程文杰，柯涵章，肖玲，李明

(西安科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710054)

氣體箔片軸承(Gas Foil Bearing，GFB)利用環(huán)境氣體作為潤滑介質(zhì)，通過動壓效應(yīng)在軸承表面產(chǎn)生氣膜壓力使轉(zhuǎn)子懸浮，具有污染小，精度高，噪聲低，工作溫度范圍廣，耐沖擊等優(yōu)點，在透平機械、高速電動機、渦輪壓縮機等領(lǐng)域應(yīng)用效果良好[1-4]。

當(dāng)GFB受到外部因素影響時，轉(zhuǎn)子會隨載荷的變化在軸心附近振動，軸承的動態(tài)特性系數(shù)(動態(tài)剛度系數(shù)和動態(tài)阻尼系數(shù))能反應(yīng)轉(zhuǎn)子受外載荷作用下氣膜力與位移和速度之間的內(nèi)在聯(lián)系[5]，有必要探討GFB的動態(tài)特性系數(shù)計算方法[5]。

國內(nèi)外學(xué)者對GFB的動態(tài)特性系數(shù)計算做了一定研究：文獻[6]基于攝動法的思想，用動態(tài)剛度系數(shù)、動態(tài)阻尼系數(shù)表征GFB 在靜態(tài)工作點鄰域內(nèi)的支承力；文獻[7]采用偏導(dǎo)數(shù)法計算了GFB的動態(tài)特性系數(shù)，結(jié)果表明動態(tài)特性系數(shù)僅與轉(zhuǎn)子擾動頻率、軸承靜載荷及軸承數(shù)有關(guān)；文獻[8]建立了GFB的完全氣彈潤滑耦合解模型，得到了GFB的動態(tài)特性系數(shù)，結(jié)果表明動態(tài)特性系數(shù)僅與軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)、靜態(tài)工作點參數(shù)以及擾動頻率有關(guān)；文獻[9-10]將箔片變形和潤滑氣膜的雷諾方程耦合求解，基于攝動法求解GFB的動態(tài)特性系數(shù)，并采用牛頓-拉弗森迭代法求解，得到了不同偏心率、轉(zhuǎn)速、擾動頻率及軸承長徑比等參數(shù)下的動態(tài)特性系數(shù)；文獻[11]將箔片等效為彈簧阻尼系統(tǒng)，考慮彈性波紋結(jié)構(gòu)內(nèi)部的庫侖摩擦效應(yīng)和相鄰拱之間的相互作用，基于攝動法計算了GFB的線性化剛度和阻尼；文獻[12]搭建了GFB的動態(tài)特性測試試驗臺，通過在頻域內(nèi)求解運動方程分析了激振頻率和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對軸承動態(tài)特性系數(shù)的影響，結(jié)果表明軸承主剛度隨激振頻率增大而增大，主阻尼隨激振頻率增大而減小。

上述研究均為基于攝動法計算GFB的線性化剛度和阻尼，即計算給定渦動比下的動態(tài)剛度系數(shù)和動態(tài)阻尼系數(shù)，實際工況下GFB的渦動比未知，攝動法僅考慮單個渦動比，而軸承可能存在多個渦動比。此外，限于攝動法的思想，力系數(shù)法對處理轉(zhuǎn)子大范圍運動的問題非常繁瑣。

