朱成秀 隨歲寒 彭丹華 李成?

(1. 蘇州大學(xué) 軌道交通學(xué)院，蘇州 215131) (2. 商丘工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，商丘 476000)

引言

軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛，常見的例子有傳動(dòng)帶、數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)、機(jī)器人末端執(zhí)行器等[1, 2].為提高這些工程裝備的工作效率，對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)速度提出了要求.研究表明提高軸向運(yùn)動(dòng)速度能夠降低固有振動(dòng)頻率[3]，而對(duì)低頻的振動(dòng)控制通常是容易實(shí)現(xiàn)的.對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，由于運(yùn)動(dòng)因素的存在，即使是低速情況下也會(huì)產(chǎn)生橫向振動(dòng)與軸向速度的耦合，從而影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，導(dǎo)致系統(tǒng)模態(tài)的變化[4].因此，運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)往往是制約系統(tǒng)性能的重要原因，尤其是對(duì)高速精密系統(tǒng)而言.為了模擬和優(yōu)化相關(guān)運(yùn)動(dòng)工程結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)問題已成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)[5-7].文獻(xiàn)[8]建立了處于氣動(dòng)熱環(huán)境下的熱軋制造過(guò)程軸向運(yùn)動(dòng)板模型，考慮了運(yùn)動(dòng)速度、溫度以及氣流速度等因素對(duì)系統(tǒng)非線性振動(dòng)的影響，為熱軋工藝設(shè)計(jì)提供了參考.文獻(xiàn)[9]基于基爾霍夫板理論，應(yīng)用有限元方法，研究了流體中軸向運(yùn)動(dòng)板的振動(dòng)問題，并考慮了速度與流體密度對(duì)板的振動(dòng)穩(wěn)定性的影響.文獻(xiàn)[10]研究了流體中軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)力穩(wěn)定性，其中考慮了流體附加質(zhì)量以及非線性偏轉(zhuǎn)軸向力的影響.文獻(xiàn)[11]針對(duì)印刷設(shè)備中的運(yùn)動(dòng)薄膜，基于馮·卡門非線性理論，研究了運(yùn)動(dòng)薄膜的大變形振動(dòng)問題.文獻(xiàn)[12]基于薄板理論，利用哈密頓原理，研究了磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓板的分叉與混沌.

值得注意的是，上述研究均未涉及彈性支承對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的影響.在某些工程中，彈性支承是不可或缺的，其對(duì)系統(tǒng)橫向振動(dòng)的影響無(wú)法忽略.對(duì)于彈性支承-軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，以往也有一些研究，但大多數(shù)都是一維弦或梁模型.文獻(xiàn)[13]考慮了在彈性基礎(chǔ)上的軸向運(yùn)動(dòng)梁模型的振動(dòng)，研究了路徑曲率、軸向速度以及支承剛度對(duì)固有頻率的影響.文獻(xiàn)[14]研究了外部激勵(lì)下兩端帶有彈簧支承的軸向運(yùn)動(dòng)梁的固有模態(tài).文獻(xiàn)[15]應(yīng)用鐵木辛柯梁理論，研究了具有中間彈簧支承的軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性振動(dòng).文獻(xiàn)[16]研究了具有中間彈簧支承的軸向運(yùn)動(dòng)梁在分布諧波激勵(lì)下的縱向和橫向非線性耦合振動(dòng)和穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[17]分析了由離散式彈性基礎(chǔ)支承的軸向運(yùn)動(dòng)弦的臨界速度與不穩(wěn)定性.考慮彈性支承的軸向運(yùn)動(dòng)板的文獻(xiàn)較少，文獻(xiàn)[18]利用經(jīng)典板理論研究了彈性支承下運(yùn)動(dòng)正交各向異性板的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[19]基于一階剪切變形理論，研究了彈性基礎(chǔ)支承的軸向運(yùn)動(dòng)雙層板的動(dòng)力響應(yīng).目前尚未見基于高階剪切變形理論的軸向運(yùn)動(dòng)板-彈簧系統(tǒng)的研究.

為了更好地分析厚板的力學(xué)性能，研究人員發(fā)展了很多高階剪切變形理論[20, 21].其中Reddy提出的三階剪切變形理論認(rèn)為橫向剪切應(yīng)變沿板厚呈拋物線分布[22, 23]，能夠比較準(zhǔn)確地反映剪切板的變形與位移，并且計(jì)算量較小，已得到廣泛應(yīng)用[24, 25].文獻(xiàn)[26]基于Reddy三階剪切變形理論，研究了位于黏彈性介質(zhì)上的碳納米管增強(qiáng)功能梯度板的自由振動(dòng)，并與一階剪切變形理論結(jié)果對(duì)比揭示其優(yōu)越性.文獻(xiàn)[27]應(yīng)用Reddy三階剪切變形理論，分析了壓電功能梯度板的彎曲與動(dòng)力特性.

