施松浩 黃銳? 唐念華 劉博

(1.南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)(2.中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

引言

空氣舵系統(tǒng)是最具有代表性的飛行器執(zhí)行機構(gòu)，空氣舵系統(tǒng)動力學性能的好壞，不僅影響飛行過程中結(jié)構(gòu)本身的安全性能好壞，對飛行器控制精度的高低也起到了很大的作用[1-3].

空氣舵系統(tǒng)機械部分一般由伺服作動器、連桿、搖臂、舵軸、舵面等部件構(gòu)成，這些子結(jié)構(gòu)的剛度共同構(gòu)成了空氣舵系統(tǒng)的整體剛度，且有著不同程度的貢獻[4].單個部件的剛度分析與優(yōu)化設(shè)計技術(shù)已經(jīng)隨著有限元軟件的普及變得十分成熟[5-7].對于多體結(jié)構(gòu)，F(xiàn)eng Xiong等[8]針對汽車部件的剛度優(yōu)化研究了以有限元建模為基礎(chǔ)，徑向基函數(shù)、多目標粒子群優(yōu)化算法和修正灰色關(guān)聯(lián)分析相結(jié)合的優(yōu)化方法，李峰等[9]針對機械臂結(jié)構(gòu)建立力學模型，利用迭代法對其剛度參數(shù)進行優(yōu)化．但是針對空氣舵的整體剛度優(yōu)化的研究目前還比較薄弱，主要還是依賴工程經(jīng)驗，缺少一種高效、準確的剛度優(yōu)化方法.在適當?shù)募s束條件下，合理的整體剛度分配不僅能優(yōu)化空氣舵系統(tǒng)的動力學特性，還能實現(xiàn)整體重量的優(yōu)化，這是單個零部件剛度優(yōu)化無法替代的重要環(huán)節(jié)[10,11].

要實現(xiàn)空氣舵系統(tǒng)整體剛度的分配優(yōu)化，需要綜合考慮子結(jié)構(gòu)對整體剛度的影響.在考慮空氣舵系統(tǒng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量不變等指標約束時，提高整體剛度，往往需要提高或者降低不同子結(jié)構(gòu)的剛度，這樣就會產(chǎn)生非常多的組合，而且很難研究出何種趨勢的組合是最優(yōu)解.如果考慮所有的可行解，十分費時費力，若計算整體剛度的方法也不夠高效或是不能兼顧子結(jié)構(gòu)的優(yōu)化參數(shù)，剛度分配優(yōu)化就幾乎不可能實現(xiàn).多體系統(tǒng)傳遞矩陣法[12-14]是將元件用包含其力學特性的傳遞矩陣進行連接以實現(xiàn)多體動力學建模的方法，具有計算高效且易于修改子結(jié)構(gòu)參數(shù)的特點.遺傳算法是模擬達爾文的生物進化理論以求得滿足要求的最優(yōu)解的一種成熟優(yōu)化方法[15-17].這兩者的結(jié)合成為實現(xiàn)高效的剛度分配優(yōu)化的可行方法[18].本文研究了一種基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法和遺傳算法相結(jié)合的剛度分配優(yōu)化方法，對空氣舵系統(tǒng)進行了高效建模及靈敏度分析，并結(jié)合遺傳算法，將多體系統(tǒng)傳遞矩陣法建模的程序作為適應(yīng)度函數(shù)進行空氣舵系統(tǒng)的剛度分配優(yōu)化.

1 空氣舵系統(tǒng)的高效剛度分配優(yōu)化方法

1.1 空氣舵系統(tǒng)描述及力學簡化

如圖1所示，空氣舵系統(tǒng)是一個復(fù)雜的多剛-柔耦合系統(tǒng)，主要由伺服作動器、連桿、搖臂、舵軸、舵面組成.伺服作動器在接收到控制指令后，通過連桿帶動搖臂轉(zhuǎn)動，并通過舵軸帶動空氣舵偏轉(zhuǎn).

圖1 空氣舵系統(tǒng)裝配體模型Fig.1 The assembly model of air rudder system

根據(jù)子結(jié)構(gòu)組成與傳動關(guān)系，建立了如圖2所示的舵系統(tǒng)動力學模型.元件1為伺服作動器推桿，元件3為連桿，處理為考慮橫向和軸向振動的Euler-Bernoulli梁，元件2和4為鉸鏈，元件6為舵軸，處理為扭轉(zhuǎn)振動的桿，元件5為搖臂，元件7為舵面，搖臂和舵面形狀不規(guī)則，為方便簡化，僅考慮其質(zhì)量、重心、尺寸以及繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量，所以處理為剛體.狀態(tài)矢量z用于定義一個點的力學狀態(tài)，包括該點的位移與內(nèi)力，表示為U，其中的元素分別對應(yīng)于該點的x方向的位移、y方向的位移，繞z軸的轉(zhuǎn)角、繞z軸的力矩、x方向的剪力、y方向的剪力，傳遞方向是從作動器傳遞到舵面，元件1左邊設(shè)置為固支，元件7右邊設(shè)置為鉸支，模擬軸承的作用，所建模型用于研究空氣舵的俯仰模態(tài).把多體系統(tǒng)分解成許多易于矩陣形式表達的簡單力學特征元件即傳遞矩陣U，將傳遞矩陣按照狀態(tài)矢量傳遞方向組裝在一起可得到整個系統(tǒng)的力學特征，用總傳遞方程表示為

