劉 翌，袁 喆

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

固體物理的核心內(nèi)容包含周期性晶格中電子態(tài)的性質(zhì)以及在外場下的響應(yīng)特征，后者往往會體現(xiàn)出材料的宏觀物理和化學(xué)性質(zhì).輸運(yùn)現(xiàn)象描述了電子態(tài)在電磁場、溫度梯度等驅(qū)動力作用下的動力學(xué)行為，是固體物理學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一[3-7].這部分知識也是凝聚態(tài)物理前沿研究中重要的理論工具[8,9].輸運(yùn)問題的理論描述通常從玻耳茲曼方程開始，建立一套形式理論，其中電子在位置和動量相空間的漂移運(yùn)動由布洛赫電子的半經(jīng)典動力學(xué)方程給出，而碰撞項(xiàng)較難處理，可以引入弛豫時(shí)間近似來得到簡化的形式[10].

大部分固體物理教材中有關(guān)弛豫時(shí)間近似的內(nèi)容存在兩個(gè)重要的不足.一是忽略了該近似的物理內(nèi)涵和理論分析，僅給出其數(shù)學(xué)表達(dá)式，這樣不容易讓同學(xué)們理解其背后深刻的物理基礎(chǔ).并且為了避免數(shù)學(xué)推導(dǎo)，直接將弛豫時(shí)間假定為一個(gè)常量，忽略了其能帶、動量、位置的依賴關(guān)系，會影響同學(xué)對弛豫時(shí)間近似的理解.二是引入弛豫時(shí)間后，立即轉(zhuǎn)向?qū)е虏悸搴针娮影l(fā)生弛豫的散射機(jī)制，最有代表性的是有限溫度聲子對電子的散射，很多教材都花了較多篇幅來推導(dǎo)電聲子相互作用導(dǎo)致的弛豫時(shí)間的表達(dá)式，反而忽視了弛豫時(shí)間近似處理物理問題的強(qiáng)大能力.事實(shí)上弛豫時(shí)間近似的最大優(yōu)勢就是避免了具體的散射機(jī)制，使用簡單的參數(shù)即可普適地描述輸運(yùn)問題.因此在課程中有必要在弛豫時(shí)間近似范圍內(nèi)，直接通過簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，描述金屬電導(dǎo)率、熱電效應(yīng)等一系列輸運(yùn)現(xiàn)象.

本文首先討論弛豫時(shí)間近似的物理圖像，并通過概念性的分析得到弛豫時(shí)間近似的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再使用簡單的微積分求解出非平衡分布函數(shù)的形式解.為這部分內(nèi)容的教學(xué)提供參考，讓學(xué)生全方位深入理解弛豫時(shí)間近似，并有能力應(yīng)用該方法解決凝聚態(tài)物理研究中的問題.

1 弛豫時(shí)間近似

1.1 弛豫時(shí)間概念的引入

弛豫時(shí)間的概念可以追溯到Drude的自由電子氣模型[11,12]，其中電子作為經(jīng)典粒子在運(yùn)動過程中會與原子核發(fā)生碰撞，電子的碰撞是瞬時(shí)發(fā)生的事件，且在dt時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的概率是dt/τ.這個(gè)時(shí)間常量τ后來被稱為碰撞時(shí)間、散射時(shí)間或弛豫時(shí)間.在Drude之后的理論中，碰撞不再局限于電子被原子核散射情形，可以被拓展到雜質(zhì)、聲子甚至表面和界面散射等，而弛豫時(shí)間的關(guān)鍵是用來衡量碰撞的概率.

完美晶格中的布洛赫函數(shù)是電子的本征態(tài)，盡管它具有一定的速度，但是不會與晶格發(fā)生碰撞或散射而耗散能量，因此布洛赫函數(shù)的弛豫時(shí)間應(yīng)當(dāng)為無窮大.電子在晶格中的動力學(xué)可以用半經(jīng)典的波包運(yùn)動方程來描述，對應(yīng)玻耳茲曼方程中的漂移項(xiàng).另一方面，完美晶格是不存在的，材料中的雜質(zhì)以及晶格振動都會破壞晶格的周期性，從而改變局域的電子本征態(tài)，所以通常情況下電子在輸運(yùn)過程中會發(fā)生碰撞導(dǎo)致有限的電阻率.電子發(fā)生碰撞時(shí)的相空間分布函數(shù)的改變在玻耳茲曼方程中用碰撞項(xiàng)來表示.但是由于碰撞項(xiàng)的描述較為困難，嚴(yán)格求解需要考慮具體的電子散射機(jī)制，并求解相應(yīng)的振子強(qiáng)度或者散射截面，因此弛豫時(shí)間近似就提供了一種非常簡便的碰撞項(xiàng)形式，從而得到較完整的物理描述.

1.2 碰撞項(xiàng)的表達(dá)式

弛豫時(shí)間近似有兩條基本假設(shè)：(ⅰ) 電子因碰撞而導(dǎo)致的分布在任何時(shí)間都不依賴碰撞前的非平衡分布函數(shù)；(ⅱ) 如果電子處在局域的平衡態(tài),則

(1)

碰撞不會改變電子分布，其中μ(r)和T(r)是局域化學(xué)勢和溫度.利用上述兩個(gè)假設(shè)分析相空間中電子分布函數(shù)，可以得到碰撞項(xiàng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.考慮在位置r、動量k的相空間，其體積為d3rd3k/4π3，假定在t時(shí)刻能帶n上電子在該相空間的電子分布為fn(r,k,t).應(yīng)用碰撞概率與弛豫時(shí)間的關(guān)系，每個(gè)電子在dt間隔內(nèi)發(fā)生碰撞的概率是dt/τn(r,k)，因此發(fā)生碰撞從而離開該相空間的電子數(shù)為fn(r,k,t)dt/τn(r,k).這里弛豫時(shí)間可以依賴于能帶n和電子的位置r與動量k.

