祝恒佳,鄺晨陽,呂曉
(1.中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院,天津 300300;2.中國民航航空地面特種設(shè)備研究基地,天津 300300)
三線擺法作為測量物體轉(zhuǎn)動慣量的基本方法之一,因其相對簡單的實驗原理和較精確的測量結(jié)果而被廣泛應(yīng)用。在車輛、航空工程領(lǐng)域,發(fā)動機總成轉(zhuǎn)動慣量直接影響隔振系統(tǒng)設(shè)計、結(jié)構(gòu)件疲勞壽命分析,針對剛體轉(zhuǎn)動慣量的準確測量具有重要意義。
三線擺由上盤、下盤和3根連接上下盤的擺線組成。在實驗時,先使下盤繞質(zhì)心軸偏轉(zhuǎn)一個微小角度,而后釋放使其自由運動,測出扭擺周期,根據(jù)保守系統(tǒng)的機械能守恒定律,計算下盤繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量。
通常在使用三線擺時會將其視為理想三線擺,擺線為輕質(zhì)擺線,忽視其慣性參數(shù)對測量結(jié)果的影響。三線擺類似于單擺,其運動方程并非線性微分方程。而為了計算方便,常常將方程中的正弦函數(shù)近似一階線性化處理。對于理想三線擺,擺線長度越長,扭擺時下盤在豎直方向上的位移越小,依據(jù)相關(guān)的公式,不難得出擺長越長,精度越大的結(jié)論。但現(xiàn)實中擺線存在質(zhì)量,若將繃直的擺線視為均質(zhì)的剛性桿,其軸向的轉(zhuǎn)動慣量很小,而徑向的轉(zhuǎn)動慣量很大,在扭擺過程中擺線將獲得一部分機械能,并且擺線越長,其在系統(tǒng)中所占機械能比重也越大,對測量結(jié)果造成的誤差也隨之增大。當(dāng)擺線對測量造成的影響不可忽略時,應(yīng)針對擺線的影響具體分析。
為了解決三線擺的測量誤差問題,現(xiàn)有的辦法是在搭建三線擺之后對三線擺進行標定,改進三線擺的參數(shù)。根據(jù)唐曉峰給出的標定方法,選用兩個已知慣性參數(shù)的標準質(zhì)量塊置于下盤,使其質(zhì)心與上下盤質(zhì)心共線,分別測出扭擺周期,進一步可獲得改進后的下盤質(zhì)量和擺長。胡志強和胡勇搭建了測量動力總成的三線擺,對標定的結(jié)果進行了驗證,證實使用標定后的參數(shù)計算的轉(zhuǎn)動慣量的誤差均可達到1%以下。PREVIATI采取標定非線性微分方程參數(shù)的方法,將運動方程用泰勒公式展開到四階,用最小二乘法求得該三線擺在特定擺幅下的轉(zhuǎn)動慣量計算公式;經(jīng)過實驗驗證,該方法同樣能將誤差控制在1%以下,且對于大擺角振蕩同樣具有很高的精確性。以上方法只針對特定的三線擺進行標定,更換三線擺后需要重新標定,并沒有深入討論擺線在三線擺系統(tǒng)中能量轉(zhuǎn)化層面的影響。并且PREVIATI的方法較為復(fù)雜,在小擺角的實驗中,運動方程高階展開帶來的精度提升并不顯著。葛宇宏、葛志利首次研究了擺線質(zhì)量對測量的影響,從能量的角度對擺線的運動進行近似分析,通過哈密頓原理推導(dǎo)了包含擺線參數(shù)的轉(zhuǎn)動慣量計算公式,證明其公式對精度的提升作用。一般物理實驗使用的三線擺通常尺寸較小,使用細金屬絲作為擺線材料,擺線質(zhì)量可以忽略不計。而發(fā)動機動力總成質(zhì)量多為幾百公斤,在設(shè)計三線擺時通常會選用鋼絲繩作為擺線材料,其長度和密度均很大,勢必會對測量產(chǎn)生影響。
本文作者將采用不同于葛宇宏等的方法研究擺線的運動,將擺線視為直徑足夠小的剛性桿,從能量守恒的角度推導(dǎo)出考慮擺線質(zhì)量參數(shù)的剛體轉(zhuǎn)動慣量測量的改進公式,與葛宇宏等的計算方法相比更為簡便。本文作者還研究了一種可行的三線擺建模方法,采用虛擬樣機技術(shù)在ADAMS/View環(huán)境建立三線擺虛擬實驗平臺,使用該模型對文中提出的測量改進方法進行驗證,并進一步研究了擺線的線密度和長度對測量誤差的影響規(guī)律。
剛體慣性參數(shù)三線擺測量模型的原理如圖1(a)所示,和分別表示上盤和下盤半徑,為上下盤圓心距離,3根擺線的長度均為,且懸掛點之間以120°角分布。測量前,將三線擺下盤轉(zhuǎn)過微小角度,此時下盤上升微小高度,如圖1(b)所示,可得
