王 璐，代亞運(yùn)，陳 旸，林曉娟

(安徽工業(yè)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

1 引 言

城市道路上機(jī)動(dòng)車(chē)、行人、非機(jī)動(dòng)車(chē)間的干擾與沖突是引發(fā)眾多交通問(wèn)題的重要原因。無(wú)信號(hào)路口是城市道路路口最普遍的類(lèi)型之一，我國(guó)最新交通數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明在目前的各類(lèi)交通事故中，由機(jī)動(dòng)車(chē)造成的交通事故比例達(dá)到90以上，其中28%的交通事故發(fā)生在無(wú)信號(hào)路口。

在行人過(guò)街行為的研究方面，李春成根據(jù)行人的心理行為特征把過(guò)街行人分成穩(wěn)定型、半穩(wěn)定性型、不穩(wěn)定型、反常規(guī)型和自我認(rèn)可型共5種類(lèi)型，并對(duì)不同類(lèi)型的行人過(guò)人行橫道的心理進(jìn)行了對(duì)比分析；景超分析了行人過(guò)街的靜止空間、運(yùn)動(dòng)空間和心理空間，解釋了影響行人過(guò)街時(shí)的從眾行為、溢出行為和截短行為的原因。在行人過(guò)街交通流特性方面，李建新研究了混合交通條件下非機(jī)動(dòng)車(chē)對(duì)交通流的影響，并針對(duì)信號(hào)交叉口處的通行能力建立計(jì)算模型；黃文忠根據(jù)無(wú)信號(hào)控制人行橫道處行人和機(jī)動(dòng)車(chē)到達(dá)規(guī)律研究，得到計(jì)算無(wú)控制人行橫道處行人和機(jī)動(dòng)車(chē)延誤的數(shù)學(xué)模型，并給出了過(guò)街行人到達(dá)規(guī)律及其參數(shù)的計(jì)算方法；楊曉光通過(guò)對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)流量、行人流量、車(chē)道數(shù)、非機(jī)動(dòng)車(chē)流量數(shù)據(jù)的分析整理，運(yùn)用回歸方法建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

2 人車(chē)沖突演化博弈模型

2.1 博弈矩陣

博弈參與的主體為過(guò)街行人和機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員；博弈主體的策略為通行和讓行；行人與機(jī)動(dòng)車(chē)的博弈矩陣見(jiàn)表1。

表1 博弈矩陣

2.2 復(fù)制動(dòng)態(tài)方程

設(shè)行人選擇通行的概率為，機(jī)動(dòng)車(chē)選擇通行的概率為。行人選擇通行的期望收益和選擇讓行的期望收益分別為

=-1 000+(1-)

(1)

=(1-)+(1-)(1-)

(2)

行人以的概率選擇通行，以1-的概率選擇讓行的混合策略的期望收益為

=1+(1-)

(3)

機(jī)動(dòng)車(chē)選擇通行的期望收益1和選擇讓行的期望收益2分別為

1=-100+(1-)

(4)

2=(1-)+(1-)(1-)

(5)

機(jī)動(dòng)車(chē)以的概率選擇通過(guò)，以1-的概率選擇讓行的混合策略的期望收益為

=+(1-)

(6)

系統(tǒng)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程為

(，)=(-)=(1-)(-)

(7)

(，)=(-)=(1-)(-)

(8)

由式(1)，(2)，(4)，(5)得

(，)=(1-)[(-1 000--1+)++1-1]

(9)

(，)=(1-)[(-100--1+)++1-1]

(10)

3 演化均衡分析

3.1 均衡點(diǎn)的計(jì)算

式(9)-(10)為非線性微分方程組，求(，)=(，)=0所得解就是復(fù)制動(dòng)態(tài)方程(9)-(10)的均衡點(diǎn)，經(jīng)求解計(jì)算，得到5組解：

(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，

3.2 穩(wěn)定性分析

首先在式(9)-(10)均衡點(diǎn)處作Taylor展開(kāi)得近似線性方程；然后獲取該線性方程的系數(shù)矩陣(Jacobi矩陣)；最后計(jì)算Jacobi矩陣的行列式det()和跡tr()，判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。經(jīng)計(jì)算推導(dǎo)，得到

