賀麗紅

（甘肅省天水市武山縣渭北初級中學，甘肅 天水）

應用題是通過語言文字來陳述一定事實、反映數(shù)學關系并且求解未知量，一直以來都是數(shù)學課程中的重點教學部分，也是教學難點。在解答應用題的時候，學生能夠加強對所學知識的理解和掌握，同時學生的分析能力、邏輯思維能力都能夠得到充分鍛煉。在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)通過表格分析的方式能夠呈現(xiàn)更為清晰的思路，也能夠讓學生的解題過程更加順利，大大提高教學效果。

一、表格分析法概述

數(shù)學表征一般可以分成視覺化表征和語言化表征兩類。顧名思義，語言化表征就是通過語言文字的表述來說明已知條件和數(shù)量關系等，而視覺化表征則是通過具體的圖像符號元素來表述相應對象，有突出的形象性與直觀性的特點。表格分析通過建立表格，將已知量、未知量顯示出來，是視覺化表征的一種形式。通過表格分析法，更容易對題目信息進行分析和提煉，從而尋找到解題的關鍵點。

在應用表格分析法的時候，應當注意把握以下幾點：（1）做好列表準備。在列表解題之前，教師應該做好教育引導，讓學生通讀題目內容，提取有用信息，用心思考其中涉及哪些數(shù)量關系。（2）明確列表原則。使用列表法是為了梳理題目的關系，讓解題更加方便，應該依照具體題目決定是否需要通過列表來解答，不要為了列表而列，要盡量精簡化。另外，就是在設計表格的時候要注重橫向和縱向安排，一般橫向表示的是數(shù)量關系，而縱向表示的是比較關系。（3）填表順序。在填制表格的時候應當一邊讀題一邊填寫，先填寫數(shù)字，再填寫未知數(shù)以及代數(shù)式，填好表格之后依據(jù)數(shù)量間的關系列出方程式。

二、利用表格分析法解決應用題的意義

教師在教學過程當中不應急于讓學生去求答案，而要讓學生學會如何思考和學習，成為學習的主導者。在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教學當中，教師總是把重心放在“怎樣讓學生學會解題”方面，然而卻忽視了如何“說思路，找方法，多檢驗”的過程。從實質上來說，這樣的方式并不利于學生解題能力的提升。如果學生長期缺乏思維習慣與思維能力的培養(yǎng)，便容易陷入思維僵化的狀態(tài)中?！疤铠喪健钡慕虒W方法和“死讀書，讀死書”的教學效果都是與當代素質教育目標相背離的。在數(shù)學學科教學當中，尤其要倡導“授之以漁”。另外，從學生應用題解題的具體學情來看，造成學生解題失誤的原因主要在于學生自身缺乏周密的邏輯思考和分析，而且比較容易馬虎大意。從宏觀角度來說，數(shù)學思維與哲學思想的融合是學好數(shù)學的高層次要求。而表格分析法恰恰體現(xiàn)了哲學與數(shù)學思維之間的融合，如建立表格反映了關聯(lián)量之間逆向和順向、直覺與邏輯、發(fā)散與定向等邏輯關系，也映射著實物和實物之間的普遍聯(lián)系性，反映了或是依從、或是轉化、或是對立的哲學內涵；從微觀來說，表格分析法是一種合理靈活的解題方式，有助于對命題空間形成清晰認識并且準確把握命題關鍵。假設學生能夠充分而巧妙地應用表格法，就很容易把看似雜糅的數(shù)學條理分析透徹。數(shù)學應用題當中涉及復雜的量與量之間的關系，常常讓學生難以理清頭緒，從而對解題抱有抵觸心理，對自身能力有質疑，久而久之，學生對數(shù)學的興趣也受到不良影響。而表格能夠通過其固有的直觀形象性和條理性的優(yōu)勢屬性，幫助學生清楚應用題中所蘊含的量。這種方式能夠很好地彌補他們分析能力不足的情況，利用表格分析法解題，為學生理清解題思路提供了較好的技巧，能夠減輕學生對數(shù)學應用題的畏難情緒和抵觸心理，樹立學習信心。將表格分析法引入初中數(shù)學課程教學當中，讓教學效果也得到很大提升。

