吳 飛

（中國地質(zhì)大學(xué)〔北京〕 數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

“線性代數(shù)”是理工科院校中的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，具有定義和定理多、內(nèi)容抽象、知識(shí)聯(lián)系緊密，需要較強(qiáng)的邏輯推理能力和抽象思維能力等特點(diǎn)，這些特點(diǎn)對(duì)于側(cè)重于計(jì)算能力培養(yǎng)的理工科學(xué)生來說具有一定的困難。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中把一些基本和重要的問題搞清楚，教師在教學(xué)中就關(guān)鍵重點(diǎn)問題加以強(qiáng)調(diào)，學(xué)生的學(xué)習(xí)就能收到事半功倍的效果。下面結(jié)合“線性代數(shù)”教學(xué)，談?wù)劷虒W(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)。

一、充分認(rèn)識(shí)“線性代數(shù)”課程的重要性

“線性代數(shù)”是理工科大學(xué)生必修的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一，也是研究生入學(xué)考試的必考課程。它不僅是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，而且廣泛應(yīng)用于技術(shù)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。線性代數(shù)的理論與方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理的各個(gè)領(lǐng)域，提供描述、處理問題的思想和方法。隨著相關(guān)學(xué)科和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，線性代數(shù)在高等教育和現(xiàn)代技術(shù)中的地位越來越重要。尤其在計(jì)算機(jī)日益普及的今天，解決大型線性方程組、求矩陣的特征值與特征向量等已經(jīng)成為工程技術(shù)人員常遇到的問題，這就要求學(xué)生具備線性代數(shù)這門課程的基礎(chǔ)知識(shí)，并熟練地掌握它的理論和方法。

“線性代數(shù)”課程尤其能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力，比如證明一個(gè)向量組線性無關(guān)，可以從線性無關(guān)的定義入手進(jìn)行證明，可以從向量組秩的角度來證明，還可以從向量組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組解的情況來研究和證明。無論用哪個(gè)相關(guān)理論，都有相關(guān)的證明條件和邏輯推理過程，這樣就培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生多角度考慮問題的能力。

二、在教學(xué)中把數(shù)學(xué)思想融入教學(xué)中

數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)各門類學(xué)科的形成和發(fā)展中起著至關(guān)重要的作用，線性代數(shù)這門學(xué)科也不例外，每種理論和方法都融入了數(shù)學(xué)的思想。

下面分別舉線性方程組求解、二次型方面和證明逆矩陣三個(gè)方面加以說明。

方程組的求解方法從中學(xué)就開始學(xué)習(xí)，從高中的高斯消去法到大學(xué)階段的用矩陣和向量組的相關(guān)理論進(jìn)行求解，尤其是當(dāng)齊次線性方程組有無窮多解時(shí)，這無窮多解可以用構(gòu)成基礎(chǔ)解系的有限個(gè)解線性表示，體現(xiàn)了用有限來表示無限這一重要數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了能用更多的方法、更高的觀點(diǎn)研究和求解方程組。

轉(zhuǎn)化思想作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想，是把一個(gè)未知（待解決）的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決。在二次型這章開始就使用了這一轉(zhuǎn)化的思想方法，對(duì)二次型的二次齊次表示式作了a=a假設(shè)后，應(yīng)用矩陣的相關(guān)知識(shí)把二次型的定義式的代數(shù)表示轉(zhuǎn)化為矩陣表示=xAx，這樣就可以用矩陣?yán)碚撗芯慷涡偷南嚓P(guān)問題，這是用矩陣方法解決二次型問題的前提。而二次型的核心問題是如何把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，在前面章節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化問題，而由于二次型對(duì)應(yīng)的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，這樣就可以借助于正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，很好地體現(xiàn)和應(yīng)用了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。

證明一個(gè)矩陣是否可逆是線性代數(shù)課程中的一個(gè)重要核心問題，證明的方法很多，可以從行列式角度證明矩陣對(duì)應(yīng)的行列式不等于零；可以從矩陣秩的角度，證明階矩陣的秩等于；可以使用初等變換的相關(guān)理論，用階矩陣是否可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積的角度來證明；還可以用階矩陣的特征值是否都不等于來證明；還可以用階矩陣的行向量組或列向量組的秩等于；還可以從階矩陣是否與階單位矩陣等價(jià)的角度來研究和證明。從上面的敘述可以知道，考慮問題需要變換思維模式和思維角度，不能“一根筋”，那么通過總結(jié)這些證明方法，就會(huì)拓寬思路，學(xué)會(huì)辯證地看待問題。

