閆沛蓮

(甘肅省蘭州第一中學(xué)， 甘肅 蘭州 730030)

高三數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重．教師需要有效整合知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)分析探究問題，構(gòu)建高效課堂．微課教學(xué)方式是針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中需要解決某一問題或某一知識(shí)點(diǎn)的微專題復(fù)習(xí)課．學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的問題和困惑都能在微課中及時(shí)有效地得到解決，從而促使學(xué)生的知識(shí)體系更加系統(tǒng)，思維方法更趨完善．同時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力，體會(huì)解決問題的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主探究精神，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]．那么微課的選材從哪里來？如何有效實(shí)施微課教學(xué)？本文就高三數(shù)學(xué)微課的實(shí)施策略，從以下六個(gè)方面予以闡述．

一、一題多法，發(fā)散思維

由于學(xué)生的個(gè)體差異，學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握程度不同，認(rèn)知水平和思維能力也不同,審題時(shí)對(duì)同一個(gè)問題的分析角度不同，組合信息后就可能得到不同的解題思路，從而運(yùn)用不同的解題策略和解題方法．教師在課堂教學(xué)中要善于發(fā)現(xiàn)和有效利用這一類問題，通過微課教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生多維發(fā)散思維，并加以對(duì)比分析，最終讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇最優(yōu)化的解題思路和方法，在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的同時(shí)，提高學(xué)生的解題能力．

例如，2017年文科考題：已知函數(shù)f(x)=(1-x2)ex．x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

此題解法較多，可以用分離參數(shù)法(結(jié)合洛必達(dá)法則)、構(gòu)造函數(shù)法(移項(xiàng)構(gòu)造新函數(shù)并研究其單調(diào)性)、數(shù)形結(jié)合法(兩個(gè)函數(shù)圖像間的關(guān)系)和放縮轉(zhuǎn)化法．不等式恒成立問題是高三教學(xué)和高考的重點(diǎn)內(nèi)容，高三教師各有心得，因此這里不再一一贅述這道題的詳細(xì)解答過程，感興趣的教師可以查詢文后參考文獻(xiàn)《不等式恒成立問題的求解策略》[2]．

二、一類多法，觸類旁通

高三數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常會(huì)涉及一類多法的問題，即同一類目標(biāo)問題，卻有不同解題方法,那么什么條件下運(yùn)用什么方法，學(xué)生如何選擇呢？這就需要教師整合設(shè)計(jì)這類問題的微課，歸納總結(jié)同類問題的各種不同的解答方法，集中對(duì)比講解，引導(dǎo)學(xué)生辨析條件，學(xué)會(huì)選擇簡(jiǎn)單有效的方法快速解決問題．如解析幾何中的直線過定點(diǎn)問題，舉例如下:

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P點(diǎn)且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn),若直線PM與直線PN的斜率之和為1，問：直線l是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由直線PM與直線PN的斜率之和為1可解得x1=-4，不符合題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程y=mx+n，聯(lián)立方程整理得(4m2+3)x2+8mnx+4n2-12=0，由韋達(dá)定理及已知可得(n-4m)(2n-2m-3)=0．

若n=4m，此時(shí)直線l：y=m(x+4)過定點(diǎn)(-4，0)，符合題意．

綜上，直線過定點(diǎn)(-4,0).

問題3(2019·全國Ⅲ卷改編)：已知拋物線M：x2=4y，直線y=-1上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P作拋物線M的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D.

(1)證明：直線CD過定點(diǎn)；(2)略.

所以直線AB過定點(diǎn)(0，1).

以上三道題都涉及直線過定點(diǎn)問題，歸納出了這類問題的三種典型解法．這樣的微課設(shè)計(jì)更具針對(duì)性，既可以系統(tǒng)理解一類問題，也可以進(jìn)行不同方法的對(duì)比探究，使學(xué)生學(xué)會(huì)分析條件辯證思維，能夠在不同條件下選擇合理有效的方法．這樣的微課素材比比皆是，如函數(shù)中的比較大小問題，二次曲線中的范圍問題，錐體柱體中的體積問題等等．只要做個(gè)有“心”的教師，善于總結(jié)題型，歸納方法，及時(shí)調(diào)整高三復(fù)習(xí)計(jì)劃，穿插微課，將一類問題的多種方法講清講透，就可以促進(jìn)學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切實(shí)提高學(xué)生的解題效率．

三、一類同法，強(qiáng)化定法

一類同法是同一知識(shí)點(diǎn)滲透于不同結(jié)構(gòu)表述形式的題目，也可以是不同知識(shí)點(diǎn)之間能歸納出統(tǒng)一解法的問題．教師及時(shí)歸納整理這類問題，實(shí)施微課教學(xué)，就能不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一種特定解法的理解和掌握，有效引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中快速反應(yīng)、識(shí)別模型，從而提高解題能力．