(1)
式中:
=-=-(-)
(2)
′=′-′′=-(+-2cos)
(3)
圖1 三線擺模型示意
對于分母項,由于微小高度遠小于,可得
+′=2-≈2
(4)
將式(2)—式(4)代入式(1),則
(5)
忽略空氣阻力,將三線擺系統(tǒng)視為保守系統(tǒng),在扭擺過程中機械能守恒,定義平衡位置的勢能為0,忽略扭擺過程中豎直方向的平動動能,列出能量守恒公式
(6)
式中:表示下盤關(guān)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量;表示下盤的質(zhì)量;為機械能常數(shù)。當(dāng)下盤轉(zhuǎn)到最大轉(zhuǎn)角,此時動能∑=0,勢能∑達到最大,根據(jù)式(5)中和的關(guān)系,有
(7)
聯(lián)立式(6)和式(7),將d單獨放在等式左邊,可得
(8)
對式(8)兩邊積分,得到周期的計算公式
(9)
整理可得實驗中被測剛體的轉(zhuǎn)動慣量
(10)
實驗測量中需測量空載時下盤回轉(zhuǎn)周期,從而計算下盤的轉(zhuǎn)動慣量;然后測量帶被測物體下盤的周期,由此算出下盤和物體總轉(zhuǎn)動慣量,減去下盤的即為被測物體的轉(zhuǎn)動慣量
(11)
式中:為被測剛體質(zhì)量;為下盤質(zhì)量;為物體關(guān)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。在測量時應(yīng)確保被測剛體質(zhì)心位于下盤的旋轉(zhuǎn)軸線上,如圖2所示。
圖2 三線擺實驗簡圖
當(dāng)被測剛體較大,為了滿足承載要求,擺線可能設(shè)計得較粗,此時擺線質(zhì)量對被測剛體轉(zhuǎn)動慣量測量結(jié)果的影響不能忽略??紤]在低速運動狀態(tài)下,擺線始終保持拉伸繃直狀態(tài),可將擺線當(dāng)做桿進行分析計算,擺線上的各點速度大小呈線性分布,如圖3所示,最下端點的速度即為下盤外徑線速度,最上端點與上盤連接,速度為0。在微小擺角的情況下,認為速度方向始終垂直于桿方向。下盤擺動角速度為,半徑為,有
=
(12)
圖3 擺線速度分布
設(shè)桿的線密度為,微元d的動能為
(13)
當(dāng)下盤轉(zhuǎn)過角度,微元的重力勢能為
(14)
對式(13)和式(14)兩邊積分,得到單根擺線的動能和勢能分別為
(15)
(16)
綜上,列出能量守恒公式
(17)
當(dāng)下盤轉(zhuǎn)動到最大角度,此時動能∑=0,勢能∑達到最大,有
(18)
類似地,聯(lián)立式(17)和式(18)并積分,整理可得改進后的被測剛體轉(zhuǎn)動慣量為
(19)
實際測量物體時需要測量空載和負載兩種情況下周期,與上一小節(jié)所述方法類似,被測物體的轉(zhuǎn)動慣量為
(20)
和式(11)相比,式(20)在計算被測剛體轉(zhuǎn)動慣量時考慮了擺線參數(shù)的影響,其中“”表示單根擺線的質(zhì)量。
如圖4所示,在ADAMS/View中建立三線擺虛擬樣機測試平臺,上盤和下盤材質(zhì)均勻分布,半徑均為600 mm,上下盤間距6 000 mm,通過3根擺線相連接,擺線連接點在上下圓盤上呈120°分布。李永波、魏禹將圓柱形繩索離散為若干小段通過彈性襯套相互連接,研究繩索的動力學(xué)特性。擺線用Cable模塊進行建模,由于該模塊要求繩索至少需要穿過1個滑輪,故將3個滑輪固定于上盤,3根Cable上端連接于上盤中心位置并與上盤固定,如圖5所示?;喤cCable上半段跟隨上盤運動,實際上不因參與扭擺而影響測量結(jié)果。設(shè)計下盤最大載質(zhì)量1 000 kg左右,所需擺線最小破斷拉力大于10.2 kN。選用鋼絲繩作為擺線材料,根據(jù)GB/T 9944—2015可知公稱直徑8.0 mm的6×19-WSC鋼絲繩最小破斷拉力為36.1~40.1 kN,參考質(zhì)量為25.8 kg/100 m,具體參數(shù)見表1。
圖4 三線擺虛擬樣機模型
圖5 滑輪-繩索建模
表1 三線擺參數(shù)