三、在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)矩陣初等行變換的重要性

矩陣的初等行變換是矩陣的重要運(yùn)算之一，原因在于矩陣在初等行變換下的行階梯形和行最簡形有極其強(qiáng)大的功能，就像電腦的操作平臺(tái)，在這一平臺(tái)下可以解決線性代數(shù)中的很多問題，如求矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組；判斷向量組的線性關(guān)系；求線性方程組的基礎(chǔ)解系；當(dāng)矩陣可逆時(shí)借助分塊矩陣求矩陣的逆；求矩陣方程；等等，這些重要的問題都可以借助于這一平臺(tái)解決，在教學(xué)中應(yīng)該著重強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。另外還應(yīng)該指出什么時(shí)候需要把矩陣化成行最簡形矩陣，什么時(shí)候化為行階梯形矩陣。注意跟學(xué)生講清楚行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的定義和特點(diǎn)，以及把一個(gè)矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的方法和使用時(shí)需要注意的問題。行階梯形和行最簡形都是矩陣作初等行變換時(shí)的某種意義下的“標(biāo)準(zhǔn)形”，并且任何一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過有限次的初等行變換化為行階梯形和行最簡形，注意強(qiáng)調(diào)這是矩陣的一個(gè)非常重要的運(yùn)算。

矩陣的行階梯形矩陣不是唯一的，但行最簡形矩陣卻是唯一確定的，這些知識(shí)也是需要強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容。

四、加強(qiáng)對(duì)線性方程組求解方法的總結(jié)

線性方程組的求解是線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，在教學(xué)中應(yīng)注意幾種解法的區(qū)別與聯(lián)系。

高斯消去解法包括消元和回代兩個(gè)過程，消元過程的實(shí)質(zhì)是通過一系列方程組的同解變換得到一個(gè)同解的形式簡單便于求解的方程組，然后再進(jìn)行回代求解，這是非常重要的求解方程組的方法。

方程組的消元和回代過程所對(duì)應(yīng)的三種同解變換自然而然引出矩陣的三種初等行變換，從而通過把方程組的系數(shù)矩陣（齊次線性方程組）或增廣矩陣（非齊次線性方程組）化成行階梯形或行最簡形進(jìn)行研究和求解，這樣就把矩陣的相關(guān)理論用于解決方程組的求解。

教會(huì)了學(xué)生用以上兩種方法求解方程組，而第三種求解方法是從幾何意義的角度給出的方法。當(dāng)齊次線性方程組有無窮多解時(shí)，它的通解能由基礎(chǔ)解系即解集合的極大無關(guān)組來線性表示，這就不僅從解的結(jié)構(gòu)角度表示出通解，還實(shí)現(xiàn)了用有限來表示無限的思想。同時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也對(duì)向量組的極大無關(guān)組加深了理解，因?yàn)榛A(chǔ)解系就是解集合的極大無關(guān)組。

克萊姆法則僅能用于求解系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組，當(dāng)方程組中變量的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)不等時(shí)不能使用克萊姆法則，在教學(xué)中注意向?qū)W生強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。

當(dāng)線性方程組有無窮多解時(shí)，無論是齊次還是非齊次方程組，都可以用矩陣秩的相關(guān)理論、矩陣行的初等變換等理論和方法，以及從解的結(jié)構(gòu)的角度和方法進(jìn)行研究和求解，在使用的時(shí)候要用到基礎(chǔ)解系這一基本概念。

五、把握矩陣運(yùn)算系統(tǒng)與實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別

矩陣的代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)是指矩陣的加法、減法、數(shù)乘、矩陣的乘法及可逆矩陣求逆這幾種運(yùn)算。那么矩陣運(yùn)算系統(tǒng)與我們所熟知的實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)有著本質(zhì)的區(qū)別，比如不滿足交換律、消去律等，下面詳細(xì)加以說明。

