史憲銘，李 康，劉月河，姜廣勝，杜 凱

（陸軍工程大學石家莊校區(qū)，石家莊 050003）

0 引言

彈藥是戰(zhàn)斗力的物質(zhì)基礎，打仗沒有彈藥毫無辦法。國內(nèi)相關學者在彈藥消耗預測方面做了大量研究，對有效保障彈藥需求具有十分重要的意義。隨著科技的發(fā)展，武器的作戰(zhàn)性能和目標的防護性能也得到了一定發(fā)展，導致作戰(zhàn)過程中彈藥消耗影響因素也發(fā)生變化，對彈藥保障工作帶來了嚴峻挑戰(zhàn)。

目前，在分析彈藥消耗影響因素研究中，龔傳信等構(gòu)建了面向目標的彈藥消耗的影響因素體系，運用DEMATEL 方法定量分析了面向目標的彈藥消耗影響因素，其充分利用了專家的經(jīng)驗知識，找出了影響面目標的彈藥需求關鍵因素。李建華等基于模糊邏輯理論建立了彈藥消耗預計模型，定量分析了彈藥消耗影響因素，其通過建立彈藥消耗影響因素的隸屬度函數(shù)，綜合了彈藥消耗諸多因素。趙志寧等提出一種基于可拓優(yōu)度的聯(lián)合火力打擊陸軍彈藥消耗預測方案評估模型，通過建立因素重要程度模糊評判矩陣，深入分析了聯(lián)合火力打擊陸軍彈藥消耗影響因素。

上述彈藥消耗預測方法多利用專家打分、模糊評判等方法分析彈藥消耗影響因素，對影響因素的研究具有一定的主觀性和不準確性。主成分分析是一種多元統(tǒng)計分析方法，可以消除彈藥消耗影響因素彼此的相關影響，減少評價指標選擇的工作量?；貧w分析可以準確地計量各個彈藥消耗影響因素之間的相關程度與回歸擬合程度的高低，提高預測方程式的效果。因此，本文采用主成分分析法確定某裝甲武器彈藥消耗影響因素主成分，并對其進行了回歸分析，預測彈藥消耗量。

1 基于主成分的彈藥消耗影響因素分析

1.1 主成分分析基本模型

假定有n 個樣本，每個樣本有p 個指標變量，數(shù)據(jù)矩陣可以表示為：

由于對任意變量可作上述線性變換，得到的綜合變量Y 的統(tǒng)計特性也各不相同，為達到最好效果，系數(shù)u有如下約束：

1.2 主成分分析計算步驟

1）計算相關系數(shù)矩陣

式中，r為原變量x和x之間的相關系數(shù)，計算公式為：

2）計算特征值

特征方程為：

3）計算主成分貢獻率與累計貢獻率

主成分Y的貢獻率z為：

累計貢獻率為：

4）計算主成分載荷

主成分載荷計算公式為：

得到各主成分載荷后可進一步計算各主成分的得分。

1.3 基于主成分的彈藥消耗影響因素分析

由于彈藥消耗受到多重因素的影響，預計彈藥消耗是一個復雜的工作，需要先對彈藥消耗影響因素進行分析。從宏觀角度講，作戰(zhàn)樣式、作戰(zhàn)規(guī)模、作戰(zhàn)強度等都對彈藥消耗產(chǎn)生影響。本文立足彈藥-目標匹配的角度，以確定的某裝甲武器為研究對象，面向點目標，不涉及宏觀角度下的彈藥消耗影響因素，即在彈藥、目標以及毀傷程度確定的情況下考慮相關因素。隨著科技的進步，武器平臺的移動速度和目標的防護程度越來越影響彈藥的消耗，因此，本文選取武器與目標的距離、武器平臺的移動速度、目標的移動速度、目標規(guī)模、目標的防護程度和環(huán)境影響系數(shù)6 種彈藥消耗影響因素。

基于主成分的彈藥消耗影響因素如圖1 所示，分析步驟具體如下：

圖1 基于主成分的彈藥消耗影響因素分析步驟

1）選取相應的彈藥消耗影響因素，計算KMO（kaiser-meyer-olkin，表示檢驗統(tǒng)計量）等指標，比較變量之間的相關性，判斷數(shù)據(jù)是否適合主成分分析。

2）計算相關系數(shù)矩陣，分析彈藥消耗影響因素之間的相關關系。

3）計算協(xié)方差矩陣，分析各彈藥消耗影響因素協(xié)方差。

4）通過前面的分析確定彈藥消耗影響因素的主成分。

2 彈藥消耗量回歸分析方法

對彈藥消耗影響因素進行主成分分析后，得到了降維后的變量，消除了彈藥消耗各影響因素之間的相關關系，利用少數(shù)影響因素代替多個影響因素，同時又基本涵蓋原始彈藥消耗影響因素的作用。在實際彈藥消耗預計中，根據(jù)已有的數(shù)據(jù)，難以用一個精確的函數(shù)將變量聯(lián)系在一起，進而用回歸模型對彈藥消耗量進行回歸分析。

