趙二女 王川龍 韓龍淑

(山西省太原師范學(xué)院,030619)

一、問(wèn)題提出

近年來(lái),“規(guī)律探索”題成為山西省中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)題型之一.“規(guī)律探索”型問(wèn)題是在一定條件下,探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問(wèn)題,它往往給出了一組變化的數(shù)、式子、圖形或條件, 要求學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、分析和猜想對(duì)材料信息進(jìn)行加工提煉,從而得出數(shù)學(xué)規(guī)律[1].目前山西省的中考數(shù)學(xué)試題中,“規(guī)律探索”題型主要包括圖形變化規(guī)律題、代數(shù)式變化規(guī)律題等.該類(lèi)題型設(shè)計(jì)新穎,沒(méi)有固定的步驟可以套用,需要學(xué)生仔細(xì)觀察,尋找題中蘊(yùn)含的規(guī)律，主要考察學(xué)生在觀察歸納基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象概括,發(fā)現(xiàn)和解決提出數(shù)學(xué)問(wèn)題.

二、山西省中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索題的主要類(lèi)型

1.圖形變化規(guī)律題

此類(lèi)問(wèn)題一般是探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形所具有的規(guī)律性問(wèn)題,往往給出一組變化了的圖形或條件,通過(guò)觀察、分析和猜想圖形的相同點(diǎn)或不同點(diǎn),找出圖形之間的變化規(guī)律,再將圖形的變化規(guī)律以數(shù)或式的形式反映出來(lái),從而得出圖形與數(shù)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系,歸納出圖形的變化規(guī)律,進(jìn)而解決相關(guān)問(wèn)題[2].此類(lèi)題考查學(xué)生的觀察聯(lián)想、歸納分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及幾何直觀素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

(2015年山西卷第12題)如圖1是一組有規(guī)律的圖案,它們是由邊長(zhǎng)相同的正方形和三角形鑲嵌而成.第(1)個(gè)圖案有4個(gè)正三角形,第(2)個(gè)圖案有7個(gè)三角形,第(3)個(gè)圖形有10個(gè)三角形,…依次規(guī)律,第n個(gè)圖案有______個(gè)三角形(用含n的代數(shù)式表示).

分析通過(guò)觀察,三角形的個(gè)數(shù)隨著圖案序號(hào)而變化,可以將圖案順序號(hào)和對(duì)應(yīng)圖案中三角形個(gè)數(shù)放在一起加以比較.還可以發(fā)現(xiàn),后一個(gè)圖案中三角形個(gè)數(shù)比前一個(gè)所給圖案的三角形個(gè)數(shù)多3個(gè).借助觀察分析,可以歸納得出一般規(guī)律,第n個(gè)圖案有4+3(n-1)個(gè)三角形,即3n+1個(gè)三角形.

表1 三角形變化規(guī)律表

(2016年山西卷第13題)如圖2是一組有規(guī)律的圖案,它們是由邊長(zhǎng)相等的小正方形組合成,其中部分小正方形涂有陰影,依此規(guī)律,第n個(gè)圖案有______個(gè)涂有陰影的小正方形(用含n的代數(shù)式表示)

分析在給出的圖案中容易發(fā)現(xiàn),涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)依次增加4個(gè),第一個(gè)圖案有5個(gè),第二個(gè)有5+4個(gè),第三個(gè)有5+4+4個(gè).再來(lái)看圖案順序號(hào)和對(duì)應(yīng)圖案中涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)的關(guān)系,我們把這兩個(gè)變量放在一起進(jìn)行分析:

圖案順序數(shù):1,2,3,…

涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù):5,5+4,5+4+4,…

可以發(fā)現(xiàn),涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)依次增加4個(gè),并且增加的涂有陰影的小正方形個(gè)數(shù)是對(duì)應(yīng)圖案順序數(shù)減1的4倍.因此,第n個(gè)就有5+4(n-1),即4n+1個(gè).

點(diǎn)評(píng)圖形變化規(guī)律題看上去圖形比較復(fù)雜,但實(shí)際上只是在原圖形基礎(chǔ)上有規(guī)律地增加得到新圖形.解決此類(lèi)問(wèn)題,需要學(xué)生認(rèn)真閱讀和觀察,調(diào)動(dòng)自身思維的活躍性,找到事物的變化規(guī)律,從而解答問(wèn)題.

