李培振，鄭博文

（同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)工程系，上海 200092）

隨著我國基礎(chǔ)建設(shè)的發(fā)展，以經(jīng)驗為主的設(shè)計、施工操作已經(jīng)不能滿足當(dāng)下土木工程需求，取而代之的是基于計算機(jī)的數(shù)值模擬方法，運用理論，輔以強(qiáng)大的計算能力，對復(fù)雜條件下的工況進(jìn)行模擬計算。作為20 世紀(jì)發(fā)展起來解決工程計算的方法——有限元，已廣泛應(yīng)用到多個研究領(lǐng)域，成為科研工作者、工程師解決實際問題的有力工具。作為新時代的土木工程從業(yè)人員，掌握一定的有限元理論，熟練使用有限元軟件，已經(jīng)成為一項必備的能力，同時學(xué)習(xí)有限元的相關(guān)知識也是當(dāng)代土木從業(yè)人員加強(qiáng)自身競爭力和自我提升的有效途徑之一。但目前在有限元的教學(xué)過程中，教師存在忽略理論，以軟件操作為主的問題，這樣的教學(xué)方式導(dǎo)致學(xué)生在有限元分析過程中，分析思路模糊，更甚者所建模型與實際情況差距過大，分析結(jié)果可信度下降。對此，本文將進(jìn)行面向工程教育的土木工程有限元課程探索，提出以有限元常見單元講解介紹為主，從一維桿單元到三維高次單元，從離散單元位移模式的假定，推導(dǎo)得到單元剛度矩陣，對整個有限元分析流程進(jìn)行細(xì)致講解的教學(xué)方法。教學(xué)過程中采用課后作業(yè)、課堂案例演示等多種方法，加深學(xué)生對有限元計算理論的理解，為之后學(xué)習(xí)有限元軟件打下堅實的基礎(chǔ)，提升學(xué)生運用有限元解決實際問題的能力。

6.2 淮海經(jīng)濟(jì)區(qū)的中心城市建設(shè)、商業(yè)中心度必然需要快速發(fā)展商業(yè)經(jīng)濟(jì)。徐州應(yīng)該打造屬于自己的整體商業(yè)品牌，真正地成為淮海經(jīng)濟(jì)區(qū)的商業(yè)中心，增強(qiáng)商業(yè)綜合體對周邊區(qū)域的輻射力，帶動周邊地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展。但徐州市中心城區(qū)的商業(yè)圈未形成一個整體，城市地區(qū)之間向心性偏弱，分布不均衡，集聚區(qū)域過于集中，老城片區(qū)整體商業(yè)綜合體已處于飽和，集聚密度高，可以選擇在城市西部和北部建設(shè)商業(yè)綜合體。同時，徐州市正在修建地鐵，公共交通建設(shè)將逐漸完善，交通便利度在商業(yè)綜合體空間布局眾多影響因子中的影響力越來越強(qiáng)，建議商業(yè)綜合體的選址在地鐵站附近，地鐵站人流量大、可以帶動商業(yè)綜合體的發(fā)展。

1 課程重點

課程以有限元單元介紹為主，從二維到三維，逐步深入。有限元法分析步驟分為：建立有限元模型，形成總體剛度矩陣，施加荷載引入邊界條件，求解節(jié)點位移單元應(yīng)力分量等。有限元模型是有限元分析的基礎(chǔ)。有限元分析中要選擇合理的單元類型，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，用單元來模擬分析對象，單元之間通過節(jié)點連接，因此單元的選擇會影響有限元法的計算精度、計算效率及計算收斂性。分析過程中，能夠用合理的單元對分析對象進(jìn)行模擬，是建立在對單元基本特性充分理解的基礎(chǔ)上。因此，在本課程中以面向工程為目的的有限元課程教學(xué)過程中，將對有限元中常用的單元進(jìn)行講解。目前有限元多數(shù)是以結(jié)點位移為未知量，從單元位移形函數(shù)的建立入手，推導(dǎo)得到單元的剛度矩陣，講解等效節(jié)點荷載向量的建立，單元剛度矩陣集成到總體剛度矩陣，有限元方程的求解及后處理，讓學(xué)生充分了解不同類型的單元，對有限元計算模擬流程有比較明確的了解與認(rèn)知。

結(jié)合轄區(qū)范圍內(nèi)畜牧養(yǎng)殖產(chǎn)業(yè)發(fā)展現(xiàn)狀，積極推廣先進(jìn)的畜牧養(yǎng)殖技術(shù)，切實做好暖棚養(yǎng)畜、優(yōu)化牧草種植結(jié)構(gòu)、牛羊舍飼半舍飼養(yǎng)殖、牛羊集約化規(guī)?；B(yǎng)殖、畜產(chǎn)品安全生產(chǎn)等先進(jìn)技術(shù)的推廣應(yīng)用工作。逐步改變牧區(qū)長期依靠放牧養(yǎng)殖草食動物的習(xí)慣，縮短放牧周期，由春、夏、秋、冬四季放牧轉(zhuǎn)變?yōu)橄那锓拍?，冬春季?jié)舍飼養(yǎng)殖，切實挖掘牲畜的生產(chǎn)能力。同時還應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)科學(xué)技術(shù)研發(fā)能力，及時將研發(fā)出的最新成果轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力，依靠基層地區(qū)技術(shù)推廣隊伍，將實用性的畜牧養(yǎng)殖技術(shù)送到千家萬戶，進(jìn)而在較短時間內(nèi)培養(yǎng)一批懂技術(shù)、會經(jīng)營、善管理的新型養(yǎng)殖戶群體，使其成為先進(jìn)畜牧養(yǎng)殖技術(shù)、草原生態(tài)保護(hù)技術(shù)的應(yīng)用主體。

