福建省福州屏東中學(xué) 鄭麗娟

黨的十八大明確提出“把立德樹人作為教育的根本任務(wù)”。隨著課堂教學(xué)改革的進(jìn)一步發(fā)展，“核心素養(yǎng)”成為當(dāng)前基礎(chǔ)教育理論與實(shí)踐研究的重點(diǎn)。以布魯姆認(rèn)知維度層次劃分理論為基礎(chǔ)的深度學(xué)習(xí)模式，以學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，探求知識背后的規(guī)律，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生深度思考學(xué)習(xí)能力，是形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)成功，獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。在這個過程中，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)核心知識，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想方法，提高思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。教師通過精心設(shè)計問題情境和學(xué)習(xí)任務(wù)，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突和深度思考，關(guān)注對學(xué)生的形成性評價。

一、基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)公式教學(xué)

筆者在初中數(shù)學(xué)公式教學(xué)中進(jìn)行了深度學(xué)習(xí)的一些探索，現(xiàn)以市級公開課“24.4弧長和扇形面積（1）”教學(xué)為例交流如下。

（一）明確深度學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.教材內(nèi)容地位與作用

本節(jié)選自義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（人教版）九年級上冊，是第24章“圓”第四節(jié)“弧長和扇形面積”第1課時的內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念、性質(zhì)、圓心角等內(nèi)容之后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)弧長和扇形面積的計算公式，研究弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)過程及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。弧長和扇形面積公式是與圓有關(guān)的計算中的重要公式，是以圓的周長和面積公式為依據(jù)的，既為后繼學(xué)習(xí)中圓錐側(cè)面積公式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ)，也是高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)弧長和扇形面積公式的基本內(nèi)容。

2.課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“弧長和扇形面積”的定位

理解弧長和扇形面積公式，并會計算弧長、扇形的面積；在弧長和扇形面積計算公式的探究過程中，感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想。

3.學(xué)生情況

首先，學(xué)生的生理、心理特點(diǎn)分析。九年級學(xué)生的生理、心理都還在發(fā)展過程中，他們的可塑性很強(qiáng)。這個階段的學(xué)生喜歡動腦思考，具備一定的探究能力，幾何直觀探索和推理能力也已形成，但也比較容易出現(xiàn)情緒的變化。因此既要盡量結(jié)合學(xué)生的興趣開展教學(xué)，又要適當(dāng)引導(dǎo)，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)踐探究能力。

其次，學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”分析。學(xué)生的現(xiàn)有知識水平是圓的周長和面積公式，圓的有關(guān)概念、性質(zhì)、圓心角等內(nèi)容，學(xué)生能夠感知到弧長和扇形面積分別與圓的周長和面積有關(guān)，但是對于公式推導(dǎo)過程中圓心角的作用不易理解。通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生潛在發(fā)展水平達(dá)到對公式推導(dǎo)過程中圓心角作用的理解。

最后，學(xué)生的挑戰(zhàn)性內(nèi)容分析。挑戰(zhàn)性內(nèi)容一：教師引導(dǎo)，合作探究弧長公式。學(xué)生聯(lián)系已有知識，在新、舊知識之間建立有意義的聯(lián)系。教師利用圓心角的特殊情況進(jìn)行引導(dǎo)，學(xué)生感知弧長與弧所對的圓心角有關(guān)?；￠L是圓周長的一部分，在圓周長公式的基礎(chǔ)上，借助部分與整體之間的聯(lián)系合作探究推導(dǎo)出弧長公式。挑戰(zhàn)性內(nèi)容二：類比弧長公式的探究過程，合作探究扇形面積公式。類比弧長公式的探究過程，應(yīng)用相同的研究方法，在圓面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出扇形面積公式，進(jìn)而通過弧長公式表示扇形面積。學(xué)生類比學(xué)習(xí)、建立前后知識的聯(lián)系以及對探究方法進(jìn)行遷移，實(shí)現(xiàn)高階思維的形成。挑戰(zhàn)性內(nèi)容三：把握本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會探究公式的一般方法。掌握學(xué)科的數(shù)學(xué)思想方法是深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵之一。在弧長和扇形面積計算公式的探究過程中，感受“特殊到一般”“整體與部分”“類比”等數(shù)學(xué)思想。

4.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)是弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)及應(yīng)用；難點(diǎn)是弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)。

（二）教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

一年一度的?？扑嚬?jié)要到了，小霞買了一批扇子作為活動道具，她想給每把扇子外圍鑲上花邊，扇面貼上彩紙當(dāng)裝飾?？伤赋盍耍嘿I多長的花邊、多大面積的彩紙合適呢？這就要涉及弧長和扇形面積的計算問題。