Z7,0=UallZ1,0

(1)

Uall=U7U6U5U4U3U2U1

(2)

圖2 空氣舵系統(tǒng)動力學模型Fig.2 The dynamical model of air rudder system

1.2 基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法的高效結(jié)構(gòu)動力學建模

考慮橫向和軸向振動的Euler-Bernoulli梁的傳遞矩陣為UB，具體形式參見文獻[12].

所以作動器的傳遞矩陣U1為

U1=UB

(3)

連桿有轉(zhuǎn)動，需要加上坐標變換矩陣

(4)

式中，θ為連桿轉(zhuǎn)動的角度.所以連桿的傳遞矩陣U3為

U3=RTUBR

(5)

舵軸為等截面無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)振動彈性軸，傳遞矩陣為

(6)

式中，GJ為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，l為該軸的長度，x表示該軸的局部坐標系中x軸的坐標，方向沿舵軸軸向.搖臂和舵面為一端輸入、一端輸出的剛體，傳遞矩陣為UR，具體形式參見文獻[12].所以搖臂和舵面的傳遞矩陣為

U5=U7=UR

(7)

鉸鏈的傳遞矩陣為

(8)

1.3 高效剛度分配優(yōu)化算法

空氣舵系統(tǒng)的剛度分配優(yōu)化流程如圖3所示，將空氣舵系統(tǒng)分解為五個子結(jié)構(gòu)，提取影響整體剛度的參數(shù)，選擇將作動器的半徑、連桿截面的寬和高、舵軸的半徑作為變量.

遺傳算法[19]主要包含適應(yīng)度函數(shù)、基因、染色體、個體、種群、選擇、交叉、變異等要素.選擇合適的種群數(shù)量和遺傳代數(shù)，然后通過種群初始化、選擇、交叉、變異等一系列操作，優(yōu)勝劣汰，最終尋找到最優(yōu)的個體.將空氣舵系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)的尺寸變量作為遺傳算法的表現(xiàn)型基因，利用遺傳算法尋找最優(yōu)的剛度分配個體.

在遺傳算法中，使用適應(yīng)度這個概念來度量群體中各個個體在優(yōu)化計算中能達到或接近于或有助于找到最優(yōu)解的優(yōu)良程度，評價個體適應(yīng)度的一般過程如下：(1)對個體編碼串進行解碼處理后，可得到個體的表現(xiàn)型.(2)由個體的表現(xiàn)型可計算出對應(yīng)個體的目標函數(shù)值.(3)根據(jù)最優(yōu)化問題的類型，由目標函數(shù)值按一定的轉(zhuǎn)換規(guī)則求出個體的適應(yīng)度.基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法的動力學建模將影響空氣舵動力學特性的各個參數(shù)即個體的表現(xiàn)型包含在了里面，且可以非常方便地通過調(diào)整這些參數(shù)快速地計算出空氣舵系統(tǒng)的固有頻率，而剛度分配優(yōu)化的目的，就是提高系統(tǒng)的第一階俯仰模態(tài)固有頻率，所以這里選擇將空氣舵?zhèn)鬟f矩陣法固有頻率的計算程序編程為適應(yīng)度函數(shù)，將空氣舵系統(tǒng)的第一階俯仰模態(tài)固有頻率高低作為適應(yīng)度的評判標準，適應(yīng)度高的個體將有更高概率遺傳到下一代.初始種群在經(jīng)過設(shè)定好的遺傳代數(shù)的適應(yīng)度選擇后，最終找到適應(yīng)度最高的一組剛度分配方案.由于固有頻率與各個尺寸多呈正相關(guān)或負相關(guān)性，所以對整個舵系統(tǒng)的質(zhì)量進行適當約束，以求在不超過一定質(zhì)量標準的情況下，尋找到最優(yōu)的剛度分配方案.

圖3 剛度分配優(yōu)化流程Fig.3 The process of stiffness allocation optimization

2 空氣舵系統(tǒng)剛度優(yōu)化算例驗證

2.1 空氣舵系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)動力學分析

根據(jù)式(1)～式(8)可以寫出舵系統(tǒng)總傳遞矩陣

(9)

令邊界條件

(10)

代入(9)式，得

(11)

要使(11)式有非零解，則有

(12)

由求得的固有頻率可以得到其對應(yīng)的系統(tǒng)邊界點的狀態(tài)矢量，再將求到的固有頻率代入每個部件的傳遞矩陣Ui即可得到所有的傳遞矩陣，其他連接點的狀態(tài)矢量就可通過下式得到

(13)

彈性梁上任意點處的狀態(tài)矢量為

Zi,xi=Ui,xiZi-1,i(i=1,3,5)

(14)

系統(tǒng)的振型由各點的狀態(tài)矢量確定，本文建立的模型用于研究空氣舵的俯仰模態(tài)，所以選用Θz方向確定.