對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)板的有限元模型，以往多基于薄板理論，并應(yīng)用哈密頓原理來(lái)推導(dǎo)方程，導(dǎo)致對(duì)于中厚板的振動(dòng)預(yù)測(cè)存在一定誤差[3, 9].本文基于三階剪切變形理論，并應(yīng)用虛功原理得到有限元方程，考慮了橫向剪切應(yīng)變沿板厚的分布情況，也能夠適應(yīng)于中厚板的振動(dòng)分析，并且計(jì)算量相對(duì)于其他高階變形理論較小.另外，工程結(jié)構(gòu)常置于彈性基礎(chǔ)之上，在多數(shù)情況下彈性基礎(chǔ)可以看作分布式或離散式的彈簧支承.本文將離散式彈簧這一約束通過(guò)勢(shì)能方程引入有限元模型中，并通過(guò)改變支承剛度矩陣中非零值的位置，調(diào)整離散彈簧支承作用在板面的位置，簡(jiǎn)化了模型的計(jì)算復(fù)雜度并提高了預(yù)測(cè)精確性.

綜上，本文應(yīng)用Reddy三階剪切變形理論，研究彈性支承下軸向運(yùn)動(dòng)板的自由振動(dòng).將離散式彈簧支承引至勢(shì)能方程，并采用一種四節(jié)點(diǎn)四邊形單元離散板域，得到軸向運(yùn)動(dòng)板自由振動(dòng)的有限元方程.在數(shù)值算例部分，利用ANSYS軟件對(duì)靜止板進(jìn)行了前三階模態(tài)分析，并將本文數(shù)值結(jié)果與ANSYS結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明本文方法的有效性.隨后，探討軸向速度、彈簧剛度以及板厚對(duì)彈性支承下軸向運(yùn)動(dòng)板的振動(dòng)及其穩(wěn)定性的影響.研究結(jié)果可為由空氣軸承、張緊臂等支承的二維運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供理論基礎(chǔ).

1 控制方程

建立圖1所示的矩形板模型，長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、h，沿x軸方向的運(yùn)動(dòng)速度為v.板的彈性模量為E，密度為ρ，泊松比為μ.板承受離散線彈簧支承，其剛度為k，不考慮轉(zhuǎn)角剛度.

圖1 受離散彈簧支承的軸向運(yùn)動(dòng)板Fig.1 Axially moving plate with discrete elastic supports

根據(jù)Reddy三階剪切變形理論[22, 23]，板的位移可由三階多項(xiàng)式表示如下：

w(x,y,z)=w

(1)

由此可以得到應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系：

(2)

為了離散求解域，采用四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，廣義坐標(biāo)如下：

(3)

其中

w=Ns000wcg

φx=Pw8s0kce

φy=Qooaiog0

(4)

其中N、P、Q為形函數(shù)[28, 29]，單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有橫向撓度、繞x方向的轉(zhuǎn)角、繞y方向的轉(zhuǎn)角等3個(gè)自由度.

將式(3)和式(4)代入幾何方程(2)，并將其整理成矩陣形式：

ε=[B]qmyg0e0

(5)

其中

考慮應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，板的物理方程可以寫成：

(6)

亦可將其表達(dá)為σ=[D]ε.

考慮式(5)與式(6)，板的應(yīng)變能變分如下：

(7)

將式(1)和式(4)代入可以得到慣性力做功的變分表達(dá)式：

(8)

由于板存在軸向運(yùn)動(dòng)速度，其科氏力和離心力做功的變分可表達(dá)為：

(9)

將式(7)、式(8)和式(9)代入如下虛功原理表達(dá)式：

δU=δW+δF

(10)

從而得輸流管道系統(tǒng)的有限元平衡方程

(11)

其中

當(dāng)板面上一點(diǎn)受到彈簧支承時(shí)，彈性勢(shì)能變分為：

δUs=wusscw2Tdiag(ann)8uwsm0i

(12)

其中，ann為支承剛度矩陣對(duì)角線上唯一的非零值，下標(biāo)代表第n行第n列，且ann=k.劃分單元時(shí)將單元節(jié)點(diǎn)與彈簧支承點(diǎn)重合，從而該節(jié)點(diǎn)的橫向位移對(duì)應(yīng)的整體節(jié)點(diǎn)編號(hào)即為n.考慮支承剛度后系統(tǒng)的整體剛度矩陣為：

D=K+diag(ann)

(13)

將式(11)的Κ替換為D，得到受彈簧支承條件下軸向運(yùn)動(dòng)板自由振動(dòng)的有限元方程：

(14)

2 數(shù)值算例

考慮兩種邊界條件：四邊固支、與運(yùn)動(dòng)方向垂直的兩邊固支另兩邊自由，板的材料參數(shù)與幾何參數(shù)如表1所示.

