邵克勇, 馮 奧, 王婷婷

(東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院, 黑龍江 大慶 163318)

分?jǐn)?shù)階微積分被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)和工程學(xué)[1]．隨著科技的進(jìn)步,分?jǐn)?shù)階微分理論已被用于信號(hào)分析與加密處理[2]、非牛頓流體力學(xué)[3]和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制[4]等領(lǐng)域．近年來(lái), 分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步控制研究備受關(guān)注．目前,已有的同步控制方法有自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[5]、滑?？刂芠6]和干擾觀測(cè)器控制[7]等．鄧立為等[8]以一類分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)為同步研究對(duì)象, 設(shè)計(jì)了一種基于輸出反饋的滑模控制器,為分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步研究提供了新的思路; Ni等[9]針對(duì)分?jǐn)?shù)階超混沌Liu系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)間滑?？刂破?該方案下2個(gè)分?jǐn)?shù)階超混沌Liu系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)完成同步; Sun[10]針對(duì)一類非同階分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步,設(shè)計(jì)出一種含自適應(yīng)參數(shù)的滑?？刂破? 實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的完全同步;本課題組在前期工作[11]中利用徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近不確定項(xiàng), 通過(guò)自行設(shè)計(jì)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對(duì)不確定項(xiàng)或外部干擾進(jìn)行補(bǔ)償控制, 解決了分?jǐn)?shù)階不確定性系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題; Wang等[12]設(shè)計(jì)了一種時(shí)間調(diào)節(jié)有限的新型滑?？刂破? 該控制方案下滑模面可在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零, 進(jìn)而實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步, 并將該方案應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階超混沌金融模型的控制, 得到良好的控制效果．本文擬設(shè)計(jì)一種RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模控制器, 以期實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的同步．

1 問(wèn)題描述

定義n維分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

Dαx=Ax+f(x),

(1)

其中0<α<1; 系統(tǒng)的狀態(tài)向量x∈Rn;A∈Rn×n,f(x)∈Rn分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的線性和非線性部分．其響應(yīng)系統(tǒng)

Dαy=By+g(y)+d+u,

(2)

其中0<α<1; 系統(tǒng)的狀態(tài)向量y∈Rn;B∈Rn,g(y)∈Rn分別為響應(yīng)系統(tǒng)的線性和非線性部分;d∈Rn為外部擾動(dòng);u∈Rn為控制器輸出．

定義系統(tǒng)誤差

e=y-x．

(3)

將式(1)(2)代入式(3), 可得如下誤差系統(tǒng):

Dαe=By-Ax+g(y)-f(x)+d+u．

(4)

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)欲實(shí)現(xiàn)同步, 須通過(guò)控制律使得誤差e收斂至零, 即limt→∞‖e‖=limt→∞‖y-x‖=0．

引理1[14]考慮分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)Dαx(t)=Cx(t), 其中0<α<1,x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,C為系統(tǒng)的參數(shù)矩陣．

當(dāng)0<α<1時(shí), 若系統(tǒng)參數(shù)矩陣C的所有特征值都小于等于零, 則該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的．

2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

現(xiàn)采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)外部干擾d進(jìn)行自適應(yīng)逼近, 以降低外部干擾對(duì)控制器切換增益的影響．假設(shè)

d=W*ΤH+ε,

(5)

2.2 滑模控制器設(shè)計(jì)

選取滑模面

(6)

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面前進(jìn), 此時(shí)有

(7)

(8)

由式(8)可得

(9)

由引理1可知式(8)是漸近穩(wěn)定的且滑模面對(duì)干擾不敏感, 故系統(tǒng)具有較好的魯棒性．

對(duì)誤差系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)控制律:

(10)

自適應(yīng)律:

(11)

(12)

式中自適應(yīng)律的調(diào)節(jié)參數(shù)λ>0,γ>0; 系統(tǒng)滑模面向量s∈Rn; 自適應(yīng)系數(shù)k∈R．

定理1在控制律(10)及自適應(yīng)律(11)(12)的作用下,誤差系統(tǒng)(4)趨于穩(wěn)定,響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)同步．

證明 將式(5)(10)代入誤差系統(tǒng)(4),得

(13)

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知limt→∞e=0, 故誤差系統(tǒng)(4)在控制律(10)及自適應(yīng)律(11)(12)的作用下趨于穩(wěn)定, 上述控制方案用于分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的同步是可行的．

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文方法的有效性, 運(yùn)用MATLAB 2018b對(duì)分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真．

考慮分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)方程

(14)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(15)

當(dāng)α=0.9時(shí), 系統(tǒng)(14)的超混沌吸引子如圖1所示．由圖1可知,該系統(tǒng)具有超混沌特性．

圖1 分?jǐn)?shù)階超混沌吸引子Fig.1 Fractional-order hyperchaotic attractor

圖2 無(wú)外部干擾時(shí)的同步誤差曲線Fig.2 Synchronization error curve without external disturbance

圖3 外部干擾下的同步誤差曲線Fig.3 Synchronization error curve with external disturbance

由圖2～3可見, 與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方案[11]相比, 本文方案的控制精度更高, 同步誤差收斂速度快, 所需調(diào)節(jié)時(shí)間短,控制效果更佳; 自適應(yīng)滑?？刂破鞯囊胧沟孟到y(tǒng)具有較高的魯棒性, 在出現(xiàn)較強(qiáng)外部干擾時(shí)其控制性能仍保持不變．

4 結(jié)論

本文通過(guò)構(gòu)建合適的分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階滑模面,在滑?？刂评碚摰幕A(chǔ)上增設(shè)自適應(yīng)參數(shù),并利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近外部干擾后進(jìn)行補(bǔ)償,抑制可能出現(xiàn)的外部干擾對(duì)控制器切換增益的影響,從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的同步控制．運(yùn)用Lyapunov原理對(duì)所設(shè)計(jì)方案的可行性進(jìn)行理論推導(dǎo)與分析,并提供數(shù)值仿真驗(yàn)證了方案的有效性．本文方案從理論上能有效減少滑模控制所致抖振,并能抑制較強(qiáng)外部干擾對(duì)系統(tǒng)控制質(zhì)量的影響和提高系統(tǒng)魯棒性．在實(shí)際應(yīng)用中可降低控制器負(fù)荷和控制成本,使理論聯(lián)系實(shí)際成為可能,為分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步研究提供了新思路．然而,本文方案未徹底消除滑?？刂破鞯亩墩?其可能原因是切換增益的自適應(yīng)律恒為正數(shù),導(dǎo)致切換增益不斷變大,進(jìn)而產(chǎn)生抖振．今后將嘗試采用粒子群或差分進(jìn)化等優(yōu)化算法對(duì)切換增益進(jìn)行優(yōu)化,使得切換增益恒定,從而進(jìn)一步減少甚至消除抖振．