設(shè)計意圖：由學(xué)生感興趣的校園文化藝術(shù)節(jié)引入課題，創(chuàng)設(shè)情境，把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)活動的需求與真誠的熱情，步入課堂深度學(xué)習(xí)。

2.探究弧長的計算公式

問題一：半徑為2的圓的周長是_____________。

問題二：求半徑為R的圓中，圓心角α所對的弧長（表1）。

表1

設(shè)計意圖：基于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，設(shè)計從特殊到一般的探究過程，有助于學(xué)生深刻地理解和體會弧長公式的生成。在這個活動過程中，學(xué)生愿意去學(xué)，有信心去學(xué)，從而學(xué)得更深刻，理解得更到位；在經(jīng)歷弧長公式的生成過程中體會“特殊到一般”“部分與整體”的歸納方法，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

問題一：公式中每個字母分別表示什么？

問題二：公式中180、n為什么不能帶單位？

問題三：公式中揭示的是哪幾個量之間的相等關(guān)系？已知其中的幾個量可以求出其余的量嗎？

問題四：公式中當(dāng)R為定值時，l與n是什么函數(shù)關(guān)系？當(dāng)n為定值時，l與R又是什么函數(shù)關(guān)系？

設(shè)計意圖：設(shè)計問題串，強(qiáng)化對公式的再認(rèn)識，抓住公式的本質(zhì)。滲透了函數(shù)的思想和方程的思想，讓學(xué)生感悟到“知二求一”的方程觀點(diǎn)。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識再發(fā)現(xiàn)的過程，在不斷反思、質(zhì)疑中對學(xué)習(xí)對象深度加工，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

根據(jù)弧長計算公式，完成表2。在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長為l。并通過表格的補(bǔ)充，掌握弧長計算公式的應(yīng)用，幫小霞解決扇子花邊長度問題。

表2

設(shè)計意圖：學(xué)生利用弧長公式進(jìn)行表格解題的過程中，進(jìn)一步領(lǐng)悟了“知二求一”的方程思想，并學(xué)會思考問題的方法。設(shè)計與實(shí)際相關(guān)的問題，引導(dǎo)學(xué)生解決。學(xué)生明白數(shù)學(xué)與日常生活密切相關(guān)，公式運(yùn)用并非只是單純的計算數(shù)據(jù)，而要真正學(xué)以致用。

3.探究扇形面積的計算公式

類比弧長公式的探究，合作探究扇形面積的計算公式。

設(shè)計意圖：教師要求學(xué)生以小組合作的方式進(jìn)行推導(dǎo)探究。由扇形的定義可知扇形是圓面的一部分，扇形面積公式的生成類比弧長公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)方法。從特殊到一般的研究方法，理解部分與整體之間的關(guān)系，感受經(jīng)驗(yàn)和知識之間相互轉(zhuǎn)化，體會學(xué)習(xí)方法的遷移和應(yīng)用，從而更好地促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

扇形面積公式的辨析：學(xué)生類比弧長公式的辨析自主進(jìn)行扇形面積公式的辨析，教師進(jìn)行引導(dǎo)和完善。

設(shè)計意圖：類比弧長公式的辨析由學(xué)生自主進(jìn)行扇形面積公式的辨析，讓他們進(jìn)一步感受經(jīng)驗(yàn)和知識之間相互轉(zhuǎn)化，體會學(xué)習(xí)方法的遷移和應(yīng)用；加深了對“類比”“方程”“函數(shù)”等數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)一步領(lǐng)悟，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想方法，提高思維能力。

學(xué)生類比弧長公式的應(yīng)用中教師設(shè)計的表格，小組合作探究設(shè)計扇形面積公式的應(yīng)用表格并填寫該表格，最后小組匯報成果。探討教材例題和例題變式中扇形面積計算公式的應(yīng)用，并幫小霞解決扇面裝飾問題。

設(shè)計意圖：學(xué)生運(yùn)用類比的方法進(jìn)行扇形面積公式的運(yùn)用學(xué)習(xí)。求“弓形面積”滲透了“轉(zhuǎn)化”思想，把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。再次聯(lián)系生活問題引導(dǎo)學(xué)生去解決，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的價值，真正體現(xiàn)“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，體會到成功的喜悅。