為了驗(yàn)證本文提出的軸向運(yùn)動(dòng)彈性支承板模型及其結(jié)果的有效性，令板的速度為0，將彈簧剛度分別取極大值與極小值來(lái)模擬經(jīng)典支承條件，然后進(jìn)行模態(tài)分析，并將數(shù)值結(jié)果與ANSYS計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

表1 數(shù)值算例中的參數(shù)值Table 1 Parameter values in numerical examples

在四邊固支邊界下，取板厚為0.02m，彈簧剛度為0，模擬無(wú)支承情況，彈簧剛度取正無(wú)窮時(shí)模擬剛性支承情況.圖2為應(yīng)用ANSYS有限元軟件計(jì)算得到的模態(tài)圖，其中圖2(a)、(c)、(d)、(e)表示無(wú)支承板的前三階模態(tài)，圖2(b)為支承剛度無(wú)限大條件下的第一階模態(tài)，第二階模態(tài)分兩部分，在速度為零的情況下，二者對(duì)應(yīng)的固有頻率相等，這與文獻(xiàn)[30]和文獻(xiàn)[31]的結(jié)論一致.對(duì)于無(wú)支承情況，隨著振動(dòng)模態(tài)階數(shù)的提高，板的變形趨勢(shì)不同，模態(tài)愈加復(fù)雜.其中無(wú)支承板的第一階模態(tài)主要表現(xiàn)為板中心處的大變形，而剛性支承板的第一階模態(tài)的最大變形量位于繞板中心的環(huán)狀區(qū)域，板中心處的變形量等于0.值得注意的是，彈簧剛度為0的條件下，第二和第三階模態(tài)的幾何中心處橫向變形為0.因此可以推斷，當(dāng)彈簧支承在該點(diǎn)時(shí)，彈簧剛度的變化對(duì)第二階和第三階沒有影響.

圖3為兩邊固定兩邊自由邊界條件下板的前三階模態(tài).在剛度為0和無(wú)窮大兩種情況下，最大變形量均位于自由板邊的中點(diǎn)附近.在無(wú)彈性支承條件下，不同模態(tài)階數(shù)下板的變形趨勢(shì)不同.與四邊固支不同的是，第三階模態(tài)中板的幾何中心處存在較大變形量，因此推斷在兩邊固支兩邊自由邊界約束下，當(dāng)彈性支承在幾何中心點(diǎn)時(shí)，彈簧剛度的變化僅對(duì)第二階固有頻率不產(chǎn)生影響.圖3(b)表示在剛性支承條件下板的第一階模態(tài)，與圖3(a)對(duì)比可以看出，不同剛度下板的變形趨勢(shì)存在較大差異，即剛度對(duì)板的模態(tài)影響較大.

(a) Mode 1 (k=0)

表2給出了彈簧剛度取0時(shí)，厚度分別為0.02m和0.2m的四邊固支無(wú)運(yùn)動(dòng)板的前三階固有頻率，并將本文結(jié)果與ANSYS結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.可見本文數(shù)值解與有限元解基本吻合，最大誤差不超過(guò)3.97%，證明了本文模型的有效性.另外，本文結(jié)果相對(duì)于ANSYS結(jié)果固有階頻率均偏大，這是由于本文所采用的單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有3個(gè)自由度，造成本文結(jié)果相比ANSYS結(jié)果偏大.由于本文基于三階剪切變形理論，因而對(duì)厚板也有良好的適用性，這一點(diǎn)也可由表2中厚度0.2m的對(duì)比結(jié)果佐證.表3為厚度為0.02m的無(wú)運(yùn)動(dòng)板在兩邊固支兩邊自由邊界條件下的前三階固有頻率與ANSYS對(duì)比結(jié)果，同樣具有較好的一致性，證明了本文模型在不同邊界條件與不同剛度下均可以取得理想的結(jié)果.