針對攝動法存在的問題，許多學(xué)者采用參數(shù)辨識方法得到GFB的動態(tài)特性系數(shù)：文獻[13]通過測量轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、力和動力學(xué)響應(yīng)獲得了系統(tǒng)的動態(tài)剛度系數(shù)和動態(tài)阻尼系數(shù)，但忽略了外部擾動對系統(tǒng)的影響；文獻[14]通過動態(tài)載荷法，將不平衡質(zhì)量作為系統(tǒng)的激振力，獲得了以激振頻率和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為函數(shù)的動態(tài)特性系數(shù)，但計算較為繁瑣；文獻[15]采用未知激勵力的方法研究了多自由度系統(tǒng)的動態(tài)特性系數(shù)辨識問題，并通過數(shù)值仿真驗證了方法的正確性，但計算的動態(tài)特性系數(shù)是線性的；文獻[16]通過Volterra法和諧響應(yīng)探頭法辨識軸承的動態(tài)特性系數(shù)，但只考慮了響應(yīng)的線性部分而忽略了非線性因素；文獻[17]通過錘擊激振法和攝動法計算軸承的動態(tài)特性系數(shù)，2種方法結(jié)果接近，但錘擊激振法計算過程中假設(shè)主剛度相等，交叉阻尼互為相反數(shù)；文獻[18]通過改變長徑比、偏心率、軸承數(shù)、渦動比等參數(shù)，采用攝動法計算GFB的動態(tài)特性系數(shù)，并利用得到的數(shù)據(jù)訓(xùn)練了一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效地辨識出GFB的動態(tài)特性系數(shù)，但訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)仍是基于攝動法。

參數(shù)辨識方法已經(jīng)有了一定的發(fā)展，但均存在一定的缺點。鑒于此，基于時域軌跡法建立氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的流固耦合動力學(xué)模型，并求解簡諧激勵載荷下轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)軌跡，最后采用線性簡諧激振法和簡諧激振法辨識出軸承的動態(tài)特性系數(shù)。

1 基于時域軌跡法的GFB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型及求解

1.1 GFB的基本方程

任意擾動下氣體軸承與轉(zhuǎn)子的位置關(guān)系如圖1所示，等溫動壓氣體潤滑雷諾方程的量綱一化形式為

(1)

Λ=6μω(R/C0)2/pa，

圖1 任意擾動下氣體軸承與轉(zhuǎn)子的位置關(guān)系示意圖

若僅考慮轉(zhuǎn)子在軸承靜態(tài)偏心處的定軸轉(zhuǎn)動，由于軸承半徑間隙C0遠小于轉(zhuǎn)子半徑R，忽略高階小量后的氣膜厚度為

h=C0+ecos(φ-θ)，

(2)

式中：e為轉(zhuǎn)子偏心距；φ為軸承展開角；θ為轉(zhuǎn)子靜態(tài)偏位角。

1.2 瞬態(tài)氣膜壓力分布的數(shù)值求解

(3)

σ=2Λ。

采用交替隱式迭代法求解(3)式，空間變量的離散采用中心差分格式，時間變量的離散采用向后差分格式，把一個時間步長分為n～n+1/2和n+1/2～n+1。具體過程如下：1)假設(shè)已知第n步的氣膜壓力分布，在求解第n+1/2步氣膜壓力分布的過程中，將軸承周向方向φ的偏導(dǎo)數(shù)?S/?φ作為未知數(shù)，而軸向方向λ的偏導(dǎo)數(shù)?S/?λ可以由第n步的氣膜壓力得到；2)在求解第n+1/2步時，則將λ的偏導(dǎo)數(shù)作為未知數(shù)，而φ的偏導(dǎo)數(shù)可以由第n+1/2步的氣膜壓力得到，進而完成一個迭代循環(huán)。完成上述循環(huán)后，將n+1步的解作為初值，開始下一次迭代計算。

求得所有節(jié)點的氣膜壓力后，得到軸承的氣膜合力為

(4)

(5)

1.3 轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程及數(shù)值求解過程

對于GFB支承的有不平衡質(zhì)量的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，若僅考慮轉(zhuǎn)子的柱形渦動，靜態(tài)平衡位置系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程為

(6)

式中：M為轉(zhuǎn)子質(zhì)量。

轉(zhuǎn)子在運動過程中遵循牛頓第二定律，即

Ma(x,y,t)=f(x,y,t)，

(7)

式中：a為加速度。

以x方向為例，采用Verlet算法對 (7) 式進行離散化處理，得到x方向的位移、速度、加速度的迭代關(guān)系式為

(8)

式中：v為速度；Δt為時間步長。

同理，可得到y(tǒng)方向的位移、速度、加速度的迭代形式。第n步轉(zhuǎn)子的偏心距en和偏位角θn為

(9)