空氣舵系統(tǒng)的固有頻率計算采用的方法是搜根方法[20]，結(jié)果如圖4所示，橫坐標為固有頻率，縱坐標表示|Δ|值的大小，當|Δ|值接近于0時即可求出固有頻率.由多體系統(tǒng)傳遞矩陣法算得舵系統(tǒng)第一階固有模態(tài)頻率為139.57Hz.振型如圖5所示，其中橫坐標是各個連接點到作動器固定端的x方向的距離，縱坐標是Θz角度，由于搖臂沿y軸建立，舵軸沿z軸建立，輸入點與輸出點在x軸上位置相同，因此在圖5中從搖臂開始的部件都在連桿末端一點處，該點處由于舵軸的加入Θz顯著增大，可以看出第一階固有模態(tài)為俯仰模態(tài).用MSC.Patran軟件對舵系統(tǒng)進行有限元建模，圖6為計算得出的第一階俯仰模態(tài)，頻率為141.06Hz，與多體系統(tǒng)傳遞矩陣法算得的頻率誤差僅為1.06%，證明了傳遞矩陣法對空氣舵系統(tǒng)建模的正確性.商用有限元軟件計算需要10min，而傳遞矩陣法建模計算一次僅需0.12min，計算效率比直接有限元模擬提高約2個數(shù)量級，有利于后續(xù)優(yōu)化的實現(xiàn).

2.2 靈敏度分析

基于傳遞矩陣法進行舵系統(tǒng)動力學特性計算，可以方便地調(diào)整舵系統(tǒng)中的各部件的參數(shù)，并且能快速計算出大量樣本，以便研究參數(shù)對舵系統(tǒng)的振動特性的影響.制造空氣舵系統(tǒng)的材料往往是確定的且不方便更改，所以對于剛度的控制，可以通過改變子結(jié)構(gòu)的尺寸來實現(xiàn).圖7是通過改變舵系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)的尺寸進行的靈敏度分析，圖中橫坐標是尺寸變化量，縱坐標是固有頻率.圖(a)包含舵軸，圖(b)不包含舵軸，可以看出，舵軸半徑的改變對結(jié)構(gòu)整體的剛度影響最為明顯，連桿高度的影響最小.

圖4 固有頻率計算結(jié)果 Fig.4 The calculation result of natural frequency

圖5 空氣舵Θz方向振型Fig.5 The Θz mode shape of air rudder

圖6 空氣舵有限元計算結(jié)果Fig.6 The finite element result of air rudder

2.3 剛度分配優(yōu)化

在對系統(tǒng)總質(zhì)量進行約束的情況下，每一代最優(yōu)個體的固有頻率如圖8所示，舵系統(tǒng)第一階俯仰模態(tài)固有頻率由原來的139.57Hz提升為161.61Hz，優(yōu)化效果十分顯著.每一代最優(yōu)個體的各個尺寸如圖9所示，各部件的尺寸有一定波動，但基本圍繞一個數(shù)據(jù)，此數(shù)據(jù)即最優(yōu)尺寸.根據(jù)靈敏度分析，舵軸半徑對于整體剛度的影響最大，優(yōu)化過程中，也是舵軸半徑最先達到尺寸的上限，而連桿高度對整體剛度影響最小，主要用于平衡質(zhì)量的約束條件，所以最晚趨于穩(wěn)定，優(yōu)化結(jié)果具體參考表1.

(a)包含舵軸半徑的靈敏度分析(a)The sensitivity analysis including the radius of rudder shaft

圖8 固有頻率優(yōu)化結(jié)果Fig.8 The optimization result of natural frequency

(a)作動器半徑優(yōu)化過程(a)The optimization process of the radius of servo actuator

表1 優(yōu)化結(jié)果對比Table 1 Comparison of optimization results

3 結(jié)論

本文針對空氣舵結(jié)構(gòu)設(shè)計存在的剛度分配優(yōu)化問題提出了一種多體系統(tǒng)傳遞矩陣法與遺傳算法相結(jié)合的高效優(yōu)化方法.以典型的空氣舵系統(tǒng)為對象，利用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法對空氣舵系統(tǒng)進行建模并程序化，以實現(xiàn)快速計算舵系統(tǒng)的固有頻率與振型，研究各個子結(jié)構(gòu)對整體剛度的貢獻的目的.將傳遞矩陣法建模程序作為適應(yīng)度函數(shù)，運用遺傳算法在約束整體質(zhì)量的情況下對各個子結(jié)構(gòu)的剛度分配進行優(yōu)化，空氣舵系統(tǒng)第一階俯仰模態(tài)固有頻率得到了顯著提升.