(a) Mode 1 (k=0)

表2 四邊固支無(wú)運(yùn)動(dòng)板的前三階固有頻率(k=0，v=0)Table 2 The natural frequencies of a stationary plate fixed at four edges

為了分析彈簧剛度與運(yùn)動(dòng)速度對(duì)模型穩(wěn)定性的影響，作為對(duì)比，圖4描述了四邊固支條件下，彈簧剛度為0即無(wú)支承情況下軸向運(yùn)動(dòng)板前三階固有頻率隨速度的變化.在速度為0時(shí)，前三階頻率實(shí)部均為0，隨著速度增加，固有頻率的虛部逐漸降低，這表明速度的增加使板的剛度降低.當(dāng)速度增加到320m/s，第一階固有頻率的虛部減小到0，實(shí)部由0變?yōu)閮蓚€(gè)分支，此時(shí)速度為第一階模態(tài)速度的發(fā)散臨界值，在臨界值到達(dá)前，軸向運(yùn)動(dòng)板始終保持穩(wěn)定.在320～340m/s的速度區(qū)間內(nèi)，第一階振動(dòng)模態(tài)不穩(wěn)定，固有頻率保持實(shí)數(shù)形式.當(dāng)速度增加到350m/s時(shí)，第一階固有頻率實(shí)部回歸到0，并且虛部呈上升趨勢(shì).第二階振動(dòng)模態(tài)中包含的兩個(gè)固有頻率在速度較小時(shí)保持相等，隨著速度增加，二者逐漸分離.另外，第二和第三階固有頻率在0～390m/s區(qū)間內(nèi)保持實(shí)部為0，模型在第三階模態(tài)始終具有穩(wěn)定性.

表3 兩邊固支兩邊自由無(wú)運(yùn)動(dòng)板的前三階固有頻率Table 3 The natural frequencies of a stationary plate fixed on two opposite edges and the others free

(a)實(shí)部(a) The real part

令彈簧剛度k=40×106N/m，圖5為彈性支承下四邊固支軸向運(yùn)動(dòng)板隨速度的變化.與圖4類似，在速度較小時(shí)，前三階固有頻率實(shí)部均為0且虛部隨速度增大而降低，板保持穩(wěn)定狀態(tài).第一階固有頻率的值在相同速度下大于無(wú)支承時(shí)的情況，這表明彈性支承有效增加了板的剛度.第一階模態(tài)的速度臨界值為350m/s，相比無(wú)支承時(shí)變大，在350～400m/s區(qū)間內(nèi)，第一階固有頻率為不穩(wěn)定狀態(tài)，不穩(wěn)定區(qū)間的長(zhǎng)度相比無(wú)支承時(shí)增加.第二階模態(tài)包含的兩個(gè)固有頻率分離時(shí)的速度相對(duì)于無(wú)支承時(shí)變小，但在速度較大時(shí)二者又回到幾乎相等的狀態(tài).另外，在0～400m/s區(qū)間內(nèi)，第二、三階固有頻率實(shí)部始終為0，板在第二、三階模態(tài)保持穩(wěn)定.第二和第三階固有頻率與彈簧剛度為0時(shí)相同，從而驗(yàn)證了前文預(yù)測(cè).由此可推知，根據(jù)振動(dòng)控制的需要，可以通過(guò)采用不同的彈簧布置方式來(lái)控制特定模態(tài)的振動(dòng).

(a)實(shí)部(a) The real part

令彈簧剛度趨于無(wú)窮大，由于僅僅限制了彈簧位移，截面轉(zhuǎn)角仍保持自由狀態(tài)，經(jīng)本文算法驗(yàn)證，離散點(diǎn)剛性支承等價(jià)于該點(diǎn)簡(jiǎn)支的情況.圖6給出了局部簡(jiǎn)支支承下軸向運(yùn)動(dòng)板的前三階固有頻率與速度的關(guān)系.在速度較小時(shí)，板的前三階頻率仍然保持實(shí)部為0，且虛部隨著速度增大而減小.但在0～400m/s的速度區(qū)間內(nèi)，前三階固有頻率不再出現(xiàn)發(fā)散情況，軸向運(yùn)動(dòng)板始終保持穩(wěn)定，這一點(diǎn)與無(wú)支承及彈性支承時(shí)存在顯著差異.另外，第二階模態(tài)的兩個(gè)固有頻率分離時(shí)的速度大幅減小，幾乎在速度為0時(shí)就分離，并且分離程度更加顯著.局部簡(jiǎn)支支承板的第一階固有頻率在相同速度下均大于彈性支承情況，這證實(shí)了彈簧剛度增大能夠有效增加板的剛度.但值得注意的是，第二、三階固有頻率幾乎沒有變化，進(jìn)一步驗(yàn)證了基于模態(tài)的預(yù)測(cè).另外與圖4和圖5不同，離散點(diǎn)簡(jiǎn)支時(shí)軸向運(yùn)動(dòng)板的第一階固有頻率大于第二階，這是由于彈簧剛度對(duì)第一階頻率的影響遠(yuǎn)大于第二、三階，使得第一階模態(tài)發(fā)生了扭曲(如圖2(b))，從而造成了第一階固有頻率超越無(wú)支承條件下的第二階情形.

