蔣 萍

在大力提倡素質(zhì)教育的今天，減少義務(wù)教育階段學(xué)生的“校內(nèi)作業(yè)”和“校外補(bǔ)課”負(fù)擔(dān)、減少“兩極分化”、要求學(xué)生全面發(fā)展，已成為全社會(huì)共識(shí)。然而人是具有個(gè)性差異的，同樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)要求對(duì)不同的人的負(fù)擔(dān)是完全不一樣的。所以說，面對(duì)當(dāng)前存在的初中學(xué)生數(shù)學(xué)的“學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)”越來越重而班級(jí)成績“兩極分化”愈演愈烈的情況，不僅要治標(biāo)更要治本。

研究表明，求異思維具有流暢性、多端性、靈活性、精細(xì)性、新穎性等特點(diǎn)；學(xué)生求異思維能力的高低，不僅對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決有著直接的影響，更是對(duì)減輕學(xué)生的“學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)”、減少“兩極分化”有著舉足輕重的作用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)習(xí)者與眾不同的探求思路，別具一格的思考方法，靈活多變的解題技巧，就是學(xué)習(xí)者求異思維的發(fā)展，就是內(nèi)驅(qū)力涌發(fā)的標(biāo)志，就是體現(xiàn)創(chuàng)新素質(zhì)的萌芽，就是撇開學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的基礎(chǔ)。教師可通過培養(yǎng)學(xué)生具有舉一反三的數(shù)學(xué)求異思維的能力，使學(xué)生感覺做數(shù)學(xué)題目是輕松的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是快樂的。

要達(dá)到上述目的，數(shù)學(xué)題目的教學(xué)呈現(xiàn)尤其重要。筆者在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，借助“呈題五化”法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)求異思維，從而減輕學(xué)生“學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)”、減少班級(jí)“兩極分化”。

一、 題目設(shè)置梯度化，誘導(dǎo)求異，拓展流暢思維，減輕淤堵壓力

學(xué)生的求異思維是以其創(chuàng)造性思維作基礎(chǔ)的，而創(chuàng)造性思維是強(qiáng)調(diào)個(gè)體差異的智力品質(zhì)。由于各人的創(chuàng)造能力不同，所以對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題所表現(xiàn)的創(chuàng)造性精神也不同。題目設(shè)置梯度化，一題多變，步步推進(jìn)，可大大增強(qiáng)學(xué)生對(duì)解決問題思維的流暢性。梯度化題型所催生的思維慣導(dǎo)作用能減輕學(xué)生的解題壓力，使各層次的學(xué)生在問題解決的遨游過程中均有收獲。

已知在△中，=，∠=，求∠的度數(shù)(應(yīng)用三角形內(nèi)角和性質(zhì))。

變形1：已知△中，=，∠是∠的補(bǔ)角?！?，求底角∠的度數(shù)(應(yīng)用等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì))。

變形2：在等腰△中，若∠=40°，則∠=度(按∠、∠和∠是頂角時(shí)的三種情況分類討論)。

學(xué)生的求異思維，難度在于解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的思維淤堵。設(shè)置的題目采取梯度形式，如本例，從基礎(chǔ)到變形1再到變形2，步步加深，在避免習(xí)題“一覽無余”的同時(shí)始終以一種“慣性”牽引著學(xué)生解決問題中的思維。這種促進(jìn)以學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)輔以教師指導(dǎo)為學(xué)習(xí)方式，設(shè)置最近發(fā)展區(qū)，誘導(dǎo)求異，暢通思維，避免淤堵，形成了一種有利于再創(chuàng)造的求異思維情境，在無形中減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

二、 典型知識(shí)題組化，串珠成絡(luò)，構(gòu)建多端思維，提高求異能力

數(shù)學(xué)問題的求異能力，不僅需要學(xué)生有相當(dāng)?shù)闹R(shí)積累，而且能將這些知識(shí)在大腦中按自己特定的而又是科學(xué)合理的方式儲(chǔ)蓄，構(gòu)建的多端集中思維能在知識(shí)應(yīng)用時(shí)自由地選擇、提取、組合。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師將重要的、典型的知識(shí)題組化，串珠成絡(luò)，幫助學(xué)生解決問題思維的多端出擊，不僅便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和接受新知識(shí)，更能方便學(xué)生疏通、排查，提高其求異能力，從根本上減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

關(guān)于非負(fù)數(shù)的題組，使非負(fù)數(shù)的性質(zhì)展現(xiàn)無遺。

由上面例子可知：把零散的知識(shí)按一定解題規(guī)律串成網(wǎng)絡(luò)狀，形成了良好的知識(shí)組塊，有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決過程中產(chǎn)生多端的思維向認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同化邁進(jìn)，是減輕學(xué)生認(rèn)知負(fù)擔(dān)的有效方法，也是促進(jìn)學(xué)生形成求異思維的必要條件。

