楊金富, 張家鋒

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院, 貴陽 550025)

Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的一般形式為

(1)

該系統(tǒng)有很強(qiáng)的物理學(xué)背景,許多研究者對該類系統(tǒng)的正解和多解進(jìn)行了大量的研究,取得了豐富的結(jié)果．Li等[1]在非線性項f(x,u)是一般奇異項的假設(shè)下, 得到了系統(tǒng)(1)解的存在唯一性; Lü[2]考慮了具有一般非線性項的系統(tǒng), 通過對非線性項f的限制, 利用單調(diào)性方法和截斷技術(shù), 得到了系統(tǒng)(1)正徑向解的存在性; Zhang[3]研究了一類帶有奇異項的系統(tǒng)(1), 通過變分法與Nehari流形相結(jié)合的方法, 得到該類系統(tǒng)正解的存在性、唯一性以及多重性結(jié)果．

1 主要成果

考慮Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

(2)

其中a>0,b>0, 4.5

定理1假設(shè)a>0,b>0,4.5

注2本文給出含有純冪次非線性項f(x,u)=|u|p-2u(4.5

嵌入H1(R3)Lp(R3) (20, 使得對任意u∈H,p∈[2,6], 有‖u‖p≤C0‖u‖．此外, 根據(jù)文獻(xiàn)[15]知嵌入HLp(R3) (2

引理3對于任意u∈H1(R3), 有

i) 任意u∈H1(R3),φu≥0, 且‖φu‖D1,2(R3)≤C1‖u‖2(?C1>0);

ii)φtu=t2φu, ?t>0, ?u∈H1(R3);

iii) 若在H中有un?u, 則D1,2(R3)中就有φun?φu,且

v) 如果u(x)是徑向函數(shù), 則φu也是徑向函數(shù)．

利用變分法可將問題(2)等價轉(zhuǎn)化為I(u)=minu∈HJ(u) (φu∈D1,2(R3)), 其中

(3)

且J(u)關(guān)于任意v∈H的弱導(dǎo)數(shù)為

(4)

命題4(噴泉定理)[15]設(shè)X是一個無限維巴拿赫空間,φ∈C1(X,R)并滿足(PS)c條件, 且φ(-u)=φ(u) (?u∈X), 若?k∈N, ?ρk>γk>0, 有: i)bk=infu∈Zk,‖u‖=γkφ(u)→+∞(k→+∞); ii)ak=maxu∈Yk,‖u‖=ρkφ(u)≤0, 則φ(u)存在一個臨界序列{uk}, 使得φ(uk)→+∞(k→+∞)．

2 定理1的證明

受文獻(xiàn)[11,13]的啟發(fā), 對于任意u∈H{0}, 可先考慮這樣一條路徑,設(shè)

γt(x)=t-2u(t-1x),t>0,

(5)

則

(6)

且

(7)

由式(6)知, limt→0+‖γt(x)‖2=+∞且limt→+∞‖γt(x)‖2=0, 故對于任意u∈H{0}, 存在唯一的Tu>0, 使得

(8)

此外, 當(dāng)‖u‖→+∞時,‖Tu‖→+∞．由式(5)知, 對于任意u∈H, 都有唯一的t-2u(t-1x)與之對應(yīng), 則可以做一個一對一的函數(shù)FTu:H→S,

(9)

且

(10)

其中S={u∈H:‖u‖=1}是一個單位球面．

引理5J(u)關(guān)于u是偶的．

證明 由式(3)知J(0)=0, 且

故J(u)關(guān)于u是偶的．

引理6對于任意c∈R,J(u)滿足(PS)c條件．

證明 設(shè)序列{un}?H使得

J(un)→c,J′(un)→0．

(11)

由式(3)和(4)知

兩式相減, 得

(12)

由于a>0, 4.5

limn→+∞(c1+on(1))=c1,

(13)

(14)

有c1=+∞, 顯然矛盾,故假設(shè)不成立．因此,序列un在H中是有界的, 有

(15)

(16)

引理7J(u)滿足命題4中條件(i), 即設(shè)a>0,b>0,4.50, 使得

bk=infu∈Zk,‖u‖=γkφ(u)→+∞(k→+∞)．

證明 由文獻(xiàn)[7]中引理2.5知, 當(dāng)2

βk(p)=supu∈Zk,‖u‖=1‖u‖p→0(k→+∞),

(17)

(18)

即存在γk>0, 使bk=infu∈Zk,‖u‖=γkJ(u)→+∞ (k→+∞)．

引理8J(u)滿足命題4中條件(ii), 即設(shè)a>0,b>0,4.50, 使得ak=maxu∈Yk,‖u‖=ρkJ(u)≤0．

則由實數(shù)的稠密性可知, 存在‖uk‖∈R有-∞γk>0, 對任意u∈Yk,max‖u‖=ρkJ(u)≤0成立．