(a)實(shí)部(a) The real part

圖7分析了彈簧剛度對(duì)兩邊固支兩邊自由板固有頻率的影響，與四邊固支時(shí)相似，在不同彈簧剛度下，前三階固有頻率均隨速度增加而降低，證明了軸向運(yùn)動(dòng)速度的增加會(huì)降低板的總體剛度.由圖7(a)可以看出，在彈簧剛度為0時(shí)，板的一階速度發(fā)散臨界值約為200m/s，遠(yuǎn)低于四邊固支邊界情形.由圖7(b)可見，隨著速度增加，一階固有頻率與二階固有頻率逐漸趨于重合，這表明板的一階與二階固有頻率可能出現(xiàn)耦合，板將發(fā)生顫振不穩(wěn)定現(xiàn)象.另外，在不同彈簧剛度下，第二階固有頻率沒有發(fā)生變化，證明了前文模態(tài)分析時(shí)的推斷.注意到與四邊固支的情況類似，彈簧剛度對(duì)第一階固有頻率的影響大于第二階，從而使第一階模態(tài)扭曲[如圖3(b)]，導(dǎo)致了圖7(c)中第一階固有頻率超越了第二階.

(a) k=0×106 N/m

下面考慮板厚的影響，為了進(jìn)行對(duì)比，取板厚h=0.2m，考慮四邊固支無(wú)支承時(shí)的軸向運(yùn)動(dòng)板，其前三階固有頻率的虛部隨速度變化如圖8所示.與圖4結(jié)論一致，隨著速度增加，固有頻率呈現(xiàn)下降趨勢(shì).相比于圖4，前三階固有頻率大幅增加，這表明增加板厚可以顯著提高軸向運(yùn)動(dòng)板的剛度.另外，模型在圖示速度區(qū)間始保持穩(wěn)定，可推知第一階模態(tài)的速度臨界值遠(yuǎn)大于板厚為0.02m的薄板，這說(shuō)明較厚的板在高速下能保持穩(wěn)定.

圖8 四邊固支彈性支承軸向運(yùn)動(dòng)板前三階固有頻率 (h=0.2m, k=0×106 N/m)Fig.8 The complex frequencies of the elastically supported axially moving plate fixed at four edges (h=0.2m, k=0×106 N/m)

3 結(jié)論

基于Reddy三階剪切變形理論研究了彈簧支承下軸向運(yùn)動(dòng)板的自由振動(dòng)，應(yīng)用四節(jié)點(diǎn)四邊形單元進(jìn)行有限元建模和求解，其中考慮了離散式彈性支承與軸向速度，并通過(guò)系統(tǒng)勢(shì)能的形式直接將彈簧支承條件考慮到有限元方程中，從而求得板的動(dòng)力穩(wěn)定性.主要結(jié)論如下：

1) 運(yùn)動(dòng)速度的增加會(huì)降低軸向運(yùn)動(dòng)板的總體剛度，當(dāng)速度增加到發(fā)散臨界值時(shí)，板在一定速度區(qū)間內(nèi)會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象.在兩邊固支兩邊自由邊界條件下，第一階與第二階固有頻率會(huì)發(fā)生耦合，從而導(dǎo)致板出現(xiàn)顫振不穩(wěn)定.

2) 彈簧剛度增大能有效增強(qiáng)軸向運(yùn)動(dòng)板的剛度，并提高振動(dòng)固有頻率，且速度發(fā)散臨界值隨著彈簧剛度的增加而提高.另外，當(dāng)彈簧在中心點(diǎn)支承時(shí)，在四邊固支條件下，彈簧剛度對(duì)第一階固有頻率影響較大，而對(duì)第二和第三階基本無(wú)影響.在兩邊固定兩邊自由邊界下，彈簧剛度僅對(duì)第二階固有頻率影響較小.因此可通過(guò)改變彈簧布置方式來(lái)控制特定模態(tài)的振動(dòng).

3) 當(dāng)板厚變大時(shí)，固有頻率與速度發(fā)散臨界值均得以顯著提高，證明了厚板具有更高的剛度與更好的振動(dòng)穩(wěn)定性.