(2)

值得指出的是弛豫時(shí)間近似是滿足碰撞使電子系統(tǒng)趨近于平衡態(tài)的最簡單的形式，它保證了處于局域平衡的體系不會因?yàn)殡娮优鲎捕x平衡態(tài).在一個(gè)均勻系統(tǒng)，弛豫時(shí)間一般不依賴于位置r，而對動量的依賴關(guān)系通常是因?yàn)槟軒?，由于k是時(shí)間的函數(shù)，弛豫時(shí)間也是時(shí)間函數(shù)，即τn[k(t)]=τn{En[k(t)]}.

2 分布函數(shù)的形式解

2.1 求解弛豫時(shí)間近似下的非平衡分布函數(shù)

很多固體物理學(xué)教材在給出碰撞項(xiàng)表達(dá)式(2)后即轉(zhuǎn)向討論弛豫時(shí)間的微觀機(jī)制，計(jì)算出弛豫時(shí)間與雜質(zhì)濃度或者聲子溫度的關(guān)系．嚴(yán)格來說這些內(nèi)容已經(jīng)超越了弛豫時(shí)間近似本身，反而忽視了該近似的優(yōu)勢，即在不必知道具體微觀機(jī)制的情況下，以簡單的參數(shù)形式描述電子輸運(yùn)過程.這需要在式(2)的基礎(chǔ)上求解非平衡分布函數(shù)的具體形式.Ashcroft和Mermin的固體物理教材[11]中使用了大量篇幅從電子碰撞的物理過程分析出非平衡分布函數(shù)形式.這里利用微積分中常用的常數(shù)變易法嚴(yán)格求解非平衡分布函數(shù).

弛豫時(shí)間近似式(2)可以寫成一個(gè)非齊次常微分方程：

(3)

其中r和k都是時(shí)間的函數(shù).為了求解上述非齊次常微分方程，首先求出齊次方程：

(4)

(5)

將式(5)代入式(3)得到

(6)

直接積分即可得到

(7)

因此得到式(3)的嚴(yán)格解，即非平衡分布函數(shù):

(8)

其中式(6)和式(7)中的參數(shù)t0在積分上下限中消去了.式(8)中唯一的待定系數(shù)是t′的積分下限t1，可以通過初始條件fn(t=-∞)=0確定t1=-∞.這個(gè)邊界條件本質(zhì)上意味著在經(jīng)歷了足夠長的時(shí)間后，電子的分布函數(shù)已經(jīng)不攜帶有任何過去的信息了，最終得到式(3)的解析解：

(9)

為了看到更加物理的圖像，式(9)的形式可以稍作變化.利用數(shù)學(xué)形式：

(10)

式(9)可以改寫成

(11)

式(11)就是弛豫時(shí)間近似下非平衡分布函數(shù)的嚴(yán)格解，它的形式與Ashcroft和Mermin固體物理教材中(13.17)的形式完全相同，但并不是通過分析電子碰撞的物理過程得出的，而是采取了直接求解非平衡分布函數(shù)的非齊次常微分方程得到.這兩種求解的方法并沒有優(yōu)劣之分，只是側(cè)重不同，Ashcroft和Mermin側(cè)重清晰的物理過程，本文中的推導(dǎo)具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，可以在教學(xué)中相互補(bǔ)充.

2.2 關(guān)于非平衡分布函數(shù)的一些討論

(12)

這說明疊加的擾動本質(zhì)上源于電子的動力學(xué)，即外場(包括溫度梯度、化學(xué)勢梯度)作用下電子在相空間中的漂移.將其代入式(11)得到

(13)

最后我們討論式(13)積分中的指數(shù)項(xiàng).這一項(xiàng)決定了不同時(shí)刻的電子運(yùn)動對非平衡分布函數(shù)貢獻(xiàn)并不是均等的，而是隨時(shí)間的推遲逐漸減小，在距離t時(shí)刻很遠(yuǎn)的過去，電子的動力學(xué)的貢獻(xiàn)已經(jīng)可以忽略不計(jì).換句話說，電子運(yùn)動對分布函數(shù)有顯著貢獻(xiàn)的時(shí)間尺度是由弛豫時(shí)間決定的.當(dāng)能量變化非常緩慢以至于弛豫時(shí)間近似可以看做常量時(shí)，即τn{En[k(t)]}≈τn，并且在這個(gè)時(shí)間尺度內(nèi)r和k的變化很小，則所有對時(shí)間的積分僅作用在指數(shù)項(xiàng)上，從而得到

(14)

在弛豫時(shí)間為常量的情況下，非平衡分布函數(shù)可以簡化為

上式右側(cè)平衡態(tài)分布對能量的求導(dǎo)決定了非平衡分布函數(shù)只在費(fèi)米面附近才會發(fā)生改變，費(fèi)米海中較深的電子態(tài)的分布函數(shù)始終是不變的，這是電子作為費(fèi)米子的特性所決定的.

3 小結(jié)

本文討論了弛豫時(shí)間近似下，用于描述輸運(yùn)過程中電子碰撞項(xiàng)的非平衡分布函數(shù)表達(dá)式的物理基礎(chǔ)．應(yīng)用常數(shù)變易法嚴(yán)格求解了非平衡分布函數(shù)，并探究了非平衡分布函數(shù)形式解中對平衡態(tài)分布擾動的物理根源和時(shí)間尺度.