矩陣及其相關(guān)理論是線性代數(shù)課程一個(gè)重要而核心的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)過程中特別需要注意與以往學(xué)過的代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)相區(qū)別。教師在講授時(shí)應(yīng)注意講清楚二者之間的本質(zhì)區(qū)別：（1）實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)是一個(gè)乘法可交換的系統(tǒng)，即有(∈R)，而矩陣運(yùn)算系統(tǒng)是一個(gè)乘法不滿足交換律的系統(tǒng)，這表現(xiàn)在若矩陣與可乘，但與未必可乘。（2）若AB與BA均存在，當(dāng)時(shí)，；即使均為階方陣，也未必等于。（3）在實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)中，若0，∈R，則中至少有一個(gè)數(shù)是零；但在矩陣運(yùn)算系統(tǒng)中，這一運(yùn)算規(guī)則是不成立的，因?yàn)橛羞@樣的例子：當(dāng)0且0（均為階方陣），卻有0成立。（4）實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)中乘法滿足消去律，但在矩陣運(yùn)算系統(tǒng)中乘法消去律不再成立。教師在講授這些知識(shí)時(shí)注意強(qiáng)調(diào)這些區(qū)別和聯(lián)系，對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)大有裨益。

六、注意概念和相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系

線性相關(guān)、線性無關(guān)、線性表示等概念是向量組理論中的幾個(gè)重要概念，教學(xué)中一定強(qiáng)調(diào)掌握這些概念。另外，還要注意知識(shí)間的聯(lián)系，比如：向量組:,,…,α線性相關(guān)是指齊次線性方程組(,,…,α)=0有非零解，向量組:,,…,α線性無關(guān)是指齊次線性方程組(,,…,α)=0僅有零解，向量能由向量組線性表示是指非齊次線性方程組(,,…,α)=有解，這樣就建立起了知識(shí)間的聯(lián)系，對(duì)學(xué)習(xí)這部分知識(shí)和內(nèi)容很有幫助。

對(duì)一個(gè)方陣是否可逆的問題，在線性代數(shù)教材中就從很多角度進(jìn)行研究和特征刻畫：從定義、從行列式角度、從伴隨矩陣、從初等矩陣、從方程組、從矩陣的秩、從向量組、從特征值、從線性相關(guān)性等角度給出判斷矩陣可逆的充要條件，在學(xué)習(xí)中注意加以總結(jié)。

線性代數(shù)教材中對(duì)線性方程組的求解一個(gè)是用矩陣秩的相關(guān)理論，一個(gè)是基于向量組的相關(guān)理論的解的結(jié)構(gòu)思想。這兩個(gè)方法實(shí)際上是一個(gè)整體，只不過是在兩個(gè)不同層次上的學(xué)習(xí)，一個(gè)是如何求解線性方程組，一個(gè)是賦予線性方程組更多幾何上的意義，因而讓學(xué)生學(xué)會(huì)：（1）齊次線性方程組的通解能用它的基礎(chǔ)解系來構(gòu)造，它的解集是基礎(chǔ)解系的所有可能的線性組合，而基礎(chǔ)解系是解集的最大無關(guān)組；（2）非齊次線性方程組的通解與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系及它的解集與其導(dǎo)出組的解集的關(guān)系。因此，可以用更多的方法、更高的觀點(diǎn)來求解方程。

另外，行列式和矩陣是線性代數(shù)中兩個(gè)截然不同的概念，不要混淆，它們的表示方法不同，矩陣的記號(hào)是數(shù)表外加括號(hào)或中括號(hào)，而行列式記號(hào)是數(shù)表外加兩豎線。另外本質(zhì)也不同，矩陣是個(gè)數(shù)表，而行列式是一個(gè)數(shù)，這是由各自定義的本質(zhì)決定的。另一方面，方陣與它的行列式又是緊密聯(lián)系的，方陣有對(duì)應(yīng)的行列式，行列式是對(duì)應(yīng)方陣所確定的一個(gè)數(shù)，所以行列式可看作是方陣的函數(shù)，同時(shí)行列式又是方陣特性的重要標(biāo)志。注意這些區(qū)別和聯(lián)系有助于這些知識(shí)的學(xué)習(xí)。

七、注重解題方法的研究和總結(jié)

