郭計云，賈權(quán)，郭巨壽，張艷崗

(1.山西大同大學機電工程學院，山西大同 037003；2.北方通用動力集團有限公司，山西大同 037036；3.中北大學能源與動力工程學院，山西太原 030051)

0 前言

等效靜態(tài)載荷法(Equivalent Static Load Method，ESLM)的提出為結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化提供了一種新的解決方法。然而傳統(tǒng)的ESLM基本上研究的是單一動態(tài)機械載荷作用下的等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化方法，但是實際大部分機械結(jié)構(gòu)都是在多個物理場共同作用下工作的，因此多種載荷共同作用下的優(yōu)化問題成為困擾眾多學者的難題。為此，Jaehun LEE博士在歐洲計算流體動力學國際會議中，首次提出等效靜態(tài)載荷法解決大規(guī)模結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化問題時不應該僅僅局限于一個物理場，可推廣到流-固耦合傳熱和聲學結(jié)構(gòu)耦合場中。對此，眾多學者就機械結(jié)構(gòu)的熱-結(jié)構(gòu)耦合分析及優(yōu)化以及熱等效進行了深入的研究。

高建輝等將遺傳算法與“窮舉搜索法”結(jié)合，采用二步遞進策略對火焰筒浮動瓦塊結(jié)構(gòu)進行了熱-結(jié)構(gòu)耦合分析及優(yōu)化，結(jié)果證實這種優(yōu)化方法在瓦塊熱-結(jié)構(gòu)耦合優(yōu)化中的正確性。李昱霖等利用強弱耦合關(guān)系簡化了氣-動-熱耦合問題，建立了氣-動-熱多學科集成分析平臺，針對不同學科耗時問題，采用了增廣的自適應響應面優(yōu)化策略完成了氣-動-熱多學科設(shè)計優(yōu)化，在提高顫振速度的同時，使升力面結(jié)構(gòu)質(zhì)量降低。唐先龍對排期歧管進行了僅考慮機械載荷、僅考慮熱載荷以及熱-結(jié)構(gòu)耦合分析，結(jié)果證明熱載荷對于排氣歧管的破壞起到主導作用，在分析時不可忽略，并最終對排氣歧管進行了相應的優(yōu)化，優(yōu)化后應力以及塑性變形都有所減小。劉云飛等利用單元節(jié)點整體坐標直接計算單元等效節(jié)點熱載荷積分方程中所需要的未知量，為節(jié)點熱載荷等效提供了一種新方法。胡向東、任輝在較早提出了溫度場等效的思想，并以等效截面的溫度場等效整體溫度場。作為結(jié)構(gòu)動態(tài)響應優(yōu)化的有效途徑之一，等效靜態(tài)載荷法在處理動態(tài)約束方面的優(yōu)勢、解決類似碰撞問題等高度非線性動態(tài)優(yōu)化問題的先進性和在求解非線性動態(tài)響應優(yōu)化問題時相比于響應面法的優(yōu)越性已被證明。HEDAYA等將疲勞損傷作為動態(tài)響應優(yōu)化的迭代收斂判據(jù)，改進了等效靜態(tài)載荷法；李永欣等提出一種基于模量比率因子的等效靜態(tài)載荷計算方法，有效解決了彈塑性材料的非線性問題，在提高等效精度的同時拓展了在非線性材料方面的應用邊界； XU等提出一種基于時域等效靜載荷的宏觀結(jié)構(gòu)材料分布和周期性微觀結(jié)構(gòu)并行的動態(tài)拓撲優(yōu)化方法；李明、湯文成利用等效靜態(tài)載荷法，研究了動態(tài)響應約束下的區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)可靠性拓撲優(yōu)化問題，拓展了ESLM的應用范疇；張艷崗等在其研究中提出了關(guān)鍵時間點識別方法和基于應變能原理的動態(tài)載荷等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化方法，并進一步將該方法推廣至工程實際應用。

