王海峰， 行鴻彥， 孫 江， 蘇 新

(1. 南京信息工程大學(xué)江蘇省氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心， 江蘇南京 210044;2. 河海大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院， 江蘇常州 231022)

0 引言

海雜波信號作為一類典型的雷達(dá)干擾回波，它是指海面雷達(dá)的后向散射回波，易受到各種外部自然因素影響，如風(fēng)、潮汐、浪涌等，其物理機(jī)理復(fù)雜多變，非高斯、非線性和非平穩(wěn)特性顯著，容易對雷達(dá)目標(biāo)檢測造成干擾。研究海雜波背景下的混沌小信號檢測方法，對建立海洋安全觀測監(jiān)測、海面目標(biāo)檢測系統(tǒng)具有重要的理論研究和應(yīng)用價值。

小信號檢測方法研究除了考慮信號與噪聲間的差異性來驗證小信號的存在之外，還可以從噪聲本身入手，利用隨機(jī)共振手段將噪聲能量轉(zhuǎn)移到小信號上以增強(qiáng)小信號，從而實(shí)現(xiàn)小信號的檢測。隨機(jī)共振理論由Benzi等在研究冰河時代周期性變化的氣候問題而提出，用于定性描述太陽公轉(zhuǎn)偏心率周期變化引起的地球冷暖氣候期交替的現(xiàn)象。此后，隨機(jī)共振理論大放異彩，被應(yīng)用到物理、化學(xué)、信號處理等各類領(lǐng)域，國內(nèi)外研究學(xué)者在微弱信號檢測領(lǐng)域也取得了豐富的研究成果。1998年，Barnes在研究弱電場和磁場信號時，利用隨機(jī)共振理論，通過增加弱信號的混沌功率譜密度來提高信噪比實(shí)現(xiàn)弱信號的檢測；Saha等于2003年提出了一種量化的隨機(jī)共振檢測器，適用于檢測噪聲中的弱正弦信號，且其檢測性能優(yōu)于匹配濾波器的檢測性能；溫熙森等在2009年提出了基于隨機(jī)共振的機(jī)械故障早期檢測方法，對故障診斷及預(yù)測理論發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響；2018年，行鴻彥等在研究海雜波背景下的微弱信號檢測方法時，提出了一種自適應(yīng)隨機(jī)共振微弱信號檢測方法，實(shí)現(xiàn)了對Duffing振子隨機(jī)共振系統(tǒng)的多參數(shù)調(diào)優(yōu)的工作，提升了檢測性能。

分析傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)的缺陷，結(jié)合變種差分進(jìn)化算法，提出一種新的海雜波背景下的隨機(jī)共振混沌小信號檢測方法?；谧兎N差分進(jìn)化算法和隨機(jī)共振理論建立海雜波混沌小信號檢測模型，利用變種差分進(jìn)化算法的快速收斂性對Duffing振子的,,進(jìn)行尋優(yōu)，以系統(tǒng)輸出信噪比為目標(biāo)函數(shù)，完成變種差分進(jìn)化算法的變異、交叉、選擇操作，最大化地增強(qiáng)小信號，保證在系統(tǒng)輸出信號的時頻特性分析中檢測到小信號的存在。對實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗，以驗證變種差分進(jìn)化算法優(yōu)化隨機(jī)共振系統(tǒng)的實(shí)用性。

1 隨機(jī)共振理論分析

1.1 Duffing振子的雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)

Duffing振子的隨機(jī)共振系統(tǒng)利用其混沌狀態(tài)下小信號、背景噪聲及系統(tǒng)本身發(fā)生的匹配協(xié)同關(guān)系，實(shí)現(xiàn)混沌小信號的檢測。

對于一個混沌小信號()和噪聲信號()共同作用的Duffing振子隨機(jī)共振方程組為

(1)

″+′-+=()+()

(2)

公式(2)是典型二階Duffing振子的隨機(jī)共振系統(tǒng)，通過分析公式得出，參數(shù)，，為決定Duffing振子隨機(jī)共振系統(tǒng)的核心參數(shù)，為接下來的尋優(yōu)算法作鋪墊。

1.2 隨機(jī)共振基本理論

1.2.1 絕熱近似理論

隨機(jī)共振現(xiàn)象可通過加入適宜的噪聲或者調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)，從而達(dá)到增強(qiáng)小信號的目的。為了方便科學(xué)計量分析，本節(jié)只考慮調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，，的手段。將公式(2)轉(zhuǎn)化為動力學(xué)方程表達(dá)式：