4.扇形面積公式與弧長公式的聯(lián)系

問題一：比較扇形面積和弧長公式，扇形面積和弧長都與哪些量有關(guān)呢？能否用弧長來表示扇形面積呢？請寫出推導(dǎo)過程。

問題三：類比弧長公式的辨析自主進(jìn)行該公式的辨析。

問題四：S扇形、l、n、R這四個量，已知其中的幾個量可以求出其余的量呢？

設(shè)計意圖：設(shè)計問題串，以融會貫通的方式對數(shù)學(xué)公式進(jìn)行組織整合，盡可能地體現(xiàn)公式本質(zhì)之間的聯(lián)系，掌握公式之間內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)條件和機(jī)會，讓他們建構(gòu)出自己的知識結(jié)構(gòu)，并不斷將其優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的深度學(xué)習(xí)。

5.體會分享，課堂小結(jié)

本節(jié)課你有什么收獲？

設(shè)計意圖：深度學(xué)習(xí)蘊(yùn)含理解、總結(jié)和反思的過程，學(xué)生從知識和方法上進(jìn)行多角度的總結(jié)和梳理，培養(yǎng)學(xué)生善于反思的學(xué)習(xí)方式，為其后續(xù)新知的學(xué)習(xí)積累基本的活動經(jīng)驗(yàn)。

二、初中數(shù)學(xué)公式教學(xué)中深度學(xué)習(xí)的思考

（一）應(yīng)精心設(shè)計問題情境和問題串，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突和深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)往往是枯燥無味的，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)公式教學(xué)一般停留在對學(xué)生數(shù)學(xué)公式的記憶和技能的熟練與重復(fù)，學(xué)生學(xué)起來索然無味，更談不上思維能力的發(fā)展。從學(xué)生身邊熟悉的現(xiàn)象出發(fā)精心設(shè)計問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和求知欲；基于學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，站在學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”精心設(shè)計層層遞進(jìn)的問題串，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突和深度思考。

（二）應(yīng)給學(xué)生足夠的時間和空間對公式的生成進(jìn)行探究和深度學(xué)習(xí)

教學(xué)過程是一種特殊的認(rèn)知活動，更是一種情感過程、探究過程和體驗(yàn)過程。數(shù)學(xué)探究教學(xué)是以探究數(shù)學(xué)問題為主的教學(xué)，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識并培養(yǎng)探究能力的有效途徑。合作探究式教學(xué)作為一種重要的教學(xué)形式，日益凸顯出它的優(yōu)越性，也得到了教育界廣泛的認(rèn)可與推廣。以往的公式教學(xué)側(cè)重于記憶應(yīng)用公式，忽略了公式的探索過程。學(xué)生死記硬背、生搬硬套，不會靈活運(yùn)用公式。學(xué)生只有真正理解了公式的本質(zhì)，才能活學(xué)活用。教學(xué)中，放手讓學(xué)生通過設(shè)計表格、填寫表格、小組討論等活動進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了公式的生成過程，形成了積極的情感體驗(yàn)和對公式的正確認(rèn)識、理解，而不是只看到“冰冷”的公式。在探究過程中，學(xué)生找到了公式探究的一般方法，在學(xué)習(xí)中學(xué)會類比數(shù)學(xué)方法，在對比中進(jìn)行學(xué)習(xí)、成長，既是對已有思想方法的回顧，也是探索新公式的必經(jīng)之路。在課堂教學(xué)過程中，教師要學(xué)會放手，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，重視學(xué)生是思考過程和想法，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力，通過學(xué)生自主探究、小組合作討論，逐步實(shí)現(xiàn)發(fā)展。

（三）應(yīng)注重對公式的辨析，激發(fā)深度學(xué)習(xí)

公式教學(xué)不僅要讓學(xué)生了解公式是怎樣獲得的，讓學(xué)生掌握公式本身，還要讓學(xué)生關(guān)注公式的變形及其應(yīng)用，理解公式變量之間的關(guān)系，對比公式與公式間內(nèi)在聯(lián)系和形態(tài)上的同構(gòu)，開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。在這個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)了發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（四）應(yīng)注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

在公式的生成探究、推導(dǎo)、辨析、應(yīng)用過程中，不僅包含了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗(yàn)，還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)基本思想，如“特殊到一般”“整體與部分”“類比”“方程”和“轉(zhuǎn)化”等。公式推導(dǎo)的過程不僅是對公式進(jìn)行強(qiáng)化的過程，更深層次的是對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉的過程。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，在實(shí)踐中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中感悟，在感悟中思維得到提升和發(fā)展；在類比學(xué)習(xí)中遷移能力得到提高，真正促進(jìn)了自身的深度學(xué)習(xí)，能夠綜合應(yīng)用所學(xué)知識去解決新問題。