被測剛性質(zhì)量塊的質(zhì)心位于下盤軸線上,如圖6所示。從模型中能直接獲取其慣性參數(shù)作為基準值:質(zhì)量=561.672 kg,關(guān)于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量=2.434×10kg·mm,以此對此改進的三線擺測量方法進行驗證??紤]小角度下的扭擺情況,令=5°,設(shè)置步長0.001 s。在上盤的質(zhì)心處添加一個旋轉(zhuǎn)驅(qū)動,設(shè)置階躍函數(shù),使上盤在0.1 s內(nèi)產(chǎn)生5°的角位移,帶動下盤扭擺,獲取空載和負載兩種工況下的扭擺周期和,由此計算物體的轉(zhuǎn)動慣量。
圖6 被測剛體質(zhì)量塊模型
(1)不考慮擺線慣性
將Cable參數(shù)中的Inertia開關(guān)設(shè)為off,此時擺線質(zhì)量為零即=0,仿真得到下盤角位移-時間曲線,如圖7所示。
圖7 角位移變化曲線(忽略擺線質(zhì)量)
取前10個周期,通過空載和負載工況下盤角位移的峰值時間,可計算得到和分別為3.475 s和1.852 s,代入公式(11),有
(21)
(2)考慮擺線慣性
將Cable參數(shù)中的Inertia開關(guān)設(shè)為on,仿真得到的下盤的角位移-時間曲線見圖8。同樣地,根據(jù)前10個周期的峰值時間,可獲得和分別為3.970 s和1.984 s。代入式(11),得
=2504×10kg·mm
(22)
(23)
式中:為在模擬現(xiàn)實工況下根據(jù)公式(11)的計算結(jié)果;為誤差。而將和代入式(20),已知=1.548 kg,得
=2469×10kg·mm
(24)
(25)
式中:為改進后根據(jù)公式(20)的計算結(jié)果;為誤差。
結(jié)果表明文中提出的改進的三線擺測量方法可有效降低剛體轉(zhuǎn)動慣量的測量誤差。
圖8 角位移變化曲線(考慮擺線質(zhì)量)
根據(jù)式(19)和(20)可知,若假設(shè)擺線直徑相同、材質(zhì)均勻,則對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的擺線參數(shù)包括線密度和長度。下面通過仿真對這兩個參數(shù)分別進行靈敏度分析虛擬實驗。
在三線擺虛擬樣機模型中,保持擺線長度為6 000 mm,更改材料密度參數(shù),進行多次仿真。下盤和物體總質(zhì)量約為600 kg,鋼絲繩破斷拉力需在6 kN以上,由此設(shè)置擺線模型的參考質(zhì)量區(qū)間為10~60 kg/100 m,仿真結(jié)果見表2??梢钥闯?,改進前、后的測量結(jié)果誤差與擺線的線密度近似呈線性關(guān)系:
=(127157-0003 19)×100
=(63506-0001 35)×100
式中:的單位為kg/mm。
若要提高測量的精度,應(yīng)在不影響結(jié)構(gòu)安全的情況下盡量選擇線密度更小的擺線材料。另外觀察到改進后的公式相較于不考慮擺線影響的測量結(jié)果誤差下降50%左右,即便是該范圍內(nèi)最大線密度60 kg/100 m的鋼絲繩,測量誤差也從改進前的7.391%下降為3.689%,對精度的提升十分明顯。
表2 不同ρ值下的仿真結(jié)果
保持擺線的線密度為25.8×10kg/mm不變,更改擺線長度,進行多次仿真實驗。設(shè)置擺線長度區(qū)間為2 000~8 000 mm,仿真結(jié)果見表3??梢钥闯?,在實際測量中,擺線并非越長越好。在≤3 000 mm時,擺線越長,所引起的測量誤差越?。怀鲞@個范圍,誤差隨著的增大而增大,但改進后的公式對于誤差的降低作用依然明顯。針對該模型參數(shù),最佳的擺線長度在3 000 mm附近,分析結(jié)果可以指導(dǎo)實驗設(shè)計。
表3 不同L值下的仿真結(jié)果
基于能量守恒定律推導(dǎo)了考慮擺線質(zhì)量參數(shù)時的三線擺剛體轉(zhuǎn)動慣量計算方法。在ADAMS/View中建立了測量大質(zhì)量物體轉(zhuǎn)動慣量的三線擺虛擬樣機測試模型,通過虛擬實驗驗證三線擺計算方法的正確性,并揭示了擺線線密度和長度對測量精度的影響規(guī)律。整體上,改進后的計算方法比不考慮擺線影響的測量結(jié)果誤差約降低50%左右。為了提高三線擺法測量精度,可在許可范圍內(nèi)盡可能選取較小的擺線密度和最優(yōu)的擺線長度,文中方法可指導(dǎo)實驗平臺設(shè)計。