(3)

利用?？恕て绽士朔匠糖蠼馍鲜鲭S機(jī)過程中隨機(jī)變量(,)的概率分布函數(shù)可得

-+cos(2π))·

(4)

(5)

對于低頻輸入信號()而言，此時兩個吸引域各自達(dá)到平衡所花費(fèi)的時間遠(yuǎn)小于兩者整體趨于穩(wěn)定的時間。換言之，可以認(rèn)為吸引域各自趨于平衡穩(wěn)定的操作是瞬間完成的，這一近似過程便稱為絕熱近似理論。

1.2.2 線性響應(yīng)理論

線性響應(yīng)理論最早就是為了解釋隨機(jī)共振現(xiàn)象而被提出，可以彌補(bǔ)絕熱近似理論不能解決的情形。對于輸入周期小信號()，經(jīng)Duffing振子的隨機(jī)共振系統(tǒng)后輸出的信號也包含該周期項，設(shè)系統(tǒng)敏感函數(shù)為()，根據(jù)漲落耗散定理計算的幅值和相位分別為

=|()|,=-arctan[Im()Re()]

(6)

式中：

(7)

Im()=π()

(8)

(9)

()是系統(tǒng)敏感函數(shù)()的傅里葉變換，()是系統(tǒng)輸出信號零時刻的功率譜密度函數(shù)，依據(jù)公式(9)可以推導(dǎo)出線性響應(yīng)理論分析的系統(tǒng)輸出信噪比為

(10)

對于線性響應(yīng)理論下的隨機(jī)共振系統(tǒng)而言，當(dāng)→+∞時，<()(0)>的值無限接近<()><(0)>，然而在實(shí)際計算操作中遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能實(shí)現(xiàn)；此外，對于絕熱近似理論中不能研究的高頻輸入信號隨機(jī)共振，線性響應(yīng)理論適用任意頻段的輸入信號，但是關(guān)于其時間尺度，為克萊莫斯逃逸速率，會隨著零時刻的系統(tǒng)勢壘函數(shù)及噪聲強(qiáng)度呈指數(shù)級減少，容易出現(xiàn)?不成立的情況，該情形下的隨機(jī)共振理論分析便又不能進(jìn)行。

1.3 外差式隨機(jī)共振

絕熱近似理論是隨機(jī)共振分析理論中最主要、最常見的手段，它的局限性也十分明顯，需要滿足輸入信號和噪聲的強(qiáng)度均較小且輸入信號頻率較低的苛刻條件。對于研究海雜波背景下的混沌小信號而言，往往有時候包含其中的混沌小信號頻率較高，為了將絕熱近似理論運(yùn)用到高頻段輸入信號的信號檢測中，可以考慮使用外差式隨機(jī)共振，其實(shí)現(xiàn)流程如圖1所示。

圖1 外差式隨機(jī)共振流程圖

根據(jù)圖1可知，外差式隨機(jī)共振原理就是利用混頻將低頻輸入信號遷移到高頻段中，得到一對中心頻率為載波信號頻率的信號：

()*()=[cos(2π)+()]*cos(2π)=

))+()*cos(2π)

(11)

經(jīng)混頻后產(chǎn)生一高頻信號(+)和一低頻信號(-)，中心載波頻率將二者劃分為高低頻信號，所以低頻信號頻率遠(yuǎn)小于高頻信號頻率，相應(yīng)地，兩者的頻譜大小恰恰相反，即

(12)

其中，(-)是隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號頻譜，當(dāng)≠時，外差式隨機(jī)共振系統(tǒng)會增強(qiáng)低頻(-)處的信號，通過在輸出信號頻譜圖中清晰看到該處的尖峰。然而當(dāng)=時，輸出信號頻譜中的尖峰便會消失，可以利用這一點(diǎn)，靈活調(diào)節(jié)載波頻率來獲取輸入信號的頻率。

