蔡照遠(yuǎn)，吳旭東

(同濟(jì)大學(xué) 汽車(chē)學(xué)院，上海 201804)

氣體箔片軸承是以氣體作為潤(rùn)滑劑并采用箔片作為彈性支承元件的一種動(dòng)壓軸承，具有運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)，安全可靠等優(yōu)點(diǎn)，目前已廣泛應(yīng)用于航空航天、低溫制冷、空氣循環(huán)等領(lǐng)域[1-4]。

氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)耦合復(fù)雜的系統(tǒng)[5]，軸承承載特性將極大地影響轉(zhuǎn)子的運(yùn)轉(zhuǎn)性能。承載特性主要包含靜態(tài)承載特性和動(dòng)態(tài)承載特性，靜態(tài)承載特性往往表征了氣膜力對(duì)轉(zhuǎn)子的承載能力，動(dòng)態(tài)承載特性則反映了氣膜力在轉(zhuǎn)子受到外界激勵(lì)時(shí)保證轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的能力。關(guān)于氣體箔片軸承的靜態(tài)承載特性進(jìn)行了一定的試驗(yàn)研究[6-9]，但動(dòng)態(tài)承載特性則難以通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行研究，學(xué)者大多通過(guò)理論進(jìn)行分析：文獻(xiàn)[10-11]給出了氣體箔片軸承的完全氣彈耦合解，分析了軸承的靜態(tài)承載特性、動(dòng)態(tài)剛度和阻尼特性；文獻(xiàn)[12]通過(guò)迭代方法耦合求解了氣體箔片軸承的氣膜壓力和氣膜厚度，分析了兩者在軸承周向上的分布特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)氣膜力較大區(qū)域的箔片會(huì)發(fā)生凹陷變形；文獻(xiàn)[13]通過(guò)理論推導(dǎo)分析了氣體箔片軸承的靜、動(dòng)態(tài)特性，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了其正確性；文獻(xiàn)[14]通過(guò)理論建模分析了滑移邊界對(duì)氣體箔片軸承氣膜承載力的影響，發(fā)現(xiàn)箔片結(jié)構(gòu)可以顯著降低滑移效應(yīng)對(duì)氣膜承載力的影響；文獻(xiàn)[15]分析了潤(rùn)滑介質(zhì)對(duì)氣體箔片軸承靜態(tài)承載分布特性的影響，與R134a介質(zhì)相比，空氣會(huì)使氣膜承載能力更強(qiáng)。

上述理論均未考慮轉(zhuǎn)子與軸承不對(duì)中的情況，即忽略了氣體箔片軸承氣膜厚度在軸向上的變化，故無(wú)法準(zhǔn)確分析氣體箔片軸承的動(dòng)態(tài)承載特性。文獻(xiàn) [16-19]考慮了轉(zhuǎn)子不對(duì)中的工況，但主要考慮轉(zhuǎn)子二維偏心，部分文獻(xiàn)考慮了轉(zhuǎn)子三維偏心，但僅限于分析靜態(tài)承載特性，轉(zhuǎn)子實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)是二維偏心和三維偏心的復(fù)合，氣體箔片軸承較小的名義間隙將放大轉(zhuǎn)子三維偏心的影響。鑒于此，通過(guò)引入2個(gè)偏心角來(lái)描述轉(zhuǎn)子三維偏心狀態(tài)，并建立模型分析三維偏心下氣體箔片軸承的靜、動(dòng)態(tài)承載特性及軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

1 氣體箔片軸承靜、動(dòng)態(tài)承載特性分析模型

1.1 流體潤(rùn)滑雷諾方程

氣體箔片軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示，由軸承殼、頂箔、波箔組成，潤(rùn)滑氣膜產(chǎn)生于頂箔與轉(zhuǎn)子之間的狹小間隙中。

1—轉(zhuǎn)子；2—頂箔；3—軸承殼；4—波箔。

可壓縮氣體潤(rùn)滑雷諾方程為

(1)

式中：p為氣膜壓力；h為氣膜厚度；x為軸承周向坐標(biāo)；z為軸承軸向坐標(biāo)；μ為氣體動(dòng)力黏度；U為軸頸轉(zhuǎn)速；t為時(shí)間。

轉(zhuǎn)子偏心示意圖如圖2所示，任意點(diǎn)處的氣膜厚度為

h=C0-ecosφ，

(2)