三、 探究方法多樣化，百花齊放，引發(fā)靈動(dòng)思維，增進(jìn)解題活力

初中學(xué)生注意力高度集中的時(shí)間短，半節(jié)課后就會(huì)出現(xiàn)疲勞癥狀，效率下降；還有，初中學(xué)生的成就欲不高，稍有成就就容易表現(xiàn)出滿足狀，這是形成數(shù)學(xué)“兩極分化”的原因之一。如果能經(jīng)常要求學(xué)生做到一題多解，采取獨(dú)立思考與兩人小組(四人小組)討論相結(jié)合的方式，有啟發(fā)、有爭論，有效地轉(zhuǎn)換大腦興奮點(diǎn)，激活腦細(xì)胞，實(shí)現(xiàn)多角度多方位地觀察、歸納、猜想，就能增加解題活力，也能減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

如2022年4月本校“學(xué)情診斷”七年級(jí)期中數(shù)學(xué)第16題：已知9=25=15，則代數(shù)式(-1)(-1)++3的值是。

對(duì)七年級(jí)學(xué)生而言，這個(gè)題目是有點(diǎn)難度的，多數(shù)學(xué)生初看此題感覺一時(shí)無從下手，但在經(jīng)過短暫的自慮、討論，很快有同學(xué)根據(jù)性質(zhì)“若≠0，=，則=”得到方法一：

由已知得32=52=3×5，∴32-1=5，52-1=3，∴(52-1)2-1=5，∴(2-1)(2-1)=1，∴+=2，∴原式=2-(+)+4=4。

接著，靈動(dòng)的思維出現(xiàn)了。據(jù)此，很快有同學(xué)類推，得到方法二：

由已知得32=52=3×5，∴32-1=5，52-1=3，∴(32-1)2-1=3，∴(2-1)(2-1)=1，即+-2=0，∴原式=2-(+)+4=4。

到這里，學(xué)生的思維更加活躍，有學(xué)生提出，既然有性質(zhì)“若≠0，=，則=”，那么可否得到“若≠0，=，則=，即=”這樣的結(jié)論？老師當(dāng)即指出，這里要增加“≠0”這個(gè)條件；于是又有了方法三：

設(shè)9=25=15=，則9=，25=，又∵+=·，∴+=9×25=15，又∵=15，∴2=15，∴+=2，∴+=2，∴原式=2-(+)+4=4。

這里的一題多探，不但激活了與問題相關(guān)的各知識(shí)點(diǎn)，而且學(xué)生通過活躍的觀察、嘗試、猜想等活動(dòng)，在目的性、相似性、和諧性和批判性等指向原則指導(dǎo)下，形成解決問題方法的宏觀判斷，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與問題情境的同化，不僅提高了問題探索的興趣，增加了解題的活力，而且減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的畏懼心理。

四、 呈題訓(xùn)練三步化，鼓勵(lì)猜想，誘導(dǎo)精細(xì)思維，凝聚參與動(dòng)力

數(shù)學(xué)的猜想是誘導(dǎo)學(xué)生精細(xì)思維的極好途徑，是思維登高的梯子。筆者對(duì)解題訓(xùn)練按“讀、講、解”三步施行，誘導(dǎo)學(xué)生人人參與，使得學(xué)生個(gè)個(gè)都是學(xué)習(xí)的主體。

讀題：全體學(xué)生一起讀題，理解題意。從已知條件結(jié)合圖形，一步一步探究，尋找隱含條件，分門別類列舉在屏幕(黑板)上。

講題：四人(兩人)小組討論，大膽猜想，大步驟思維、判斷，選擇解題方向，同時(shí)發(fā)揮優(yōu)等生的“領(lǐng)頭雁”作用，調(diào)動(dòng)困難學(xué)生的思維積極性，共同探討解題途徑，制訂解題策略。

解題：根據(jù)邏輯性和嚴(yán)密性原則，各人用數(shù)學(xué)語言表達(dá)完整的解題過程、方法。

已知是⊙的直徑，是延長線上的任意一點(diǎn)，切⊙于，⊥于，求證：∠=∠。

讀題(把重點(diǎn)內(nèi)容、關(guān)鍵詞畫線或板書)：

(1)是⊙的直徑，若連接，則△是直角三角形。直角三角形中兩銳角互余、勾股定理、射影定理能否使用……

(2)是⊙的切線，那么切線性質(zhì)……、弦切角性質(zhì)……

(3)是切線，是割線，那么切割線定理……

(4)弦⊥直徑，那么垂徑定理……

講題(大膽猜想，窮舉可能)：

生1：連接，則是Rt△斜邊上的高線，得出∠=∠，又由是圓的切線得∠=∠，∴∠=∠。

生1

生2

生2：連接，∵=，∴∠=∠，由是圓的切線得∠與∠互余，而∠與∠互余，∴∠=∠。

生3：延長交⊙于，連接，則由垂徑定理得∠=∠，而由切線得∠=∠，∴∠=∠。

生3

生4

生4：過點(diǎn)作⊙的切線與交于，則=，∴∠=∠，又∵∥，∴∠=∠，∴∠=∠。

生5：過點(diǎn)作⊥，連接，則∥，∴∠=∠，而∠=∠，∴∠=∠，∴∠=∠。

生5

解題：由學(xué)生自行完成(略)。

實(shí)行“讀、講、解”三步式析題，改變了老師說、學(xué)生聽或者是優(yōu)等生說、學(xué)困生聽的局面(對(duì)數(shù)學(xué)成績欠理想的同學(xué)，能說上一句、一點(diǎn)，都是進(jìn)步，都可得到表揚(yáng))。人人參與題目的解讀，集思廣益，在參與過程中加強(qiáng)了學(xué)生思維的開放性和探索性，使學(xué)生的求異思維得到發(fā)展，個(gè)體參與的動(dòng)力得到了凝聚與培養(yǎng)。

