)合，也能夠進(jìn)一步體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的教育價(jià)值

四、結(jié)束語

總之，不等式問題如果作為單獨(dú)題目出現(xiàn)，難度不會(huì)太高，但是當(dāng)不等式與數(shù)列、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)聯(lián)合出題時(shí)，其計(jì)算量會(huì)大大增加，難度也會(huì)增大為了解決此類問題：首先，學(xué)生一定要大量刷題，“題?！本毩?xí)是提升數(shù)學(xué)成績的最有效方法；其次，學(xué)生在練習(xí)時(shí)，應(yīng)注重對解題思路的分析和總結(jié)，勤看勤思考，將自己的解題思路與標(biāo)準(zhǔn)答案進(jìn)行對比，學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)答案的解題思路，逐漸積累解題經(jīng)驗(yàn)；再次，在臨近高考階段，學(xué)生一定要反復(fù)練習(xí)高考真題，從真題的練習(xí)中總結(jié)不等式題目的出題方式，以出題人的角度分析題目的構(gòu)造方式，知己知彼，明確知識(shí)的具體應(yīng)用原則與應(yīng)用方法；最后，需要從解題思維的角度總結(jié)做題經(jīng)驗(yàn)，這樣方可適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)節(jié)奏，獲得理想的數(shù)學(xué)成績