陶益婷, 周 玲

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

由于分?jǐn)?shù)階算子能夠更好地模擬細(xì)胞或者種群的擴(kuò)散[1-2], 近年來(lái)許多學(xué)者對(duì)具有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散的各類動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了廣泛的研究[3-5], 其中解的正則性理論的研究[6-10]在偏微分方程領(lǐng)域備受關(guān)注, 也頗具挑戰(zhàn)性．2017年, Fernndez-Real等[8]研究了具有非局部擴(kuò)散的非線性拋物型方程?tu+(-Δ)su=f(t,x),(t,x)∈(-1,0)×B1, 其中B1是RN中的單位球, 非局部算子(-Δ)su,s∈(0,1)定義為證明了弱解的內(nèi)部正則性估計(jì), 即: 若f∈L∞((-1,0)×B1), 設(shè)α∈(0,1), 且記則可得估計(jì)其中常數(shù)C僅依賴于N,s和α．受上述研究啟發(fā), 本文擬研究RN上帶有局部和非局部混合擴(kuò)散的非線性拋物型方程

(1)

其中u0是RN上的非負(fù)Lipschiz連續(xù)函數(shù),f(t,x,u)滿足條件:

(H1)f: (0,∞)×RN×R+→R滿足f(t,x,0)=0且f(t,x,u)關(guān)于u∈R+是局部Lipschiz連續(xù)的, 即對(duì)于任意L>0, 存在一個(gè)與L相關(guān)的常數(shù)K=K(L)>0, 使得對(duì)于任意的u1,u2∈[0,L], 有|f(t,x,u1)-f(t,x,u2)|≤K|u1-u2|, (t,x)∈(0,∞)×RN．

對(duì)于局部和非局部混合算子,相較于普通的拉普拉斯算子,用經(jīng)典的能量方法估計(jì)弱解的正則性會(huì)帶來(lái)技術(shù)性困難.本文將運(yùn)用反證法,通過(guò)構(gòu)造爆破序列,并結(jié)合劉維爾型定理,給出弱解的正則性估計(jì)證明．

1 弱解的正則性及證明

則稱u是問(wèn)題(1)的弱解．

證明 對(duì)于任意(t,x), (τ,y)∈(0,∞)×RN且(t,x)≠(τ,y), 定義

假設(shè)定理2的結(jié)論不成立, 則存在某個(gè)θ∈(0,1), 以及方程(1)的弱解序列{uk}, 使得當(dāng)k→+∞時(shí),

(2)

(3)

因0<θ<1, 故當(dāng)k→+∞時(shí),d((tk,xk),(τk,yk))→0．

≤1, ?(x,t), (τ,y)∈Ωk×RN,

故

(4)

再由式(2), 并應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則, 得

(5)

進(jìn)一步, 通過(guò)直接計(jì)算, 可得

且

(6)

(7)

i)Q∞=R×RN．此時(shí), 由于w∞是熱方程的一個(gè)正解, 根據(jù)經(jīng)典的劉維爾型定理可知,w∞只能是一個(gè)常值函數(shù), 與式(7)矛盾．

綜上, 定理2的結(jié)論得證．