五、 展示數(shù)學(xué)美麗化，陶冶情操，激活新穎思維，驅(qū)發(fā)內(nèi)部學(xué)力

大千世界，數(shù)學(xué)花園風(fēng)景獨(dú)異，教師在課堂上有意識(shí)地展示數(shù)學(xué)美，能給學(xué)生一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的享受感，使學(xué)生內(nèi)心有一種“想要學(xué)”的欲望。

例如，初三幾何中的“黃金分割”是數(shù)學(xué)美的典型，而三角形的“四心”更是數(shù)學(xué)美的體現(xiàn)：

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；

外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)；

垂心：三角形三邊的高線的交點(diǎn)；

重心：三角形三邊的中線的交點(diǎn)。

愛美之心人皆有之，教師在講解類似的題目時(shí)，不可單純地為了解題而講題，應(yīng)極力地滲透數(shù)學(xué)的美，激活學(xué)生的新穎思維，陶冶學(xué)生美的情操：

再看下面這組填空題，在空格處填以下4個(gè)之一：內(nèi)心、外心、垂心、重心：

(1)銳角三角形的內(nèi)心是它的切點(diǎn)三角形(即三個(gè)切點(diǎn)所組成的三角形)的心；

(2)銳角三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形(即三邊的中點(diǎn)所組成的三角形)的心；

(3)銳角三角形的垂心是它的垂足三角形(即三邊高線的垂足所組成的三角形)的心；

(4)銳角三角形的重心是它的中點(diǎn)三角形(即三邊的中點(diǎn)所組成的三角形)的心。

學(xué)生進(jìn)行分析：

(1)因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心是其內(nèi)切圓的圓心，、、為切點(diǎn)，如圖1，則==，根據(jù)定理“到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”得：點(diǎn)在線段、、的垂直平分線上，故點(diǎn)是△三邊的中垂線的交點(diǎn)，故點(diǎn)是切點(diǎn)△的外心。

圖1

(2)如圖2，是△的外心，即是△三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以、、分別是△三邊的中點(diǎn)，所以∥、∥、∥，再由⊥、⊥、⊥可得、、分別垂直于、、，故是△三邊上的高線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)是中點(diǎn)△的垂心。

圖2

(3)設(shè)是△的垂心，、、分別是垂足，如圖3，由∠=∠=90°得四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓，由同弧得∠=∠，又由∠=∠=90°得四邊形內(nèi)接于圓，由同弧得∠=∠，所以∠=∠，所以是∠的平分線，所以可推得是△三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，所以是垂足△的內(nèi)心。

圖3

(4)如圖4，是△的重心，所以、、分別是△三邊的中點(diǎn)，所以∥，所以=，再由重心定理得=2，所以可得=2，于是可推得點(diǎn)是△的重心。

圖4

請(qǐng)看：三角形的內(nèi)心是它的切點(diǎn)三角形的外心；三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心；三角形的垂心是它的垂足三角形的內(nèi)心?！@是一個(gè)多么美妙的循環(huán)??！它具有運(yùn)動(dòng)美，又具有形象美；它的美既顯得自然(循環(huán)的自然)，又顯得奇異(自然的循環(huán))。而重心，是物體的固有屬性，設(shè)想一下：若自然界的物體，其重心隨意變換，則我們的生活將會(huì)變得怎樣？……生活都亂套了!數(shù)學(xué)中亦是如此，三角形的重心是它的中點(diǎn)三角形的重心，它始終保持著生活中物體的重心規(guī)律。

學(xué)生感覺：這是多么典型的奇異美啊！細(xì)細(xì)品味，定會(huì)拍案叫絕，使人感到學(xué)習(xí)三角形的“四心”完全是一種美的享受，更不用提什么學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)了。

六、 結(jié)語

總之，初中學(xué)生在素質(zhì)教育的大背景下仍然面臨著升學(xué)的壓力，結(jié)合“教育要面向世界、面向未來、面向現(xiàn)代化”這個(gè)總要求，就必須把培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)素質(zhì)與傳授知識(shí)、發(fā)展智力放在同樣位置，關(guān)鍵是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中思維要開闊而敏捷，要因人、因課、因時(shí)、因地制宜，選擇最佳教學(xué)策略，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生在課堂上的參與度，使接受式與活動(dòng)式教學(xué)結(jié)合起來，減少“兩極分化”現(xiàn)象；要善于調(diào)控，使學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能得以提升，使學(xué)生的求異思維盡快轉(zhuǎn)化為減輕“學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)”的一種能力。