三、利用表格分析法優(yōu)化數(shù)學教學的策略

（一）利用表格分析法解答決策類應用題

關于決策類的應用題是近幾年考試中的熱點，也比較貼近學生的日常生活。在做決策類應用題的時候，學生能夠調動已有的生活經(jīng)驗，知道哪種決策方式是比較經(jīng)濟的選擇。然而在決策類應用題中往往包含著大量的信息，容易讓學生眼花繚亂，無法抓準重點和理清思路，所以就比較適合利用表格分析法來解題，使用表格法解決決策題目可以讓學生在較短的時間內把相關元素對應匹配好，然后對題意形成清晰理解，形成完整的思路框架。

例題，出于經(jīng)營管理需要，某家大型公司計劃購置一批筆記本電腦和投影儀。通過市場調查了解到購置一臺筆記本電腦和兩臺投影儀的費用是3.5萬元，購買兩臺筆記本和一臺投影儀的價格為2.5萬元。第一問：求一臺投影儀、一臺筆記本電腦的單價分別是多少元。第二問：據(jù)統(tǒng)計，該公司需要購入的筆記本和投影儀的總數(shù)為30臺?？傎M用預計不得超過30萬元，但是也不可低于28萬元。共有幾種購置方案可供選擇？哪種購置方案最經(jīng)濟？

本題解題步驟如下：①根據(jù)相關題干信息，將筆記本電腦的單價設為x萬元，將投影儀單價設為y萬元。建立表格（如表1）：

表1

則筆記本電腦單價為0.5萬元/臺，投影儀單價為1.5萬元/臺。

在學生通過計算完成第一個問題之后，學生的積極性較高，參與意愿強，教師可以巡視學生情況，接著推進學生解答第二問。師：假設需購進筆記本電腦數(shù)量為a臺，則購進投影儀的數(shù)量為（30-a）。嘗試以此列出表格與不等式解答第二問。

①學生結合第一問所得結果以及題干信息，列表格如下（表2）：

表2

在構建表格和方程組的過程中，學生思維能力得到了鍛煉，行動力也得到加強。運用表格分析的方式，避免了由于無效解題而浪費時間。學生通過構建表格，注意力更加集中在分析問題和解決問題上，效率也得到了提高。

（二）利用表格分析法解答銷售類應用題

商品銷售也是學生日常生活中常常接觸到的情境。正常商品買賣應用題計算對初中生來說都很簡單。但是在出現(xiàn)打折優(yōu)惠這類復雜的情況時，一些學生常常容易混淆，難以形成條理，利用表格分析帶入不同的價格配置方案，常常能夠讓問題迎刃而解。

例題：商場銷售牙膏與牙刷，牙膏單價為24元/支，牙刷售價為5元/支。為了提高產(chǎn)品銷量，現(xiàn)在商場推出了兩種促銷方案。第一種方案是買一支牙膏贈送一個牙刷，第二種方案是在原價的基礎上打九折。有一名顧客買了5支牙膏，牙刷若干（不少于5支）。將客戶購買牙刷的數(shù)量設為x支。按照商場兩種優(yōu)惠方案來計算付款金額，將方案1付款金額設為A，方案2付款金額設為B。第一問：兩種付費方式有何不同，請列式說明。第二問：這名顧客購買多少牙刷的時候，兩種方案收費相等？

①根據(jù)題干信息，引導學生建立表格進行解題，可得下表（如表3）：

表3

②通過分析易得A=5x+95（x≥5），B=4.5x+108（x≥5）。想要求得顧客購買多少牙刷的時候能夠讓兩種方案價格相等，也就是求解x為多少的時候A=B（即5x+95=4.5x+108）。求得x為26的時候，兩種方案付款金額相等。