例如隱圓問題，隱圓問題是指題目中滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓或圓弧的一類問題，是高考中常見的中等難度的問題,學(xué)生往往不能識(shí)別出題目中所隱藏的圓的信息而導(dǎo)致解題受阻．實(shí)施隱圓問題的微課教學(xué)，可以幫助學(xué)生辨析隱圓問題的不同模型，實(shí)現(xiàn)基本方法的靈活應(yīng)用．

問題3：過點(diǎn)A(-1，3)作直線mx+y-m-3=0的垂線，垂足為點(diǎn)Q，若點(diǎn)M(4，0)，求|QM|的最大值．

問題4：已知以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓和兩點(diǎn)P(-n，0)，Q(n，0)，其中n>0．若圓M上存在一點(diǎn)N，使得PN⊥QN，求實(shí)數(shù)n的最大值．

問題5：已知圓O的圓心為(0，0)，半徑為2，圓P的圓心為(n，3)，半徑為2．若圓P上存在點(diǎn)B，過點(diǎn)B可以作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為M、N，使得∠MBN=90°，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

再如圓錐曲線中的最值問題，一般有代數(shù)和數(shù)形結(jié)合(建立目標(biāo)函數(shù))兩種解答方法，教師可以設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決最值問題的微課．

問題1：已知以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(1，1)，Q是橢圓上的一點(diǎn)，求|QP|+|QF|的最大值．

問題2：已知以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，且過點(diǎn)P(4，6)，雙曲線的左焦點(diǎn)為F，M(1，3)，Q是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，求|QF|+|QM|的最小值．

問題3：已知點(diǎn)Q(1，2)，拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是F，A是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A，使得|AQ|+|AF|最?。?2)求|AQ|-|AF|的范圍．

以上三個(gè)問題屬于同一類問題，其解法相同，都是根據(jù)圓錐曲線的定義和三點(diǎn)共線，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來確定最值位置，從而求得最值或范圍．這樣跨知識(shí)點(diǎn)縱向設(shè)計(jì)的微課，歸納總結(jié)出同一方法的多方位多角度應(yīng)用，揭示了問題的本質(zhì)，利于學(xué)生鞏固該類特定方法．經(jīng)常實(shí)施這樣的微課教學(xué)，學(xué)生便能打開思維聯(lián)想的空間，舉一反三，切實(shí)提高解題效率，有效形成數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

四、多題歸一，整合知識(shí)

高三復(fù)習(xí)內(nèi)容豐富，涉及題型眾多，課堂上時(shí)間有限，往往在基本運(yùn)算上耗時(shí)太多會(huì)影響課堂教學(xué)效率．教師可以設(shè)計(jì)微課，將同一知識(shí)點(diǎn)下的不同問題歸于一個(gè)題設(shè)之下，從難度不大的基礎(chǔ)題出發(fā)，逐層遞進(jìn)，以點(diǎn)帶面，提供給學(xué)生更豐富的知識(shí)平臺(tái)，能有效構(gòu)建并完善學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生思維廣度和深度的發(fā)展,如不等式約束條件下的求目標(biāo)函數(shù)最值問題，可以設(shè)計(jì)如下:

問題：設(shè)點(diǎn)P(x，y)滿足約束條件:

(1)求z=2x+y的范圍；

(2)求z=x2+y2+6y-2(或z=x2+y2-12y+2)的范圍；

(3)求z=|x-y+1|的范圍；

(5)若x∈Z，y∈Z，則這樣的點(diǎn)P共有多少個(gè)？

(7)若z=mx+y的最小值為-22，求實(shí)數(shù)m的值；

(8)若z=mx+y的最小值僅在點(diǎn)B(1，-1)處取得，求實(shí)數(shù)m的范圍；

(9)若z=mx+y取最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，求實(shí)數(shù)m的值．

將線性規(guī)劃的不同題型歸于一個(gè)問題之下，既有幾何意義的轉(zhuǎn)化，也有建立目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)轉(zhuǎn)化，還有含參問題的探究．如此創(chuàng)設(shè)螺旋式上升的問題鏈，層層遞進(jìn)，可以避免無效的重復(fù)運(yùn)算，加大課堂容量，讓學(xué)生在層層探究的過程中體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂，同時(shí)彌補(bǔ)自己知識(shí)的不足，促進(jìn)能力的提升．多題歸一的微課，不只是講授某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是整合完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促使學(xué)生理解形異而質(zhì)同的問題，提高學(xué)生的歸納能力、聯(lián)想能力、辨析能力以及變式思維能力，這才是真正意義上的高效課堂[3]．