式中：C0為名義間隙；e為偏心距；φ為偏位角。

圖2 轉(zhuǎn)子偏心示意圖

為簡(jiǎn)化運(yùn)算，對(duì)以下參數(shù)進(jìn)行量綱一化處理

(3)

式中：R為軸承半徑；X為量綱一的周向坐標(biāo)；L為軸承寬度；Z為量綱一的軸向坐標(biāo)；pa為環(huán)境壓力；P為量綱一的氣膜壓力；H為量綱一的氣膜厚度；ω為量綱一的軸頸轉(zhuǎn)速；T為量綱一的時(shí)間；ε為轉(zhuǎn)子偏心率。

將(3)式代入(1)式得到量綱一化的雷諾方程為

(4)

式中：Λ為軸承數(shù)。

量綱一的氣膜厚度為

H=1-εcosφ。

(5)

1.2 轉(zhuǎn)子三維偏心下的氣膜厚度

轉(zhuǎn)子三維偏心(轉(zhuǎn)子繞軸頸軸線旋轉(zhuǎn)，軸頸軸線與軸承軸線不平行的情況)示意圖如圖3所示，引入轉(zhuǎn)子繞x，y軸的旋轉(zhuǎn)角度θx，θy來(lái)描述轉(zhuǎn)子的三維偏心狀態(tài)。

(a) xOy平面 (b) yOz平面

假設(shè)轉(zhuǎn)子無(wú)二維偏心，即偏心率ε=0，由二維偏心到三維偏心軸頸軸線坐標(biāo)的變換矩陣為

(6)

由于C0一般為10～50 μm，相對(duì)于轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度較小，故θx，θy為微小量，(6)式可化簡(jiǎn)為

(7)

假設(shè)轉(zhuǎn)子無(wú)偏心，則轉(zhuǎn)子軸線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,z1)，當(dāng)轉(zhuǎn)子三維偏心時(shí)，轉(zhuǎn)子軸線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為(z1θy,-z1θx,z1)，考慮轉(zhuǎn)子偏心時(shí)，(5)式可轉(zhuǎn)化為

H=1 +(εx+z1θy)sinφ-(εy+z1θx)cosφ，

(8)

式中：εx，εy為偏心率在x，y方向的的分量。

1.3 靜態(tài)承載特性模型

求解靜態(tài)承載特性時(shí)，氣膜力的時(shí)變特性被忽略，(4)式中氣膜力對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為0。采用有限差分法求解雷諾方程，對(duì)氣膜力的差分格式為

(9)

(10)

式中：Pi,j為將潤(rùn)滑氣膜展開(kāi)為平面并劃分網(wǎng)格后，第(i,j)個(gè)節(jié)點(diǎn)上的氣膜力，氣膜厚度的差分格式與氣膜力類(lèi)似。

當(dāng)考慮箔片變形時(shí)，波箔在氣膜力作用下會(huì)發(fā)生變形，從而影響氣膜厚度及氣膜力分布，這是一個(gè)潤(rùn)滑氣膜與箔片結(jié)構(gòu)之間的流固耦合問(wèn)題，此處對(duì)耦合箔片變形下的靜態(tài)承載特性進(jìn)行分析。箔片等效剛度經(jīng)驗(yàn)公式為[20]

(11)

式中：Eb為箔片材料彈性模量；tb為箔片厚度；l為半波箔波紋長(zhǎng)度；ν為箔片材料泊松比。

此時(shí)，氣體箔片軸承的氣膜厚度應(yīng)為由幾何關(guān)系得到的剛性邊界氣膜厚度和由氣膜力造成的箔片變形之和，即

H=Hg+Hδ,

(12)

式中:Hg為剛性邊界的氣膜厚度;Hδ為箔片變形量(每個(gè)氣膜節(jié)點(diǎn)的箔片變形量可認(rèn)為是該節(jié)點(diǎn)上的氣膜力除以箔片等效剛度，然后再計(jì)算箔片變形量)。

1.4 動(dòng)態(tài)承載特性模型

動(dòng)態(tài)承載特性是了解氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要基礎(chǔ)，其剛度特性、阻尼特性是影響轉(zhuǎn)子振動(dòng)的關(guān)鍵因素，在此采用小擾動(dòng)法計(jì)算動(dòng)態(tài)承載特性。假設(shè)轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)偏心率和偏位角存在擾動(dòng)量ε0和θ0，氣膜厚度和氣膜力可表示為

H=H0+Hd=H0+Hd0eiΩT，

(13)

P=P0+Pd=P0+Pd0eiΩT，

(14)