線性代數(shù)課本身的特點(diǎn)導(dǎo)致了學(xué)生學(xué)習(xí)上的困難，有的學(xué)生上課聽懂了，基本的概念、定理也掌握了，但課下證明問題和解題時(shí)仍然遇到很大的困難，尤其是證明問題經(jīng)常感到無從下手。針對(duì)這種情況，在學(xué)習(xí)過程中，首先，要掌握基本概念和定理，這是前提，在上課聽講時(shí)應(yīng)注意老師是如何根據(jù)題中的條件分析問題和解決問題的，多思考多琢磨，逐步積累證明問題和解題的經(jīng)驗(yàn)和方法；其次，課下需要勤練習(xí)，在練習(xí)的過程中不斷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題；最后，證明完一個(gè)問題或解完一個(gè)題目后還要思考有沒有其他的思路，如果有幾種不同的思路和方法，注意比較它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)，這樣可以拓寬思路，開辟自己的解題途徑，此外，還要自己總結(jié)和歸納解題的方法和技巧，最好準(zhǔn)備個(gè)單獨(dú)的本子，把這些經(jīng)驗(yàn)匯總成冊(cè)，便于復(fù)習(xí)和回顧，這樣經(jīng)過日積月累，學(xué)生的解題能力就會(huì)有很大提高，這也體現(xiàn)了“不積跬步無以至千里，不積小流無以成江?！钡恼軐W(xué)思想。下面結(jié)合書上的例題加以說明。例題：設(shè)向量組,,線性無關(guān)，且=+2，=-，=4-3，試證向量組,,線性無關(guān)。這個(gè)例題是一個(gè)典型的證明向量組線性無關(guān)問題，證明方法既可以從線性無關(guān)的定義入手把問題轉(zhuǎn)化為證明齊次方程組只有零解來證明，還可以用向量組線性無關(guān)的一個(gè)充要條件——向量組的秩等于向量組所含向量的個(gè)數(shù)來證明，這樣引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來研究和思考，不僅鞏固了學(xué)生所學(xué)習(xí)的基本的理論和方法，還提高了學(xué)生分析和解決問題的能力。比如第二種證明方法就把一個(gè)向量組可以由另一個(gè)向量組線性表示的定義鞏固和復(fù)習(xí)了一下，并且還可以熟悉這個(gè)定義的矩陣表示式。另外，證明過程還用到矩陣可逆的一個(gè)充要條件和判斷一個(gè)向量組線性無關(guān)的一個(gè)用向量組的秩跟向量組中向量的個(gè)數(shù)關(guān)系的充要條件，很多學(xué)習(xí)的知識(shí)通過這一個(gè)題得到了綜合的運(yùn)用，使得學(xué)生分析問題和解決問題的能力得到了鍛煉和提升。再舉一個(gè)例子：取何值時(shí)，非齊次線性方程組

（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個(gè)解，并在有無窮多解時(shí)求其通解。這是一個(gè)帶參數(shù)的非齊次線性方程組的求解問題，是求解線性方程組的一個(gè)典型問題，那么求解方法可以用常規(guī)的方法可以從增廣矩陣入手進(jìn)行行的初等變換化為行階梯形矩陣，再討論求解。另外考慮到系數(shù)矩陣是三階方陣，也可以從系數(shù)矩陣的行列式入手加以研究和計(jì)算。通過這些訓(xùn)練一方面會(huì)大大提高解題能力，另一方面讓學(xué)生通過這兩種解題方法的研究和比較，發(fā)現(xiàn)第二種解法比第一種解法簡單，避免了對(duì)帶參數(shù)矩陣施行初等行變換，但第二種解法的使用是有條件的，即適用于系數(shù)矩陣為方陣的情況。通過這些計(jì)算和分析學(xué)生也加深了對(duì)基本概念和理論的理解。

八、注意強(qiáng)調(diào)在向量空間中定義內(nèi)積的意義

在向量空間中，向量之間的運(yùn)算定義了向量的線性運(yùn)算，包括加法和數(shù)乘，若把三維向量空間與解析幾何中三維歐式空間相比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三維向量空間缺少向量的幾何度量性質(zhì)，比如沒有定義向量的長度、兩個(gè)向量的夾角等。但向量的幾何度量性質(zhì)在很多問題中有著非常重要的地位，在維向量空間中引入向量的內(nèi)積，就能合理定義長度（即范數(shù)）、兩個(gè)向量之間的夾角等，使之成為一個(gè)可度量的向量空間。在此基礎(chǔ)上，就可以定義正交向量組、單位向量、規(guī)范正交基和正交矩陣等概念，從而可以使用這些知識(shí)和理論解決方陣的對(duì)角化，解決二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型等重要的研究課題。可見在向量空間中定義內(nèi)積具有重要意義。