2.代數(shù)式變化規(guī)律題

代數(shù)式變化規(guī)律題通常是給定一列數(shù)、式子或者等式,然后需要學(xué)生認(rèn)真觀察分析,體會(huì)數(shù)與式子中蘊(yùn)含的信息,通過(guò)不完全歸納法抽象出一般規(guī)律并將其以式子表達(dá)出來(lái).主要考察了學(xué)生的歸納推理能力和創(chuàng)新能力.

分析解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地抓住變與不變,尋找變量變化的一般規(guī)律而這些變量往往都是按照一定的順序給出,將式子和式子順序數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)進(jìn)行比較分析,容易從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律整理如表2.

表2 代數(shù)式變化規(guī)律表

(2004年山西卷第7題)觀察下列各式子:

請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用含有自然數(shù)n(n≥1)的代表式表示出來(lái)是______.

分析該題是典型的代數(shù)式變化規(guī)律題,給出一組算式,需要學(xué)生通過(guò)觀察算式的特點(diǎn),找到算式中的變量和不變量.題干中給出三個(gè)已知算式:

通過(guò)對(duì)上述三個(gè)算式的觀察,發(fā)現(xiàn)式子序數(shù)和對(duì)應(yīng)算式存在一定的聯(lián)系,以上三個(gè)算式可以改寫(xiě)成以下形式:

點(diǎn)評(píng)解答此類(lèi)題時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)式子進(jìn)行特征分析,找出它們的變量和不變量,然后猜測(cè)序號(hào)和其對(duì)應(yīng)式子的關(guān)系,再代入幾組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證.最后歸納得出一般結(jié)論.

三、教學(xué)啟示

1.充分挖掘教材中歸納推理的素材,發(fā)展學(xué)生的推理能力

規(guī)律探索題型的解答需要學(xué)生從觀察開(kāi)始,根據(jù)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn),從特例中抽象出共性,歸納得出一般規(guī)律,注重考察學(xué)生的推理能力.新課標(biāo)把推理能力作為初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一,推理能力是發(fā)展學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和理性精神的重要基石因此,教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材,積極開(kāi)發(fā)和利用各種教學(xué)資源，在重視雙基的同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力[3].

2.注重探索性學(xué)習(xí)活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)意識(shí)

波利亞在《怎樣解題》中將解題過(guò)程分為四階段：第一,理解題目；第二,擬定方案；第三,執(zhí)行方案；第四,檢查已經(jīng)得到的解答.波利亞指出,解答一個(gè)題目的關(guān)鍵是構(gòu)思解題方案的思路.對(duì)于規(guī)律探索題,方案的擬定需要學(xué)生對(duì)數(shù)感和符號(hào)敏感的直覺(jué),理解題中的數(shù)量關(guān)系.學(xué)生的數(shù)感體現(xiàn)在把數(shù)字、運(yùn)算的知識(shí)及其簡(jiǎn)便性運(yùn)用到需要用數(shù)字進(jìn)行推理的問(wèn)題解決中[4].這更加體現(xiàn)了數(shù)感和符號(hào)意識(shí)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要性.教師在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視對(duì)數(shù)感的培養(yǎng),通過(guò)引入貼近生活的實(shí)例或問(wèn)題驅(qū)動(dòng)等方式,提高學(xué)生觀察、分析的興趣,創(chuàng)造觀察和分析的機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)等方面的感悟.

3.以培養(yǎng)觀察猜想能力為抓手,啟迪學(xué)生的創(chuàng)造性思維

規(guī)律探索題的解答往往從觀察、猜想開(kāi)始,引導(dǎo)學(xué)生明確觀察的對(duì)象,保證觀察按照一定的方向和目標(biāo)進(jìn)行.如2004年山西卷第7題解答的關(guān)鍵就在于找到變量的變化規(guī)律,而這些變量是隨著序號(hào)的變化有規(guī)律地呈現(xiàn),把變量與序號(hào)放在一起作為研究對(duì)象進(jìn)行觀察有利于學(xué)生歸納出規(guī)律.如果觀察的目的不明確,就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.猜想是解答規(guī)律探索題的重要環(huán)節(jié),在得出結(jié)論前必須根據(jù)題中已有信息猜想出結(jié)論.再通過(guò)尋找證據(jù)證實(shí)猜想.猜想是進(jìn)行合情推理的前提,所以,學(xué)會(huì)猜想并具備猜想能力對(duì)解答規(guī)律探索題具有重要意義.猜想思維是創(chuàng)造性思維[5],教師可以通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的觀察猜想能力，運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的活躍性,教會(huì)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問(wèn)題,使創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)落到實(shí)處.