通過建立表格，兩種方案價格的計算方式更加清晰明了，對比也更加鮮明。教師還可以進一步引導學生計算在兩種方案總價相同的時候，應付款金額為多少元，以此來鞏固練習。

（三）利用表格分析法解決比例增長應用題

比例增長問題也是時常讓學生感到“頭痛”的一類數(shù)學應用題。主要原因在于數(shù)量過多容易造成學生對于基數(shù)量辨別不清，導致解題方向和最終結果出現(xiàn)錯誤。教師可以引導學生利用表格分析的方式找出基數(shù)量等相應元素，提高解題效率。

例題：某大型超市2021年2月份的銷售額為100萬元，3月份的銷售額下降了20%。針對這種情況，管理部門積極推進整改工作，后期的銷售額也得到了相應提升。到了2021年5月份，銷售額達到135.2萬元。問：4月、5月兩個月的平均增長率是多少？

①根據(jù)題干信息，將4月、5月兩個月的平均增長率設置為x，列出表格（如表4）：

表4

②將題目中已有的數(shù)字信息帶入其中，形成方程，即5月份的銷售額100×（1-20%）（1+x）（1+x）=100×（1-20%）（1+x）2=135.2。學生易求得此方程的解為x1=0.3，x2=-2.3。又因x2=-2.3不合題意，舍去，故而求得x=0.3=30%為本題的解，所以4、5月份兩個月的平均增長率為30%。

本題涉及多個時間點、基期量以及增長率信息。學生如果在看題之后直接列式解題的話，常常弄不清楚邏輯，解題不但缺乏效率，而且容易出現(xiàn)計算失誤。利用表格分析法來解決比例增長這類問題，能夠對不同時間點的基期量、增長率形成一一對應的劃分，這樣就比較清晰，也不容易出錯。

（四）利用表格分析法解決工程類應用題

工程問題學生從小學就有所接觸，到了初中時期，依舊是應用題中常見的重點題型。工程類應用題是滲透了函數(shù)一一對應的數(shù)學思想的題型，也是分數(shù)教學知識點的引申與補充。然而在教學實踐當中我們不難發(fā)現(xiàn)，學生對于工程應用題常感覺無從下手，特別是對于工程總量為“1”的這種設定表示難以理解。針對工程問題這種較為抽象的應用題題型，數(shù)學教師不妨引導學生使用表格分析法來解決。

例題：某項手工制造活動，甲師傅單獨做的話需要4個小時能夠完成，乙?guī)煾祮为氉龅脑挘枰?個小時才能夠完成。如果甲師傅先單獨操作半小時，然后甲、乙兩位師傅共同合作的話，還需要多少小時能夠完成這項工作？

本題的難點主要在于兩者并非同時開展工作，而是先后進行，又有共同合作。而且對于具體工程量沒有明確數(shù)值。所以學生就覺得過于困難。教師可以引導學生建立表格，把工程量問題劃分清楚，具體如下：

①設甲、乙兩位師傅合作的話還需要x小時能完成。將工程總量視為整體1，那么甲師傅工作效率為，乙?guī)煾倒ぷ餍蕿?。甲師傅的工作時間為x）小時，乙為x小時。學生將整理好的信息代入表格當中（如表5）

表5

②通過構建出來的表格，題目中的數(shù)量關系清晰呈現(xiàn)在眼前。下一步就是引導學生構建方程，即構建方程之后學生就能夠容易求得答案。由此可見表格分析法對于梳理應用題的益處。

總而言之，應用題是學生學習數(shù)學知識的一個重點，同時解答應用題也是測試和培養(yǎng)學生知識運用能力和思維靈活性的重要方式。將表格分析法引入初中數(shù)學應用題教學課堂是一種成效顯著的方式，表格分析法對學生梳理題目邏輯、分析題干內容提供了良好的引導，值得在教學中進行使用和推廣。廣大教育者還應注重鉆研，尋求靈活新穎、科學好用的教學方法，幫助學生提高數(shù)學能力。