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        數(shù)形結(jié)合在解題中的應用

        2015-01-15 05:45:09廣西壯族自治區(qū)柳城縣實驗高級中學數(shù)學組
        當代教育實踐與教學研究 2015年7期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學組代數(shù)圖象

        廣西壯族自治區(qū)柳城縣實驗高級中學數(shù)學組 羅 程

        數(shù)形結(jié)合在解題中的應用

        廣西壯族自治區(qū)柳城縣實驗高級中學數(shù)學組 羅 程

        數(shù)形結(jié)合是指將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來,使抽象思想與形象思維結(jié)合起來,發(fā)揮數(shù)形轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢互補與整合的思想。本文就數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何、函數(shù)、不等式與方程中的應用進行論述。

        數(shù)形結(jié)合 函數(shù) 不等式

        許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式若賦予幾何意義,往往變得非常直觀形象,使一些關(guān)系明朗化、簡單化。而一些圖形的性質(zhì)又可以賦予數(shù)量意義,尋找恰當表示問題的數(shù)量關(guān)系式,即可使幾何問題代數(shù)化,以數(shù)助教,用代數(shù)的方法使問題得以解決。數(shù)形結(jié)合思想實質(zhì)上是指將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來,使抽象思想與形象思維結(jié)合起來,發(fā)揮數(shù)與形的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢互補與整合的思想。

        關(guān)于數(shù)形結(jié)合,華羅庚教授評價說:“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛;數(shù)無形時少直覺,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休;切莫忘,集合代數(shù)流一體,永遠聯(lián)系切莫分離?!?/p>

        一、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應用

        在解析幾何中,許多“長度”“數(shù)式”都具有一定的幾何意義,挖掘題目中隱含的幾何意義,采用數(shù)形結(jié)合的思想方法可解決某些最值及取值范圍問題。另外,解析幾何本身就是“以數(shù)解形”的良好典范。

        數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)最有利的工具,對掌握函數(shù)的性質(zhì)、理解題意、尋找解題思路有很大幫助,特別是研究抽象函數(shù)更為方便。

        例2,(2007.四川高考)函數(shù)f( x) =1 +log2x 與g( x ) =2-x+1在同一直角坐標系下的圖象大致是_______。

        解析:f( x) =1 +log2x 的圖象由y =log2x圖象向上平移1個單位得到,g( x) =2-x+1的圖象由g( x ) =2-x的圖象向上平移1個單位得到,C滿足題意。

        例3,(2007.遼寧高考)若函數(shù)y f( x)的反函數(shù)的圖象過點(1,5),則y =f( x)的圖象必過點_________。

        A.(1,1) B.(1,5) C.(5,1) D.(5,5)

        解析:原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y =x對稱,點(1,5)在反函數(shù)圖象上,則(5,1)在原函數(shù)圖象上。

        例4,在y=2x,y =logx,y =x2,這三個函數(shù)中,當

        A.0 B.1 C.2 D.3

        圖2

        a1f2(x) =logax的下方即可。當0 < <1時,由圖象知顯然不成立。

        當a>1時,如圖4。要使在(1,2)上,f(x ) = (x -1)2的圖象在

        解析:畫出約束條件所表示的平面區(qū)域,如圖5所示A部分表示的區(qū)域為可行域。作直線l∶ 8x +9y=0,把直線l 向右上方平移至l1的位置時,直線經(jīng)過可行域上的點M,且與原點距離最大,此時z =8x +9y取得最大值。解方程組4x+y=5得點M 的坐標為x=,y =。故z的最大值2x+3y=6為。

        數(shù)無形時少直覺,形少數(shù)時難入微,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法,“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”,使復雜的問題簡單化,抽象的問題具體化,從而達到優(yōu)化解題途徑的目的。

        ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0060

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