從上述文獻看出，雖然對于熱載荷和機械載荷共同作用下的等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化研究較少，但是在理論研究和實際應用方面是得到驗證的，因此，研究熱載荷、機械載荷以及熱-結(jié)構(gòu)耦合載荷的等效轉(zhuǎn)化具有一定的可行性。鑒于大部分機械結(jié)構(gòu)在動態(tài)熱-結(jié)構(gòu)耦合作用下共同工作，研究此類問題、為動態(tài)響應優(yōu)化打下堅實的理論基礎(chǔ)迫在眉睫。

1 熱機耦合載荷等效計算理論

1.1 等效靜態(tài)載荷原理

等效靜態(tài)載荷原理：線性靜態(tài)分析中的結(jié)構(gòu)等效靜態(tài)載荷能夠產(chǎn)生與對應時刻結(jié)構(gòu)非線性動力學分析完全相同的系統(tǒng)響應場。動力學微分方程：

(1)

式中：為質(zhì)量矩陣；為阻尼矩陣；為剛度矩陣；為結(jié)構(gòu)位移、應力等響應結(jié)果；()為時刻外載荷向量。根據(jù)上述原理得到等效靜態(tài)載荷表達式：

()=()

(2)

式中：為等效靜態(tài)載荷作用下剛度矩陣；為動態(tài)載荷作用下每個時刻與之對應的等效靜態(tài)載荷。

具體等效原理如圖1所示。

圖1 等效靜態(tài)載荷法原理

由圖1已看出：動力學分析中計算時間步為+1步，在等效時，把每個時間步看成一個靜態(tài)工況，并且要求由第個等效靜態(tài)載荷的系統(tǒng)響應與對應時間步的動態(tài)響應相同。

1.2 熱機耦合等效機制

從溫度場和應變場的耦合問題入手，結(jié)合線性熱應力理論推導熱-力耦合問題的等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化。

假設(shè)彈性體在熱載荷和外界載荷作用下是一個緩慢增加的準靜態(tài)過程，因此忽略了加速度項以及溫度變化速度的影響。在此前提下熱傳導方程和平衡方程各自獨立，即溫度場導熱方程如式(3)：

(3)

熱彈性體導熱方程式，取和為獨立自變量，由赫姆霍爾茲自由能=-出發(fā)，兩端求偏導，同時根據(jù)式(4)

(4)

得出：

(5)

(6)

因此:

(7)

(8)

d=d+d+d

(9)

=d=d-d=d+d=

(10)

當Δ=-與相比非常小時，可近似省略Δ，則：

≈d+d

(11)

上式可寫為

(12)

式中：d為單位時間內(nèi)單元體積微元體與外界交換熱量，即熱流量。

另外，有三維模型平衡可知：

(13)

將式(13)代入(12)中得：

(14)

式(14)即為考慮熱彈性物體微元體變形后的導熱方程式(修正后的傅里葉熱傳導公式)，與式(8)比較發(fā)現(xiàn)右邊第二項是由變形功引起的附加項，也就意味著彈性體受到外界的熱載荷作用，其中一部分引起結(jié)構(gòu)溫度的上升，另一部分則轉(zhuǎn)化為彈性體的變形。相比傳統(tǒng)傅里葉公式多出的部分稱為溫度場和應變場的耦合項，體現(xiàn)了相互耦合作用。

對于熱機耦合等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化問題，將線性熱應力理論與等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化理論相結(jié)合，得出：

(15)

1.3 基于等效靜態(tài)載荷法的結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計流程

由基于位移的等效靜態(tài)載荷公式(2)可以看出，等效靜態(tài)載荷只有對結(jié)構(gòu)進行瞬態(tài)分析之后才能計算得到，說明通過等效靜態(tài)載荷計算的是已知的位移場。從這個角度來說，等效靜態(tài)載荷沒有任何意義，但是等效靜態(tài)載荷最終是運用到結(jié)構(gòu)優(yōu)化中去。優(yōu)化設(shè)計的具體步驟如圖2所示。