五、易混點(diǎn)辨析，正本清源

教師在例題教學(xué)時(shí)，以容易混淆的問題設(shè)計(jì)微課，讓學(xué)生自主審題辨析，嘗試探究，教師從旁引導(dǎo)，正本清源，揭示本質(zhì)，促使學(xué)生明晰異同，再次碰到此類問題時(shí)能夠正確分析，不再犯錯(cuò)．

(1)?x∈[-1，1]，使g(x)≥f(x)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)?x∈[-1，1]，使g(x)≥f(x)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)對(duì)?a∈[-1，1]，?b∈[0，3]，使g(b)≥f(a)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(4)?a∈[-1，1]，?b∈[0，3]，使g(b)≥f(a)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(5)對(duì)?a∈[-1，1]，?b∈[0，3]，使g(b)≥f(a)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(6)?a∈[-1，1]，對(duì)?b∈[0，3]，使f(a)=g(b)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

“恒成立與能成立”問題是一個(gè)熱點(diǎn)問題，平時(shí)訓(xùn)練經(jīng)常碰到．此題中所涉及問題的轉(zhuǎn)化關(guān)鍵在于求函數(shù)的最值(或值域)，(1)(2)是要移項(xiàng)構(gòu)造新函數(shù)求最值，學(xué)生容易轉(zhuǎn)化為分別求左右兩個(gè)函數(shù)的最值，而(3)(4)(5)是必須分別求函數(shù)f(x)與g(x)的最值，至于是最大值還是最小值，則由變量前面的存在量詞和全稱量詞來定，(6)則是轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)值域的子集．實(shí)際教學(xué)中，由于部分學(xué)生沒能領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，難以保證解題的正確性．此處“借題發(fā)揮”，設(shè)計(jì)微課，把容易混淆的問題放在一起對(duì)比差異，集中辨析研究，就能讓學(xué)生理解本質(zhì)、辨析不同、熟悉方法，避免學(xué)生在此類問題中再犯錯(cuò)誤，進(jìn)一步提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的思辯能力．

六、易錯(cuò)題反思，以考促學(xué)

高中數(shù)學(xué)有不少學(xué)生犯錯(cuò)頻率很高的問題，教師可以積累一些學(xué)生易錯(cuò)問題作為教學(xué)資源，適當(dāng)?shù)卦谀？记霸O(shè)計(jì)有關(guān)易錯(cuò)題的微課,也可以集中一些易錯(cuò)題考試，以考促學(xué)，暴露學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)和思維盲點(diǎn)，引起學(xué)生的重視，然后一究到底，充分發(fā)揮錯(cuò)題的教學(xué)功能，對(duì)重點(diǎn)知識(shí)和典型問題重新做反復(fù)講，直到學(xué)生學(xué)會(huì)為止，努力避免學(xué)生多次出錯(cuò)以及會(huì)而不全的失分現(xiàn)象[4]．如

問題1：解不等式lnx2<2時(shí)容易忘記定義域．

問題2：已知數(shù)列{an}滿足an+12=anan+2，且a4，a4040是函數(shù)f(x)=x2-8x+3的兩個(gè)零點(diǎn)，求a2022的值．

此題求解時(shí)容易忘記等比數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)的性質(zhì)．

問題3：若過點(diǎn)(2，0)有兩條直線與圓x2+y2-2x+2y+m+1=0相切，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

此題解答時(shí)容易忽略圓方程對(duì)參數(shù)m的限定條件．

類似這樣的易錯(cuò)點(diǎn)很多，不能將錯(cuò)誤簡(jiǎn)單地歸因于學(xué)生的粗心大意或思維不完善、表述不到位，每一個(gè)錯(cuò)誤都應(yīng)該引起教師的高度重視．教師要將學(xué)生多次錯(cuò)誤失分題型加以記錄，建立易錯(cuò)題檔案，做好反饋，及時(shí)糾錯(cuò)，同時(shí)也要要求學(xué)生不放過任何一個(gè)錯(cuò)誤，明確自己錯(cuò)誤的原因；督促學(xué)生注重積累典型錯(cuò)題，勤于反思總結(jié)，彌補(bǔ)缺漏，以此完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更趨嚴(yán)謹(jǐn)．

微課的素材，可以是知識(shí)方法與題型，也可以是某個(gè)章節(jié)的思維導(dǎo)圖和知識(shí)歸納，又或是高考真題的集中比較研究等等．只要教師沉入教學(xué)，善于發(fā)現(xiàn)，就會(huì)積累更多的微課素材．高三教師應(yīng)該有意識(shí)地合理適時(shí)地組織微課教學(xué)，將離散的知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)地有效整合，引導(dǎo)學(xué)生在解決一個(gè)個(gè)問題的過程中深入理解知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的融會(huì)貫通，使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加系統(tǒng)，更趨完善，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的綜合發(fā)展，為學(xué)生終身發(fā)展打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．