2 變種差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法是一種基于遺傳算法基本思想改變編碼方式、種群迭代方式、淘汰方式的改進(jìn)型尋優(yōu)算法。由于其大膽的劣者絕對淘汰方式不僅提升了算法的收斂速度、全局優(yōu)化搜索能力，同時還保證了較強(qiáng)的魯棒性。差分進(jìn)化算法使用浮點(diǎn)矢量完成編碼，采用父系差分向量完成變異，并與父系交叉生成子代，較遺傳算法收斂更快且效果更加顯著。但是這樣的操作背后，帶來的問題便是容易出現(xiàn)過早收斂，降低了全局搜索能力。針對這一問題，提出了一種變種差分進(jìn)化算法。變種差分進(jìn)化算法通過加入自適應(yīng)變異算子，迭代初期能夠保證變異發(fā)生概率，維持種群多樣性，防止過早收斂；迭代后期能夠保護(hù)最優(yōu)解，提高全局搜索能力。

為了解決傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)獨(dú)立調(diào)參尋優(yōu)效果差的問題，利用變種差分進(jìn)化算法實(shí)現(xiàn)對二階Duffing振子隨機(jī)共振系統(tǒng)多參數(shù)的同步尋優(yōu)，將系統(tǒng)輸出信號的信噪比作為尋優(yōu)算法的目標(biāo)函數(shù)，它能夠反映隨機(jī)共振系統(tǒng)對混沌小信號的增強(qiáng)水平，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取最大值時尋優(yōu)過程結(jié)束。變種差分進(jìn)化算法優(yōu)化隨機(jī)共振系統(tǒng)多參數(shù)的具體步驟如下：

(13)

步驟2: 目標(biāo)函數(shù)計算，對于一個二階Duffing振子的隨機(jī)共振系統(tǒng)而言，輸出信號的信噪比隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化，它能夠反映該系統(tǒng)對混沌小信號的增強(qiáng)水平，目標(biāo)函數(shù)為

(,,)=((,,))

(14)

式中，(,,)為隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出信號，((,,))為系統(tǒng)輸出信號的信噪比。

步驟3: 變異操作，采用差分策略進(jìn)行對個體的變異操作，是區(qū)別于遺傳算法的標(biāo)志之一。隨機(jī)選取兩個區(qū)別于待變異的父系個體進(jìn)行差分縮放后并與該個體進(jìn)行合成，得到

(+1)=1()+·(2()-3()),

≠1≠2≠3

(15)

(16)

式中，代表自適應(yīng)變異算子，()代表迭代次后的第個個體，(())為最優(yōu)個體的目標(biāo)函數(shù)值，(())為當(dāng)前個體的目標(biāo)函數(shù)值，為最大目標(biāo)函數(shù)值，為最小目標(biāo)函數(shù)值。在整個變異過程中種群所有個體的取值均要求滿足邊界條件，即

(17)

步驟4: 交叉操作，對迭代后的第個個體()和變異個體(+1)進(jìn)行交叉計算：

(18)

式中，為交叉因子，為[1,2,…,]的隨機(jī)整數(shù)。差分進(jìn)化算法的交叉不同于遺傳算法中對每個個體進(jìn)行交叉，它只對同一維度的個體進(jìn)行交叉。

步驟5: 選擇操作，差分進(jìn)化算法利用貪婪算法進(jìn)行選擇操作

(19)

步驟6: 更新目標(biāo)函數(shù)值，根據(jù)當(dāng)前迭代次數(shù)優(yōu)化的系統(tǒng)參數(shù)計算系統(tǒng)輸出信號信噪比，對比上一次迭代輸出的信噪比，如果較小則重新進(jìn)行一輪迭代尋優(yōu)；否則輸出尋優(yōu)參數(shù),,。

步驟7: 輸出最優(yōu)隨機(jī)共振，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最高迭代次數(shù)時，輸出滿足最大目標(biāo)函數(shù)值對應(yīng)的二階Duffing振子的隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù),,，根據(jù)所獲最優(yōu)參數(shù)值對輸入信號進(jìn)行隨機(jī)共振輸出，分析輸出信號的頻譜特性。

基于變種差分進(jìn)化算法的隨機(jī)共振混沌小信號檢測方法流程如圖2所示。

圖2 基于變種差分進(jìn)化算法的隨機(jī)共振混沌小信號檢測方法流程圖

3 實(shí)驗仿真分析

為了驗證變種差分進(jìn)化算法優(yōu)化隨機(jī)共振系統(tǒng)混沌小信號檢測的實(shí)用有效性，本節(jié)進(jìn)行三組仿真實(shí)驗：前兩組實(shí)驗分別將低頻小信號和高頻小信號混合噪聲作為Duffing振子隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸入信號，經(jīng)變種差分算法優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)后，得到系統(tǒng)輸出信號并分析其時頻特性驗證混沌小信號檢測效果；第三組實(shí)驗則是將實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)作為背景噪聲輸入隨機(jī)共振系統(tǒng)，分析經(jīng)優(yōu)化后系統(tǒng)輸出信號的時頻特性判斷混沌小信號是否能被檢測。