式中：H0，P0分別為穩(wěn)態(tài)條件的氣膜厚度和氣膜力；Hd，Pd分別為氣膜厚度擾動(dòng)值和氣膜力擾動(dòng)值；Hd0，Pd0分別為氣膜厚度擾動(dòng)幅值和氣膜力擾動(dòng)幅值；Ω為量綱一的擾動(dòng)頻率。

將(13)，(14)式代入(4)式中，忽略高階項(xiàng)，可得擾動(dòng)條件下量綱一化的雷諾方程為

(15)

通過(guò)幾何關(guān)系可得

Hd0=E0cosφ+Θ0ε0sinφ，

(16)

式中：E0為偏心率擾動(dòng)量；Θ0為偏位角擾動(dòng)量。

將(16)式代入(15)式中，并使氣膜力分別對(duì)偏心率和偏位角求導(dǎo)，得到氣體箔片軸承的各向等效剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)為

(17)

式中：Kxε，Kxθ，Kyε，Kyθ為量綱一的動(dòng)態(tài)氣膜等效剛度系數(shù)；Dxε，Dxθ，Dyε，Dyθ為量綱一的動(dòng)態(tài)氣膜等效阻尼系數(shù)；PE，PΘ為求解動(dòng)態(tài)雷諾方程獲得的氣膜力偏導(dǎo)數(shù)解。

2 氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

氣體箔片軸承的靜、動(dòng)態(tài)承載特性最終會(huì)影響轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)，因此在研究氣體箔片軸承性能的同時(shí)，有必要對(duì)其搭載的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究。氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

假設(shè)轉(zhuǎn)子無(wú)質(zhì)量偏心，且質(zhì)心距兩端軸承中心距離相等，則系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程為

(18)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；l為轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度；lA，lB分別為轉(zhuǎn)子中心距軸承A，B中心的距離；xA，yA分別為轉(zhuǎn)子在軸承A位置x，y方向的位移；xB，yB分別為轉(zhuǎn)子在軸承B位置x，y方向的位移；g為重力加速度；FAx，F(xiàn)Ay為軸承A對(duì)轉(zhuǎn)子的作用力在x，y方向的分量；FBx，F(xiàn)By為軸承B對(duì)轉(zhuǎn)子的作用力在x，y方向的分量；Iox,Ioy,Ioz分別為轉(zhuǎn)子繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

以軸承A為例，軸承對(duì)轉(zhuǎn)子的作用力可表示為

(19)

轉(zhuǎn)子初始位置為

(20)

3 實(shí)例分析

某氣體箔片軸承的主要參數(shù)見(jiàn)表1。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為30 000 r/min，轉(zhuǎn)子量綱一的偏心率為0.3，轉(zhuǎn)子繞x軸的偏心角為0.40°，潤(rùn)滑介質(zhì)為空氣。

表1 氣體箔片軸承主要參數(shù)

3.1 靜態(tài)承載特性

轉(zhuǎn)子三維偏心下剛性邊界氣膜力的靜態(tài)分布如圖5所示：由于轉(zhuǎn)子不對(duì)中，氣膜厚度在軸向呈楔形分布，最小氣膜厚度位于軸承端部,在該氣膜厚度分布下氣膜力峰值不再位于軸向中部，而是向最小氣膜厚度位置偏移，從而增大了小間隙處氣膜的承載力,并產(chǎn)生了使轉(zhuǎn)子回正的力矩。

圖5 三維偏心下剛性邊界氣膜力的靜態(tài)分布

通過(guò)對(duì)氣膜力和氣膜厚度分別迭代計(jì)算，可以求解出耦合波箔變形的氣膜力靜態(tài)分布如圖6所示：氣膜厚度在軸向從兩端到中間逐漸增大，這是因?yàn)檩S承端部與外界連通，氣膜力與大氣壓近似相等，箔片不會(huì)發(fā)生變形，但從端部往內(nèi)氣膜力增大,導(dǎo)致箔片變形，氣膜厚度增大，氣膜力峰值減小，但與圖5相比，氣膜承載區(qū)域增大，說(shuō)明考慮箔片柔性后氣膜的承載性能更好。