通過en，θn可以得到第n步的氣膜厚度和氣膜壓力分布。

對于GFB-轉(zhuǎn)子動力學(xué)系統(tǒng)，通過力的傳遞實現(xiàn)氣膜流場-轉(zhuǎn)子剛體運動的耦合。給定初始條件和預(yù)計算周期數(shù)后，通過計算初始位置的氣膜壓力，得到轉(zhuǎn)子在氣膜合力下的加速度，通過(8)式計算轉(zhuǎn)子在下個時間步長的位置和速度。計算流程圖如圖2所示，具體步驟如下：

1)根據(jù)轉(zhuǎn)子的初始偏心距、偏位角及初始速度計算該工況下的的氣膜壓力分布，對氣膜壓力積分，得到作用在轉(zhuǎn)子上的氣膜合力；

2)通過(7) 式計算轉(zhuǎn)子的加速度；

3)通過(8)式計算轉(zhuǎn)子的位移和速度；

4)將第3步計算得到的轉(zhuǎn)子位移代入(9)式計算偏心距和偏位角，再計算氣膜厚度和氣膜壓力分布，返回第1步。

重復(fù)上述步驟，得到轉(zhuǎn)子運動參數(shù)的時間序列。

圖2 計算流程圖

2 動態(tài)特性系數(shù)計算

實際的GFB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)，為了簡化，可以將軸承的氣膜力在靜平衡位置附近線性化，即將軸承的承載力用8個線性化的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)刻畫。

2.1 基于攝動法的動態(tài)特性系數(shù)

基于攝動法的動態(tài)剛度系數(shù)和動態(tài)阻尼系數(shù)計算公式為[7]

(10)

將(10)式的動態(tài)剛度系數(shù)和動態(tài)阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系中，得到動態(tài)剛度系數(shù)和動態(tài)阻尼系數(shù)為

(11)

式中：Kxx，Kyy為主剛度系數(shù)；Kxy，Kyx為交叉剛度系數(shù)；Cxx，Cyy為主阻尼系數(shù)；Cxy，Cyx為交叉阻尼系數(shù)。

2.2 基于軌跡法的動態(tài)特性系數(shù)辨識方法

2.2.1 線性簡諧激振法

線性系統(tǒng)的輸入和輸出頻率相同，非線性系統(tǒng)的輸入和輸出頻率無確定關(guān)系。軌跡法實施過程如下：1)給定初始條件，進行流固耦合迭代計算，經(jīng)過一段時間后轉(zhuǎn)子處于靜平衡位置；2)施加外激勵，獲得系統(tǒng)的響應(yīng)；3)提取外激勵的同頻響應(yīng)，根據(jù)同頻率的輸入和輸出信號進行GFB的動態(tài)特性系數(shù)辨識。該方法相當(dāng)于提取了GFB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的線性部分，被稱為線性簡諧激振法。

對轉(zhuǎn)子施加角速度為ω1，空間相位差為90°的一組簡諧激振力

(12)

從轉(zhuǎn)子的位移響應(yīng)中提取同頻率的簡諧振動

(13)

式中：A1,B1為簡諧激振力的幅值；a1，b1為位移幅值。

轉(zhuǎn)子的運動方程為

(14)

將 (12)，(13) 式代入 (14) 式可得

(15)

將 (15) 式展開，令兩邊的正弦項和余弦項的系數(shù)分別相等，可得

(16)

GFB的動態(tài)特性系數(shù)共有8個，一組激勵僅能得到4個相互獨立的方程，因此還需要另外一組激勵?？刹捎帽?的第1組和第2組激勵。

表1 外激勵參數(shù)

軌跡法獲得的轉(zhuǎn)子位移信號x(t)可能含有除激勵頻率以外的其他頻率成分，可表示為

(17)

式中：A0,a,b為任意常數(shù)。

若要提取響應(yīng)中含ω1的成分，即計算a，b的值，對 (17) 式左右兩邊分別乘cosω1t，sinω1t并積分。以計算b為例

(18)

由三角函數(shù)的正交性可得

則由(18)式可得

(19)