3.1 低頻小信號檢測

二階Duffing振子的隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù),,直接影響系統(tǒng)的輸出效果，其中值與克萊莫斯逃逸速率密切相關(guān)，二者呈反比例關(guān)系；分析公式(1)可知，系統(tǒng)參數(shù),直接影響勢壘高度和系統(tǒng)臨界值，的取值與兩者呈正比例關(guān)系，卻相反，根據(jù)圖3分析,分別取值為1時勢壘函數(shù)發(fā)生的變化。

圖3 參數(shù)a,b對勢壘函數(shù)的影響

考慮到發(fā)生隨機(jī)共振時系統(tǒng)參數(shù)較小，設(shè)置種群數(shù)量為50，變量維度為10，初始變異算子為0.4，交叉因子為0.1，最大迭代次數(shù)為200。輸入如下的低頻小信號：

(20)

圖4 變種差分進(jìn)化算法優(yōu)化隨機(jī)系統(tǒng)參數(shù)收斂圖

式中，小信號頻率為0.01 Hz，采樣頻率為5 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為800個。設(shè)定低頻信號幅值=01，0.08，0.06，0.04，0.02，對應(yīng)噪聲強(qiáng)度=015，0.3，0.45，0.6，0.75，形成5組信噪比逐次遞減的輸入信號1，2，3，4，5，設(shè)置優(yōu)化輸出系統(tǒng)參數(shù)尋優(yōu)范圍為[0.001，2]，參數(shù)精度為0.001。以輸入信號幅值=01，噪聲強(qiáng)度=015為例進(jìn)行詳細(xì)描述，利用變種差分進(jìn)化算法，尋找當(dāng)前輸入信號特性下Duffing振子隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信噪比最大時對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù),,。如圖4所示，變種差分進(jìn)化算法經(jīng)過33次迭代尋優(yōu)獲得系統(tǒng)當(dāng)前輸入信號的最優(yōu)參數(shù)，分別為=0226，=0315，=0691，該情形下輸出信號的信噪比最大為10.710 dB，對比輸入信噪比(-18.681 dB)提升了29.391 dB。圖5為變種差分進(jìn)化算法在最優(yōu)參數(shù)下的隨機(jī)共振圖，圖5(a)為輸入信號圖，可以看到混沌小信號被淹沒在噪聲中，如圖5(b)分析其頻譜特性也未能看出端倪。然而分析其輸出信號圖5(c)能夠簡約看出信號的輪廓，再分析其頻譜特性圖5(d)，能夠明顯觀察到小信號被增強(qiáng)，直接判斷出0.01 Hz處存在小信號。

圖5 低頻小信號變種差分進(jìn)化算法隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)分析圖

為了驗證變種差分進(jìn)化算法優(yōu)化隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)的可靠性，表1給出5組輸入信號的參數(shù)尋優(yōu)及輸出信號的信噪比結(jié)果。

從表1分析可知，對于輸入低頻小信號而言，差分變種進(jìn)化算法優(yōu)化的Duffing振子隨機(jī)共振系統(tǒng)能夠顯著地提升輸出信號的信噪比，換言之，該方法能增強(qiáng)淹沒在噪聲背景下的小信號，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振系統(tǒng)中的小信號檢測。較混沌變長螢火蟲算法優(yōu)化隨機(jī)共振系統(tǒng)，迭代收斂速度更快，信噪比增益平均提高1.98 dB，提取淹沒在強(qiáng)噪聲背景下的低頻小信號效果更好。

表1 5組輸入信號的參數(shù)尋優(yōu)及輸出信號的信噪比結(jié)果

3.2 高頻小信號檢測

在絕熱近似理論中，要求輸入信號的幅值低、頻率低，噪聲強(qiáng)度低，但是實(shí)際工程應(yīng)用中的輸入信號往往可能是頻率。針對這一難題，可以利用外差式隨機(jī)共振來解決。為了進(jìn)一步驗證變種差分進(jìn)化算法優(yōu)化隨機(jī)共振的小信號檢測方法的可行性，輸入信號幅值=02，噪聲強(qiáng)度=21，信號頻率=20 Hz的高頻小信號，采樣頻率=5 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為800個，結(jié)合外差式隨機(jī)共振理論設(shè)定載波頻率=2001 Hz經(jīng)混頻后輸出的低頻信號分量滿足絕熱近似理論要求，進(jìn)行高頻小信號檢測實(shí)驗。