2.1 彈藥消耗量多元線性回歸分析

所謂回歸分析方法，即利用統(tǒng)計方法建立因變量和自變量的關系，根據(jù)提供的自變量，研究因變量的變化，可以用于預計分析。線性回歸分為一元線性回歸和多元線性回歸，以自變量的數(shù)量區(qū)分。本文中彈藥消耗影響因素有多種，故選取多元線性回歸。

視彈藥消耗量為因變量y，各彈藥消耗影響因素為自變量x，其中（i=1，2，…，n），可建立多元線性回歸方程：

其中，β 為回歸系數(shù)；ε 為誤差。求出回歸方程后，需要對方程進行顯著性檢驗，觀察彈藥消耗量與影響因素是否符合多元線性模型。

通過最小二乘法可以獲得多元線性回歸方程的參數(shù)，即采用最小誤差平方和，公式如下：

式（10）即求一組β 使得Q（β）達到最小值，采用普通最小二乘法：

式中，X 為自變量矩陣；Y 為因變量矩陣。

2.2 彈藥消耗量多元非線性回歸分析

非線性關系，包括3 類，1）可以通過變量替換轉(zhuǎn)化為線性關系；2）自變量和因變量之間關系函數(shù)式不確定；3）自變量和因變量之間關系函數(shù)式可以確定，但參數(shù)未知，且不可轉(zhuǎn)化為線性關系。

一般多元非線性回歸模型公式為：

給定一組彈藥消耗預計的彈藥消耗量與各影響因素的觀測值后，式（12）可改寫為：

其中，β 為回歸系數(shù)；x為彈藥消耗影響因素，根據(jù)彈藥消耗影響因素的個數(shù)可以確定非線性函數(shù)的維數(shù)；ε為隨機誤差項，接受獨立同分布假定條件，即：

對于非線性回歸模型，仍使用最小二乘法估計參數(shù)，即：

3 示例分析

本文以某裝甲武器為例，研究對點目標的彈藥需求預計。根據(jù)1.3 節(jié)中彈藥消耗影響因素分析，選取武器與目標的距離、武器平臺的移動速度、目標的移動速度、目標規(guī)模、目標的防護程度和環(huán)境影響系數(shù)進行主成分分析，分別對應x，x，x，x，x，x6 個變量。彈藥消耗影響因素數(shù)據(jù)歸一化處理后如表1 所示。

表1 彈藥消耗影響因素數(shù)據(jù)

對選取的6 個彈藥消耗影響因素指標首先進行KMO 檢驗，判斷其是否適合主成分分析，KMO 值計算結(jié)果如表2 所示。一般來說，KMO 值在0.8 以上適合做主成分分析，在實證分析中能達到0.6 以上，就認為可以進行主成分分析。據(jù)表2 中數(shù)據(jù)可以看出彈藥消耗影響因素可以進行主成分分析。主成分分析結(jié)果如下頁表3 所示，第2 列代表特征值。具有95%置信度漸進置信區(qū)間的碎石圖如圖2所示。分析表中數(shù)據(jù)可以看出前兩個主成分累計貢獻率達到84%，且根據(jù)特征值大于1 的主成分選定條件，選擇前兩個主成分可以很好解釋原始變量。圖3 是主成分分析后的得分圖，描述了各組數(shù)據(jù)得分散點圖，圖4 為主成分分析所得載荷圖，可以直觀看出各彈藥消耗影響因素對主成分影響的大小。

圖2 特征值95%置信區(qū)間碎石圖

圖3 主成分分析的得分圖

圖4 主成分分析因子載荷圖

表2 彈藥消耗影響因素KMO 值

表3 彈藥消耗影響因素主成分分析結(jié)果

通過對載荷矩陣進行旋轉(zhuǎn)，得到主成分對應的特征向量如表4 所示。

表4 第一、二主成分特征向量

則兩個主成分的表達式為：

以主成分Comp1、Comp2 為自變量，彈藥消耗y量為因變量，進行多元線性回歸分析后結(jié)果如表5所示，表明解釋變量均顯著，可得線性回歸方程為：

表5 線性回歸結(jié)果

以主成分Comp1、Comp2 為自變量，彈藥消耗量y（表示彈藥消耗基數(shù)）為因變量，進行多元非線性回歸分析后結(jié)果如表6 所示，z，z，z，z，z分別表示Comp1，Comp2，Comp1，Comp2，Comp1Comp2，可以看出解釋變量均顯著，可得非線性回歸方程為：

表6 非線性回歸結(jié)果

選取3 組數(shù)據(jù)檢驗線性回歸和非線性回歸方程預測彈藥消耗量的效果，結(jié)果如下頁表7 所示。由表5～表7 可以看出，對彈藥消耗影響因素進行主成分分析后，以得到的主成分作為自變量進行回歸分析，其中非線性回歸方程的估計標準差和誤差更低，可以用來預測彈藥消耗。

表7 回歸預測結(jié)果對比

4 結(jié)論

論文采用主成分分析方法分析彈藥消耗影響因素，以獲取的主成分作為自變量，分別用線性回歸模型和非線性回歸模型，預測了不同影響因素條件下的彈藥消耗量，結(jié)果表明非線性模型更適于彈藥消耗預測。戰(zhàn)場情況復雜多變，影響彈藥消耗的因素眾多，影響因素的選取和彈藥消耗數(shù)據(jù)的收集是下一步研究的難點。