圖2 等效靜態(tài)載荷優(yōu)化設(shè)計流程

結(jié)構(gòu)在進行動力學分析后，通過選取關(guān)鍵時間點的關(guān)鍵位置點的應力、變形或應變能，通過等效靜態(tài)載荷法提取靜態(tài)載荷進行優(yōu)化。

2 算例驗證

2.1 簡單實體結(jié)構(gòu)驗證

圖3所示為一鋁合金實體結(jié)構(gòu)，在右端面施加動態(tài)壓力，在和處分別施加100 ℃和20 ℃的溫度。

圖3 鋁合金實體結(jié)構(gòu)

選取上表面全部節(jié)點，在Isight中進行等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化，選取NLPQL算法進行優(yōu)化，其優(yōu)化數(shù)學模型如式(16)所示,優(yōu)化迭代過程如圖4所示。

(16)

采用先分別等效熱載荷和機械載荷后耦合與先進行耦合分析再進行等效的誤差如圖5所示?？梢钥闯觯簩τ趧討B(tài)熱機耦合問題，耦合后再等效的精度高于先等效再耦合。因為對于熱機耦合問題，考慮到熱載荷和機械載荷相互內(nèi)在關(guān)系的影響，而先等效后耦合只是同一種載荷的線性疊加，沒有考慮到相互耦合作用，失去了一定的精度。然而對于一些大型的設(shè)備，不考慮不同載荷間的相互影響，先等效后耦合也是一種可以考慮的方法。但是對于文中熱機耦合等效選擇先耦合后等效的方法，并將其應用到工程實際結(jié)構(gòu)——某柴油機活塞上，進行該方法的有效性證明。

圖4 優(yōu)化迭代過程 圖5 兩種不同等效方法的誤差分析

2.2 實際應用

2.2.1 某柴油機活塞靜態(tài)優(yōu)化

選取典型受熱機耦合載荷作用零部件-發(fā)動機活塞為對象進行對比分析。為使分析更加符合活塞實際運轉(zhuǎn)工況，在Creo中建立活塞-連桿裝配體模型如圖6所示。

其中在Workbench中建立的活塞冷卻腔的參數(shù)化模型如圖7所示。

圖6 活塞連桿裝配 圖7 活塞冷卻室的參數(shù)化模型

活塞-連桿組中網(wǎng)格尺寸定義活塞尺寸為1.5 mm，其余部分設(shè)置為3 mm；網(wǎng)格劃分控制為四面體網(wǎng)格劃分，對接觸面的網(wǎng)格進行細化，定義尺寸為0.8 mm，整體劃分單元數(shù)276 154，節(jié)點數(shù)463 015。在活塞-連桿組裝配體問題中，由于存在摩擦接觸且摩擦因數(shù)與接觸面之間的潤滑情況、溫度以及濕度有關(guān)，因此將活塞銷孔與活塞銷和連桿小頭孔內(nèi)表面與活塞銷圓柱表面之間的摩擦因數(shù)設(shè)為0.12；設(shè)置接觸算法為罰函數(shù)法，因為這種算法對于非線性問題的收斂更加容易；活塞第一環(huán)槽和鑲?cè)υO(shè)置為綁定接觸，將其看成一體。活塞溫度場分析采用第三類邊界條件，最大壓力選取為=14.5 MPa，其分布情況如圖8所示。

圖8 活塞壓力負荷邊界條件

活塞靜態(tài)優(yōu)化以活塞的質(zhì)量最小為優(yōu)化目標，活塞冷卻腔尺寸作為設(shè)計變量，第一環(huán)槽溫度以及應力作為約束條件，構(gòu)建靜態(tài)優(yōu)化模型如式(17)所示：

min

s.t.≤[]

≤225 ℃

≤≤

(17)

式中：為活塞質(zhì)量；[]為活塞材料許用應力值；表示第一環(huán)槽溫度，不超過機油結(jié)焦溫度225 ℃；表示冷卻腔設(shè)計變量，、分別表示設(shè)計變量上下限。