利用變種差分進(jìn)化算法對隨機(jī)共振系統(tǒng)下的高頻小信號進(jìn)行檢測，得到輸出信號信噪比最大對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù),,，分別為=0146，=0.419，=0304，輸出當(dāng)前情形下最大的信噪比3.54 dB，較輸入信噪比(-23.22 dB)提升了26.76 dB。圖6為輸入高頻小信號情形下的優(yōu)化隨機(jī)共振圖，從圖6(a)、(b)分析，輸入信號的時頻特性圖中均未能觀測出淹沒在強(qiáng)噪聲背景下的高頻小信號。然而在圖6(c)輸出信號圖中能夠較清晰地看出輸入信號的輪廓，對其進(jìn)行頻率分析得到圖6(d)的輸出信號頻譜圖，能夠明顯看出小信號被增強(qiáng)，判斷=001 Hz處存在小信號，依據(jù)外差式隨機(jī)共振恢復(fù)原理，計算得出=-001=20 Hz，進(jìn)一步推斷出增強(qiáng)的頻率代表輸入頻率為20 Hz，表明變種差分進(jìn)化算法優(yōu)化的Duffing振子隨機(jī)共振系統(tǒng)能檢測出高頻小信號。

圖6 高頻小信號變種差分進(jìn)化算法隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)分析圖

3.3 海雜波背景下的混沌小信號檢測

為了驗證變種差分進(jìn)化算法的實(shí)用性，進(jìn)行基于隨機(jī)共振理論的海雜波背景下的混沌小目標(biāo)檢測實(shí)驗，選用的是IPIX雷達(dá)收集的#54海雜波含目標(biāo)信號數(shù)據(jù)，目標(biāo)數(shù)據(jù)區(qū)間：主目標(biāo)為8，次目標(biāo)為7∶10。將含目標(biāo)的海雜波數(shù)據(jù)取代Duffing振子的隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸入信號，經(jīng)變種差分進(jìn)化算法優(yōu)化后的系統(tǒng)，輸出信噪比最大對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù),,，分別為=0973，=0738，=0034，輸出信噪比為22.47 dB，較輸入信號的信噪比(-55.03 dB)提升了83.50 dB，海雜波背景下的隨機(jī)共振混沌小信號檢測效果如圖7所示，其中圖7(a)、(b)為輸入信號時頻特性圖，均不能分析出混沌小信號的存在，經(jīng)優(yōu)化后的隨機(jī)共振系統(tǒng)后，圖7(c)能夠隱約勾勒出淹沒在海雜波背景下的混沌小信號輪廓，圖7(d)能清晰地辨認(rèn)出在頻率為0.016 32處出現(xiàn)頻譜尖峰，代表該處存在混沌小信號，達(dá)到實(shí)驗研究的效果。

圖7 海雜波背景下的隨機(jī)共振混沌小信號檢測效果圖

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)隨機(jī)共振小信號檢測無法對多參數(shù)進(jìn)行同步尋優(yōu)的缺陷，本文提出了一種基于變種差分進(jìn)化算法的隨機(jī)共振混沌小信號檢測方法，利用變種差分進(jìn)化算法中加入自適應(yīng)變異算子提升全局尋優(yōu)搜索能力的同時避免了過早收斂，對Duffing振子的隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù),,進(jìn)行尋優(yōu)，選用系統(tǒng)輸出信號的信噪比作為目標(biāo)函數(shù)，完成變種差分算法的變異、交叉、選擇操作。對低頻小信號輸入進(jìn)行仿真實(shí)驗，與混沌變步長螢火蟲優(yōu)化算法作對比，輸出信噪比平均提升1.98 dB，小信號檢測效果提升顯著；對高頻小信號輸入進(jìn)行仿真實(shí)驗，結(jié)合外差式隨機(jī)共振理論能夠準(zhǔn)確恢復(fù)出高頻小信號對應(yīng)低頻段處的小信號，進(jìn)一步推導(dǎo)出高頻小信號的存在；對實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗，實(shí)驗結(jié)果表明該方法能夠有效地檢測出淹沒在海雜波背景下的混沌小信號。