同理可得

(20)

將轉(zhuǎn)子位移信號x(t)代入 (19)，(20)式即可提取位移信號中含ω1的成分。

若第1,2組激勵頻率相同，即角速度ω1=ω2，可能會造成 (16) 式的系數(shù)矩陣接近奇異，在此將2組激勵頻率設(shè)置約50 Hz的差值，最后辨識出的動態(tài)特性系數(shù)應(yīng)該是2組激勵頻率下的均值。

線性簡諧激振法的缺點：1)需要2次激勵，求得的動態(tài)特性系數(shù)是2組激勵頻率下的均值；2)僅考慮到激勵頻率的同頻響應(yīng)，忽略了其他渦動頻率的影響。

2.2.2 簡諧激振法

將軌跡法中每個時間步轉(zhuǎn)子的位移、速度、加速度和氣膜力代入(14) 式，可得到一個矛盾方程組，再通過最小二乘法即可辨識出8個動態(tài)特性系數(shù)。該方法可考慮所有渦動頻率對動態(tài)特性系數(shù)的影響，相當(dāng)于將非線性系統(tǒng)等效為線性系統(tǒng)，稱之為簡諧激振法。計算過程同2.2.1節(jié)，但僅需一次激勵，在此選擇表1的第3組激勵。

在任意時刻τi(i=1，2，…，N)，無質(zhì)量偏心的轉(zhuǎn)子的運動方程可表示為

(21)

式中：Fgas_x,Fgas_y為作用在轉(zhuǎn)子上的氣膜力；Fx,Fy為作用在轉(zhuǎn)子上的外激勵。

若將氣膜力等效為線性化的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，則

(22)

將轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)周期T分為N步，時間步長τi=T/N,將軌跡法中每個時間步的位移、速度、加速度及氣膜力代入(22)式，可以得到含8個未知數(shù)(動態(tài)特性系數(shù))的N個方程。該方程是矛盾方程組，可以采用以Levenberg-Marquast(L-M)算法為基礎(chǔ)的非線性最小二乘法求解，核心思想為：構(gòu)造剛度、阻尼系數(shù)定義的等效力與數(shù)值計算的氣膜力之間的誤差，記為

(23)

式中：ei為第i個時間步的誤差。

1)給定初始估計δ1、初始阻尼λ0及終止收斂條件ε，將δ1代入 (23) 式得到初始誤差eδ1。

2)在初始值δ1的基礎(chǔ)上再估計，構(gòu)造增量方程，(22) 式的雅克比矩陣為

第2步的增量Δ為

(24)

式中：I為單位矩陣；λ為L-M算法的阻尼。

3)將δ2(δ2=δ1+Δ)代入 (23) 式，得到新的誤差eδ2。若eδ2≤eδ1，eδ2≤ε時輸出結(jié)果，否則，更新λk+1=λk/10，δ2=δ1，然后返回到第2步；若eδ2>eδ1，則更新λk+1=10λk，δ2=δ1，然后返回第2步。

重復(fù)上述步驟，直至得到滿足收斂要求的δ。

圖3 L-M算法流程圖

3 實例分析

以某氣體箔片軸承為例分析，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)及運行參數(shù)見表2。

表2 GFB的結(jié)構(gòu)參數(shù)及運行參數(shù)

3.1 攝動法驗證

本文的攝動法采用差分法數(shù)值求解，經(jīng)分析網(wǎng)格劃分的周向和軸向單位數(shù)分別為180，90時，GFB的動態(tài)特性系數(shù)與文獻[7]的計算結(jié)果最接近，如圖4所示，最大誤差不超過3%，說明了本文攝動法計算模型的正確性。