2 課程內(nèi)容設(shè)置

有限元法是一種基于數(shù)學(xué)和力學(xué)原理，以計算機(jī)為工具的數(shù)值計算方法。涉及微積分、線性代數(shù)、泛函分析、偏微分方程、張量分析、數(shù)值計算、理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)等課程的知識。因此合理的課程安排對教學(xué)過程有著重要的意義，以下將對本課程的課程內(nèi)容進(jìn)行說明。

第六章等參單元，針對工程中一些結(jié)構(gòu)的形狀是比較復(fù)雜的，介紹了具有曲面形狀的等參單元，介紹了等參單元在局部坐標(biāo)向整體坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的雅可比矩陣。在求解剛度矩陣和等效節(jié)點力積分運算所采用的數(shù)值計算方法——高斯求積法，之后介紹了有限元求解之后對應(yīng)力計算結(jié)果的整理，采用的是單元平均或結(jié)點、總體應(yīng)力磨平法等方法。

第四章平面高次單元，分析了三角形單元的優(yōu)缺點，進(jìn)而描述了平面分析中常用的矩形單元，介紹矩形單元的形函數(shù)，推導(dǎo)了四結(jié)點矩形單元的單元剛度矩陣以及單元等效節(jié)點荷載矩陣，講述了更高次三角形單元形函數(shù)的構(gòu)造方法。

第三章平面三角形單元，在上節(jié)課的基礎(chǔ)上，對一般力學(xué)問題的求解方法進(jìn)行說明，引出有限元是一種有效的求解工程實際問題的數(shù)值方法，對有限元求解的步驟進(jìn)行簡單說明，并以彈性力學(xué)的平面問題為例，介紹了三角形單元的構(gòu)造過程，詳細(xì)推導(dǎo)了單元剛度矩陣。并介紹了二維單元多項式位移構(gòu)造模式及其需滿足的基本條件。同時講解了如何通過單元剛度矩陣集成到總體剛度矩陣、等效節(jié)點荷載向量的求解，以及如何引入邊界條件。

第二章彈性力學(xué)的基本問題，對彈性力學(xué)的基本方程進(jìn)行介紹，有限單元法這門課程及內(nèi)容非常廣泛，不可能都一一加以介紹學(xué)習(xí)，本課程的基本出發(fā)點是土木工程中如何應(yīng)用有限單元法去解決結(jié)構(gòu)設(shè)計中的力學(xué)分析問題，重點是掌握彈性力學(xué)有限單元法的基本原理和基本方法。對此簡單回顧和介紹彈性力學(xué)中的一些基本方程和基本問題，彈性力學(xué)有限單元法是基于這些基本方程產(chǎn)生相應(yīng)的計算格式。通過力學(xué)當(dāng)中簡單彈性力學(xué)問題的引入過渡到有限元數(shù)值方法的講解。

第九章有限元法中的動力學(xué)問題和非線性問題，本章節(jié)主要介紹有限元在結(jié)構(gòu)動力分析非線性問題方面的應(yīng)用，對有限元分析中的自由振動分析和動力響應(yīng)分析的計算理論進(jìn)行了介紹。其次，介紹了常見的非線性問題、幾種求解非線性問題的方法，直接迭代法、牛頓—拉裴遜（Newton—Raphson）法、荷載增量法。

第七章桿單元和梁單元，主要介紹了在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中常用的兩種單元，桿單元和梁單元，對各自的位移形函數(shù)進(jìn)行了講解，推導(dǎo)了單元剛度矩陣及等效節(jié)點荷載向量，并通過一定的實例進(jìn)行了詳細(xì)闡述。

第一章概述，對有限元的基本定義和思想方法進(jìn)行介紹，概述有限元發(fā)展的歷史，有限元分析主要的應(yīng)用領(lǐng)域，常見有限元軟件的介紹，不同軟件的對比，有限元相較其他數(shù)值計算方法的優(yōu)缺點，以及本課程中用到的參考書，使學(xué)生對有限元有初步的了解。

第五章空間單元，實際工程中，一般說來都屬于空間問題，極少數(shù)問題可以簡化為平面問題。因此本章將介紹彈性力學(xué)一般空間問題的有限元法的基本概念，結(jié)合四面體單元、六面體單元進(jìn)行說明，分別介紹了四面體單元、六面體單元的位移形函數(shù)，推導(dǎo)了四面體單元、六面體單元的剛度矩陣以及各自的等效節(jié)點荷載向量。

第八章板殼單元，板殼結(jié)構(gòu)在實際工程中也有著廣泛的應(yīng)用，因此需要對板殼單元進(jìn)行簡單介紹。首先界