(11)

因此，

(12)

(13)

為了進(jìn)行均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，要將可能的均衡點(diǎn)全部代入(12)和(13)式中：分別計(jì)算人車(chē)博弈系統(tǒng)的不同均衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的雅克比矩陣的det()和tr()，見(jiàn)表2。

表2 均衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Jacobi矩陣的det(J)和tr(J)

表3 均衡點(diǎn)類(lèi)型判別

3.3 演化路徑分析

賦予(，)不同的初值，可以據(jù)此做出系統(tǒng)的演化路徑圖，見(jiàn)圖1。

圖1 演化路徑圖

系統(tǒng)演化路徑如圖1所示，絕大部分情形穩(wěn)定在點(diǎn)(0，1)，即人讓車(chē)；少數(shù)點(diǎn)穩(wěn)定在點(diǎn)(1，0)，即車(chē)讓人。

在人讓車(chē)的情形下，以初始點(diǎn)(0.9，0.6)為例進(jìn)行演化路徑分析，該線已標(biāo)為1-2-3-4。1號(hào)位置處(，)的取值約為(0.88，0.59)。在1號(hào)位置處，行人選擇通行的概率和機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員選擇通行的概率都比較大。此時(shí)，雙方都大概率得到非常大的負(fù)收益(行人大概率得到-1000收益值，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員大概率得到-100收益值)。由于行人得到的負(fù)收益值遠(yuǎn)小于機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員的負(fù)收益值，行人需要迅速減小通行的概率，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員也逐漸減小通行的概率，出現(xiàn)演化路徑1-2-3。3號(hào)位置處(，)的取值約為(0.07，0.53)，行人的期望收益為-46.28，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員的期望收益為-11.93，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員與行人的期望收益差為900+(+1-1)(-)。機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員將增大通行的概率來(lái)擴(kuò)大收益差，而行人將繼續(xù)減小通行的概率來(lái)縮小差距，因此演化路徑為3-4，最終穩(wěn)定在點(diǎn)(0，1)，即穩(wěn)定在“人讓車(chē)”的情形。

在車(chē)讓人的情形下，以初始點(diǎn)(0.9，0.2)為例進(jìn)行演化路徑分析，該線已標(biāo)為5-6-7-8-9。在5號(hào)位置處，行人選擇通行的概率較大，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員選擇通行的概率較小。此時(shí)，行人大概率得到收益值為1/e，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員大概率得到收益值為1-e。雙方為避免都選擇通行而得到更小的收益值，將都會(huì)減小通行的概率，即出現(xiàn)5-6-7-8的演化路徑。8號(hào)位置處(，)的取值約為(0.42，0.03)，當(dāng)約為0.42時(shí)，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員期望收益為-30.00-11.79，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員將繼續(xù)減小通行的概率增加自身收益值，而行人將增大通行的概率來(lái)縮小期望收益差，因此演化路徑為8-9，最終穩(wěn)定在點(diǎn)(1，0)，即穩(wěn)定在“車(chē)讓人”的情形。

據(jù)上所述，對(duì)于所有(，)的初始值，在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化后，最終都會(huì)收斂到(1，0)或(0，1)。其所表達(dá)的含義為，無(wú)論行人和機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員剛開(kāi)始選擇通過(guò)的概率為多少，其最終的發(fā)展趨勢(shì)都是“人讓車(chē)”或者“車(chē)讓人”。

4 小 結(jié)

本文首先建立了人車(chē)演化博弈的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程，然后計(jì)算了該演化系統(tǒng)的均衡點(diǎn)，分析了均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。最后給出人車(chē)博弈系統(tǒng)的演化路徑圖。在行人通過(guò)無(wú)信號(hào)控制路口時(shí)，當(dāng)行人與機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員沒(méi)有任何的信息交流，兩人的決策無(wú)法達(dá)到一致時(shí)，即行人與機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員是根據(jù)自己所得到的信息來(lái)進(jìn)行是否通行的決策時(shí)，無(wú)論行人和機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員剛開(kāi)始選擇通過(guò)的概率為多少，其最終的發(fā)展趨勢(shì)都是“人讓車(chē)”或者“車(chē)讓人”。