張河源

(廣東省廣州市增城區(qū)教師發(fā)展中心，511300)

錯(cuò)解是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中十分寶貴的資料,也是教師教學(xué)過(guò)程中有效的教學(xué)資源.教師利用好錯(cuò)解資源，仔細(xì)分析錯(cuò)因，就能既幫助學(xué)生根治病癥，又有助于教師自己提高教學(xué)水平.筆者利用閱卷之便，全面收集與分析廣州2021年中考數(shù)學(xué)第22題的典型錯(cuò)解,進(jìn)行歸因分析，樂(lè)與同行分享．

一、原題呈現(xiàn)

如圖1,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),且AC=AD.

(1)尺規(guī)作圖:作∠CAD的平分線AF,交CD于點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF;

(保留作圖痕跡,不寫作法.)

(2)在(1)所作的圖中,若∠BAD=45°,且∠CAD=2∠BAC,求證:?BEF為等邊三角形.

二、簡(jiǎn)解

(1)圖2為所求作的圖形.

(2)證明:∵∠BAD=45°,

∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30°, ∠BAC=15°.

∵AC=AD,A

F是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,∠AFC=90°.

∴∠BAF=30°.

∵∠AFC=90°,∠ABC=90°,

∴∠AFC+∠ABC=180°,

∴點(diǎn)B,A,F,C四點(diǎn)共圓,AC為直徑.

∴EF=EB,∠BEF=2∠BAF=2×30°=60°,

∴?BEF為等邊三角形.

三、 典型錯(cuò)誤與分析

第(1)問(wèn)尺規(guī)作圖,比較簡(jiǎn)單,學(xué)生作答較好.主要錯(cuò)誤出現(xiàn)在第(2)問(wèn),筆者調(diào)閱試卷，發(fā)現(xiàn)主要有以下五種典型錯(cuò)解．

錯(cuò)解1(2)證明:∵∠BAD=45°,∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30°， ∠BAC=15°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,

∴∠BAC=∠FAC=15°,

∴EB=EF.

錯(cuò)因分析學(xué)生對(duì)“點(diǎn)到直線的距離”理解出錯(cuò),誤把“EB，EF”當(dāng)成“∠BAC的平分線一點(diǎn)E到∠BAC的兩邊AB，AF的距離”,導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論“EB=EF”．

錯(cuò)解2

(2)證明:∵∠BAD=45°,

∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30°， ∠BAC=15°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,

∴∠BAC=∠FAC=15°,

∴AC是∠BAC的角平分線.

∵∠ABC=90°,∴CB=CF.

錯(cuò)因分析學(xué)生對(duì)“角平分線的性質(zhì)定理”理解出現(xiàn)偏差,誤把一個(gè)平分“AC是∠BAC的角平分線”和一個(gè)垂直“∠ABC=90°”當(dāng)成“角平分線性質(zhì)定理中的兩條件一平分兩垂直”,導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論“CB=CF”．

錯(cuò)解3

(2)證明:∵∠BAD=45°,

∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30°, ∠BAC=15°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,

∴∠BAC=∠FAC=15°.

在 Rt?ABC中,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

∴以點(diǎn)E為圓心,BE為半徑作⊙E,

∴點(diǎn)B，A，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓.

∴EB=EF,∠BEF=2∠BAF=2×(∠BAC+∠CAF)=2×30°=60°.

∴?BEF為等邊三角形.

錯(cuò)解4

(2)∵∠BAD=45°,且∠CAD=2∠BAC,

再由∠CAD+∠BAC=∠BAD,

得∠BAC=15°,∠CAD=30°.

∵∠ABC=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),

∴∠ABE=∠BAE=15°.

在?ABE中,

∠BEC=∠ABE+∠BAE=30°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴CF=DF,即F為CD中點(diǎn).

∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),

∴∠EFA=∠FAD=15°.

∵AB=AF，

=75°，

∴∠EFB=∠AFB-∠EFA=60°.

∴EF=BE.

∴?BEF為等邊三角形.

錯(cuò)解5

(2)證明:∵∠BAD=45°,

∠CAD=2∠BAC,

∠CAD+∠BAC=∠BAD,

∴∠CAD=30° ∠BAC=15°.

∵AC=AD,AF是∠CAD的平分線,

∴∠FAE=∠FAD=15°,

∴∠BAC=∠FAC=15°.

在?ACF和?ADF中，

∴?ACF≌?ADF，

∴∠AFC=∠AFD=90°，

∴AF⊥CD.

在?ABC和?AFC中，

∴?ABC≌?AFC，

∴BC=FC，AB=AF，

∴AC是BF的垂直平分線，

∴EB=EF.