圖4 e0=0.6時動態(tài)特性系數(shù)隨擾動頻率的變化趨勢

3.2 軌跡法驗證

無不平衡力、無外激勵時的軸心軌跡如圖5所示：轉(zhuǎn)子由軸承中心下落后，經(jīng)瞬態(tài)振動階段后軸心軌跡收斂到狹長的橢圓軌道上。

圖5 無不平衡力、無外激勵時的軸心軌跡圖

令ω1=300 Hz,ω2=350 Hz， 不平衡力為0，施加簡諧激振力后的軸心軌跡如圖6所示：轉(zhuǎn)子在靜平衡位置附近作不規(guī)則運動。x，y方向位移的時域響應(yīng)如圖7所示：施加外激勵后轉(zhuǎn)子的振動出現(xiàn)了多個波峰。x，y方向位移的頻譜圖如圖8所示：轉(zhuǎn)子存在5個不同的渦動頻率，但主要為87.11，300 Hz的頻率，其中300 Hz為外激勵的同頻響應(yīng)。x方向位移的相圖如圖9所示：多個相點構(gòu)成一個橢圓，說明系統(tǒng)此時作擬周期運動。將原始的位移數(shù)據(jù)分解為一系列三角級數(shù)之和， 這些三角級數(shù)重構(gòu)的位移(2.2.1節(jié)(17)～(20)式)與原始位移數(shù)據(jù)的對比如圖10所示：重構(gòu)位移與原始位移曲線吻合，說明了軌跡法的正確性。

圖6 無不平衡力、有簡諧激振力時的軸心軌跡圖

圖7 時域圖

圖8 頻譜圖

圖9 x方向位移的相圖

圖10 位移的擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對比圖

3.3 動態(tài)特性系數(shù)計算

攝動法、線性簡諧激振法和簡諧激振法動態(tài)特性系數(shù)計算結(jié)果見表3：1)不忽略交叉項的線性簡諧激振法、忽略交叉項的線性簡諧激振法、簡諧激振法得到的主剛度系數(shù)Kxx分別為5.820×106，8.160×106，6.110×106N/m，與攝動法的相對誤差分別為9.75%,24.13%,4.88%；2)不忽略交叉項的線性簡諧激振法、忽略交叉項的線性簡諧激振法、簡諧激振法得到的主剛度系數(shù)Kyy分別為49.890×106，15.480×106，7.160×106N/m，與攝動法的相對誤差分別為142.41%，28.75%，8.93%；3)攝動法、不忽略交叉項的線性簡諧激振法、簡諧激振法得到的交叉剛度系數(shù)Kxy，Kyx基本為同一個數(shù)量級；4)攝動法、線性簡諧激振法、簡諧激振法得到的主阻尼系數(shù)Cyy均為正，其他阻尼相差較大。本文提出的方法動態(tài)特性系數(shù)計算結(jié)果與攝動法均存在一定的差距，但對于氣體箔片軸承在可接受范圍之內(nèi)。分析其原因為：攝動法僅考慮單一的渦動比，且僅保留了動態(tài)特性系數(shù)的線性項。線性簡諧激振法考慮了多個渦動比，需要提取轉(zhuǎn)子時域信號的幅值和相位進行參數(shù)辨識，同樣僅保留了動態(tài)特性系數(shù)的線性項。簡諧激振法考慮了多個渦動比，利用轉(zhuǎn)子的時域信號進行參數(shù)辨識，無需提取幅值和相位，辨識出的動態(tài)特性系數(shù)雖然是等效的線性化系數(shù)，但能還原實際的氣膜力，在某種意義上可以反映氣膜力的非線性。

表3 GFB的動態(tài)特性系數(shù)

此外，簡諧激振法根據(jù)轉(zhuǎn)子的激勵信號和響應(yīng)信號可快速辨識出軸承的動態(tài)特性系數(shù)，無需求解靜、動態(tài)雷諾方程，計算效率高。

4 結(jié)束語

基于軌跡法建立氣體箔片軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的流固耦合動力學(xué)模型，求解簡諧激勵載荷下轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)軌跡，提出采用線性簡諧激振法和簡諧激振法辨識軸承的動態(tài)特性系數(shù)，線性簡諧激振法僅考慮了外激勵的同頻響應(yīng)，簡諧激振法可考慮所有響應(yīng)頻率的影響。本文所計算的動態(tài)特性系數(shù)仍是線性化的，不能準(zhǔn)確描述GFB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性特性，模型需進一步完善。