采用響應面法進行優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化算法選擇多島遺傳算法。優(yōu)化后的模型如圖9所示。

圖9 活塞靜態(tài)優(yōu)化模型

靜態(tài)優(yōu)化前后質(zhì)量和冷卻腔參數(shù)變化如表1所示。

表1 活塞靜態(tài)優(yōu)化前后比較

活塞靜態(tài)優(yōu)化后變形和應力都小幅度增大，質(zhì)量減少了1.88%。由此可知，對于靜態(tài)優(yōu)化的優(yōu)化裕度比較小。

2.2.2 基于ESLM活塞動態(tài)優(yōu)化

等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化方法借鑒基于能量等效靜態(tài)載荷法，將位移和應力同時作為等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化指標，選取關(guān)鍵節(jié)點位移和應力如圖10所示。

圖10 關(guān)鍵節(jié)點和應力

等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化數(shù)學模型如式(18)所示：

(18)

圖11 迭代收斂性曲線

從圖11可以看出：Isight中優(yōu)化歷程共迭代1 000步，收斂過程目標值不斷減少，范圍波動也隨著優(yōu)化進程越來越小，最終得到最優(yōu)解。等效載荷如表2所示。

表2 優(yōu)化后活塞各區(qū)域的等效靜載荷值

從圖12和圖13可以看出：對于等效前后的關(guān)鍵位置點的最大等效應力值和最大位移值的最大誤差均處于3%左右，在合理范圍內(nèi)。

圖12 關(guān)鍵點應力比較

圖13 關(guān)鍵點位移比較圖

對于基于ESLM活塞動態(tài)優(yōu)化數(shù)學模型同靜力學相同，基于等效靜態(tài)載荷法優(yōu)化后的數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 基于等效靜態(tài)載荷法動態(tài)優(yōu)化前后比較

由表3可以看出：相比優(yōu)化前，優(yōu)化后質(zhì)量減少了4.7%，最大等效應力及變形有所增大，但都在材料和結(jié)構(gòu)允許范圍內(nèi)，并且較靜態(tài)優(yōu)化結(jié)果在活塞輕量化方面提高了4%，因此基于等效靜態(tài)載荷法的動態(tài)優(yōu)化設(shè)計要優(yōu)于單純極限工況下的靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計。

3 結(jié)論

本文作者探索基于等效靜態(tài)載荷法的動態(tài)響應優(yōu)化方法在熱-結(jié)構(gòu)耦合場的應用，將熱彈性理論與等效靜態(tài)法結(jié)合，首先從理論角度推導了熱載荷-機械載荷耦合作用下的動態(tài)載荷等效靜態(tài)轉(zhuǎn)化機制，并以實體橫梁結(jié)構(gòu)作為算例進行驗證，通過對比等效前后節(jié)點位移值，驗證了等效理論在熱物理場、熱-結(jié)構(gòu)耦合物理場下同樣適用，為基于ESLM的熱機耦合結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。并以典型受瞬態(tài)熱機耦合結(jié)構(gòu)-柴油機活塞為研究對象，通過活塞熱機耦合瞬態(tài)動力學分析，提取了16個關(guān)鍵位置點的應力、位移，進行了等效轉(zhuǎn)化計算。通過與動態(tài)載荷作用結(jié)果對比分析表明：等效轉(zhuǎn)化前后考察區(qū)域的最大等效應力誤差在3%以內(nèi)，最大位移誤差在2%以內(nèi)，等效轉(zhuǎn)化結(jié)果可信。進一步對比分析了活塞熱——機載荷作用下的靜態(tài)優(yōu)化和基于ESLM動態(tài)優(yōu)化，結(jié)果表明：兩種優(yōu)化后的活塞變形、應力以及第一環(huán)槽的溫度結(jié)果相近，但基于ESLM動態(tài)優(yōu)化比靜態(tài)優(yōu)化活塞質(zhì)量降低了4.7%。研究結(jié)果充分證明了基于ESLM動態(tài)優(yōu)化方法的優(yōu)越性。