四、干預(yù)錯(cuò)誤發(fā)生的應(yīng)對(duì)策略

出錯(cuò)不可怕,重復(fù)出錯(cuò)才可怕．為避免學(xué)生在類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題上再出錯(cuò)誤,教師務(wù)必深入剖析數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)出錯(cuò)的成因,抓住問(wèn)題的癥結(jié),采取有效的教學(xué)手段提前干預(yù)．針對(duì)廣州市中考21題出現(xiàn)的五種典型錯(cuò)誤及其原因,我們提出提前干預(yù)錯(cuò)誤發(fā)生的應(yīng)對(duì)策略建議．

針對(duì)錯(cuò)誤1,建議注重?cái)?shù)學(xué)概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)思維形式的判斷與推理是以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái),而數(shù)學(xué)概念則是基礎(chǔ)．正確地理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念,是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提．?dāng)?shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、表達(dá)等思維活動(dòng)．

例如,教師在教學(xué)“點(diǎn)到直線的距離”.

首先,讓學(xué)生畫一條直線l與直線l的一點(diǎn)P,連結(jié)點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)O，A1，A2，A3….其中PO⊥l(如圖3).

其次,讓學(xué)生比較線段PO,PA1,PA2,PA3…的長(zhǎng)短,并問(wèn)學(xué)生,這些線段中,哪一條最長(zhǎng)?哪一條最短?讓學(xué)生充分感受知識(shí)的生成．

再次,讓學(xué)生給出概念“直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫做點(diǎn)到直線的距離”,強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞“垂直的線段”,讓學(xué)生識(shí)圖,畫圖,辯圖,在畫圖中理解線段與線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,增強(qiáng)對(duì)圖形的觀察能力和鑒賞能力,培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的素養(yǎng)．

最后,給出其性質(zhì)“垂線段最短”．

針對(duì)錯(cuò)誤2，3,建議注重幾何定理的教學(xué)

幾何定理是證明過(guò)程的基本單位與邏輯推理的依據(jù),教師在教學(xué)中可采用“自主探究法”．

如教師教學(xué)“角的平分線的性質(zhì)定理”.

首先讓學(xué)生畫出∠AOB的平分線OC,在OC上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P畫出OA，OB的垂線,分別記垂足為D，E,測(cè)量PD，PE并作比較,得到什么結(jié)論?在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試,通過(guò)以上測(cè)量,你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)?讓學(xué)生猜想角的平分線的性質(zhì),寫出命題“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”．

其次,讓學(xué)生找出命題的題設(shè)與結(jié)論,題設(shè)用直線標(biāo)識(shí),結(jié)論則波浪線標(biāo)識(shí),并突出本質(zhì)部分“角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離”,根據(jù)題設(shè)與結(jié)論寫出“已知”和“求證”,并要求學(xué)生自主探究命題的證明過(guò)程,堂上分享．

再次,讓學(xué)生用幾何語(yǔ)言寫出定理的內(nèi)容.

∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,PE⊥OB，

∴PD=PE.

教師強(qiáng)調(diào)定理的條件是“一平分兩垂直”,結(jié)論為“一相等”,尤其是“垂直”,為此教師可以設(shè)置一些反例讓學(xué)生辯識(shí),達(dá)到較佳效果．

最后,用類似的方法讓學(xué)生“自主探究”定理的逆定理“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”,進(jìn)一步體驗(yàn)定理與逆定理的學(xué)習(xí)過(guò)程,加深定理之間的區(qū)別與聯(lián)系．

又如，教師在教學(xué)“三角形外接圓”.

首先,給學(xué)生思考“經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C能不能作圓,如果能,可以作出符合條件的圓有多少個(gè)?如何確定所作圓的圓心與半徑?如果不能,說(shuō)明理由．”讓學(xué)生自主探索,然后小組交流,展示探究成果．

其次,教師利用幾何畫板,畫出經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A，B，C的圓,講清畫圖原理“因?yàn)樗蟮膱A要經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn),所以圓心到這三個(gè)點(diǎn)的距離必須要相等,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理可以得到,這個(gè)圓心必須在線段AB的垂直平分線上,又要在線段BC的垂直平分線上”．然后由學(xué)生動(dòng)手畫圖,并呈現(xiàn)畫圖的步驟．

再次,師生互動(dòng)交流后一致得出定理“不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”．進(jìn)而得出任意一個(gè)三角形都有外接圓．

最后,把結(jié)論“任意一個(gè)三角形都有外接圓”拓展,請(qǐng)問(wèn)“任意一個(gè)四邊形是否都有一個(gè)外接圓?”讓學(xué)生自主探究、動(dòng)手操作、猜想,辯論,學(xué)生暢所欲言,教師利用幾何畫板對(duì)學(xué)生的結(jié)論進(jìn)行一一驗(yàn)證,去偽存真,形成一致結(jié)論“只有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形才有其外接圓”．

針對(duì)錯(cuò)誤4，5,建議注重?cái)?shù)學(xué)邏輯推理的訓(xùn)練

有的學(xué)生在推理過(guò)程中,常常會(huì)出現(xiàn)跳步、條理不清、推理不順等.教師平時(shí)的教學(xué)中要重視學(xué)生邏輯推理能力的訓(xùn)練及空間想象能力的培養(yǎng)．