圖6 三維偏心下耦合波箔變形時(shí)氣膜力的靜態(tài)分布

3.2 動(dòng)態(tài)承載特性

將量綱一的動(dòng)態(tài)氣膜剛度系數(shù)、動(dòng)態(tài)阻尼系數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系下，可以得到氣膜動(dòng)態(tài)剛度、動(dòng)態(tài)阻尼與轉(zhuǎn)速、偏心角的關(guān)系。轉(zhuǎn)速對(duì)動(dòng)態(tài)承載特性的影響如圖7所示：氣膜的各向等效剛度、等效阻尼均不接近于0，這是因?yàn)榕c二維偏心相比，三維偏心下氣膜的承載區(qū)域不再位于同一個(gè)偏位角處，而呈現(xiàn)扭曲的承載區(qū)域，因此x，y方向的擾動(dòng)都與氣膜力擾動(dòng)有關(guān)。

圖7 轉(zhuǎn)速對(duì)動(dòng)態(tài)承載特性的影響

三維靜態(tài)偏心下氣膜的等效剛度、等效阻尼隨偏心角θx，θy的變化趨勢(shì)分別如圖8和圖9所示。

圖8 偏心角θx對(duì)動(dòng)態(tài)承載特性的影響

圖9 偏心角θy對(duì)動(dòng)態(tài)承載特性的影響

由圖8可知：隨偏心角θx增大，各向等效剛度近似呈指數(shù)增大，這是因?yàn)棣葂的增大使端部氣膜厚度迅速減小，從而使剛度迅速增大。且θx的增大會(huì)使氣膜承載區(qū)域扭曲，因此各向等效剛度均會(huì)隨之變化。等效阻尼的變化趨勢(shì)與等效剛度類(lèi)似，其數(shù)值為負(fù)數(shù)的原因如前所述。

由圖9可知：隨偏心角θy增大，各向等效剛度均呈增大趨勢(shì)，尤其是承載方向的主剛度，這是因?yàn)棣葃的增大進(jìn)一步導(dǎo)致轉(zhuǎn)子向承載方向傾斜，從而使氣膜厚度進(jìn)一步減小。其余各向等效剛度及阻尼的變化趨勢(shì)同圖8。

3.3 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析

采用牛頓迭代法求解上述轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程，并在每步迭代求解中根據(jù)上步的轉(zhuǎn)子位置重新求解動(dòng)態(tài)承載特性，獲得新的剛度、阻尼系數(shù)，完成動(dòng)態(tài)承載特性與轉(zhuǎn)子振動(dòng)的耦合迭代求解，得到轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10和圖11所示。

圖10 轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡圖(0～13.5s)

圖11 轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡圖(6.0～13.5 s)

由圖10和圖11可知：1)轉(zhuǎn)子在經(jīng)歷短暫的運(yùn)動(dòng)后，迅速到達(dá)平衡位置附近。2)在初始階段軸承A,B位置轉(zhuǎn)子軌跡不重合，這是由于轉(zhuǎn)子在初始運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)存在三維偏心，當(dāng)轉(zhuǎn)子到達(dá)平衡位置附近時(shí)，軸承A,B處轉(zhuǎn)子軌跡重合，表現(xiàn)出二維偏心，這是由于轉(zhuǎn)子僅受自重的激勵(lì)，且認(rèn)為轉(zhuǎn)子質(zhì)心到軸承A,B中心的距離相等，轉(zhuǎn)子未受到三維偏心的激勵(lì)，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)為二維偏心。此外，轉(zhuǎn)子在到達(dá)平衡位置后，以低頻、小振幅的振動(dòng)形式穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)，這也反映了氣體箔片軸承的良好支承特性。

4 結(jié)論

通過(guò)引入2個(gè)偏心角描述轉(zhuǎn)子三維偏心狀態(tài)，對(duì)該狀態(tài)下氣體箔片軸承的靜、動(dòng)態(tài)承載特性進(jìn)行分析，并建立了軸承-轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型得到了轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡，得出以下結(jié)論：

1)三維偏心下氣體箔片軸承氣膜力在軸向上向氣膜厚度較小端發(fā)生偏移，周向上分布未受影響。考慮箔片柔性時(shí)，氣膜厚度增大，在軸向上呈拱形分布，氣膜力峰值減小，承載區(qū)域增大。

2)氣膜力的各向等效剛度、等效阻尼隨轉(zhuǎn)速升高近似呈線性增大，隨偏心角增大近似呈指數(shù)形式增大。由于承載方向?yàn)閥方向，繞x軸偏心角對(duì)動(dòng)態(tài)承載特性的影響比繞y軸偏心角的大。

3)由于給定了轉(zhuǎn)子初始位置，轉(zhuǎn)子最初運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)呈三維偏心，但由于僅考慮轉(zhuǎn)子自重，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)呈二維偏心，且振幅小，頻率低。