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        無窮區(qū)間上分數(shù)階積分邊值問題正解的存在唯一性

        2022-10-20 13:21:28郭曉珍王文霞
        關(guān)鍵詞:定義

        郭曉珍, 王文霞

        (太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系, 山西 晉中 030619)

        近幾十年來,由于分數(shù)階微分方程在光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)識別、控制和機器人等諸多領(lǐng)域的應(yīng)用,其理論研究獲得了廣泛的關(guān)注,研究成果非常豐富,見文獻[1-9]. 最近,一些作者研究了無窮區(qū)間上的邊值問題,已得到一些有價值的結(jié)果,見文獻[10-15].

        文獻[15]中研究了如下無窮區(qū)間上Caputo型分數(shù)階積分邊值問題,

        (1)

        作者運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理得到了邊值問題(1)至少有一個或兩個正解的存在性結(jié)果.

        但是,據(jù)筆者所知,類似于上述的邊值問題的唯一正解的存在性問題尚未有研究結(jié)果,因此本文將研究如下無窮區(qū)間上分數(shù)階微分方程特征值問題的唯一正解的存在性:

        (2)

        1 預(yù)備知識和引理

        為了方便,首先介紹分數(shù)階微積分的一些基本定義和引理.

        定義1[1]連續(xù)函數(shù)f:(0,+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)積分定義為

        其中,等式的右端在(0,+∞)有定義.

        定義2[1]連續(xù)函數(shù)f:(0,+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)導(dǎo)數(shù)定義為

        其中,n是大于等于α的最小整數(shù),等式的右端在(0,+∞)有定義.

        引理1[1]如果u∈C[0,+∞)∩L[0,+∞)有α>0階導(dǎo)數(shù)屬于C[0,+∞)∩L[0,+∞),則

        其中,ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

        (3)

        有唯一解u(t),且

        (4)

        其中,

        (5)

        (6)

        又由u(0)=0得c2=0.進而

        將c1帶入(6)式即得(4)式.證畢.

        引理3[2]函數(shù)G(t,s)滿足如下性質(zhì):

        1)?(t,s)∈R+×R+,G(t,s)是連續(xù)函數(shù)且G(t,s)≥0;

        設(shè)E是實Banach空間,θ為E中的零元素.P為E中的非空凸閉子集,若

        x∈P,λ≥0?λx∈P;

        x∈P,-x∈P?x=θ,

        則稱P為E中的錐.錐P稱為正規(guī)的,若存在常數(shù)N>0,使得對任意x,y∈E且θ≤x≤y,都有‖x‖≤N‖y‖.對u,v∈E,u≤v,記[u,v]={x∈E|u≤x≤v}.有關(guān)錐的概念詳細討論可見文[3-5].

        給定e>0(即e∈P且e≠θ),記

        Pe={u∈E:存在l1=l1(u)>0,l2=l2(u)>0,使得l1e≤u≤l2e},

        (7)

        設(shè)D?E.算子T:D→E稱為增算子,如果x,y∈D,x≤y?Tx≤Ty.x*∈D稱為是T的一個不動點,如果Tx*=x*.

        引理4[3]設(shè)P是E中的正規(guī)錐,A,T:P→P皆為增算子且滿足:

        (G2)T(Pe)?Pe且存在τ∈(0,1)使得T(ru)≥rτTu,u∈Pe,r∈(0,1).

        那么,存在λ*>0,當(dāng)λ∈[0,λ*)時,λA+T有唯一不動點uλ∈Pe且當(dāng)λ∈[λ*,+∞)時,λA+T在Pe中沒有不動點.進而,不動點uλ滿足如下的性質(zhì):

        2)uλ關(guān)于λ∈[0,λ*)是單調(diào)遞增的;

        3)uλ關(guān)于λ∈[0,λ*)是連續(xù)的.

        引理5[3]設(shè)P是E中的一個正規(guī)錐,T:P→P是增算子.假設(shè)T(Pe)?Pe且對任意r∈(0,1)和[y,z]?Pe,存在η(r,y,z)>0使得

        T(ru)≥r(1+η(r,y,z))Tu,

        ?u∈[y,z],r∈(0,1).

        2 主要結(jié)果

        本文將使用如下條件:

        (H1)f:R+×R+→R+連續(xù)且關(guān)于第二個變量是不減的;

        (H2)g:R+→R+連續(xù)且是不減的;

        (H5) ?r∈(0,1),u∈R+,t∈R+,有f(t,ru)≥rf(t,u);

        (H6) ?r∈(0,1),u∈R+,有g(shù)(ru)≥rg(u).

        由引理2容易看到,當(dāng)條件(H1)~(H6)成立時,u∈P是邊值問題(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)u是下列積分方程的解,

        定義算子A,Tμ以及C(λ,μ)如下

        (8)

        (9)

        (C(λ,μ)u)(t)=λ(Au)(t)+(Tμu)(t),u∈P,

        (10)

        容易看到算子A,Tμ:P→P,顯然,u(t)是邊值問題(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)C(λ,μ)u=u.

        定理1設(shè)條件(H1)~(H6)成立,則對任意給定μ>0,存在λ*(μ)>0,使得當(dāng)λ∈[0,λ*(μ))時,邊值問題(2)有唯一正解uλ;當(dāng)λ∈[λ*(μ),+∞)時,沒有正解.此外,唯一正解uλ滿足如下性質(zhì):

        1) 對任意初值u0∈Pe,構(gòu)建序列:

        2)uλ關(guān)于λ∈[0,λ*(μ))是單調(diào)遞增的;

        3)uλ關(guān)于λ∈[0,λ*(μ))是連續(xù)的.

        證明首先由條件(H1)易知A:P→P是增算子.其次由引理3,(8)式,(H1),(H5)可得

        0≤(Au)(t)≤

        ?u∈P,

        t∈R+,即A(ru)≥rAu,u∈Pe,r∈(0,1).

        綜上可知,引理4的條件(G1)成立.

        任意給定μ>0.由(H2)知Tμ:P→P是增算子.根據(jù)(H4),存在常數(shù)Mg>0使得

        g(u)≤Mg,u∈R+.

        (11)

        因此由(9)式可得

        ?u∈P,μ>0,

        即Tμ(P)?Pe.以下將證明

        Tμ(ru)≥rτTμu,?u∈Pe,r∈(0,1),

        (12)

        其中,

        (13)

        事實上,由于

        于是由(H6)可知,

        rτ(Tμu)(t),r∈(0,1),u∈Pe,

        故(12)式成立.這就證明了引理4中的條件(G2)成立.

        接下來將對定理1中的參數(shù)臨界值λ*(μ)進行估計.為了方便,使用如下記號:

        引理6假設(shè)條件(H1)~(H6)成立,則對任意r∈(0,1)和[y,z]?Pe,存在η(r,y,z)>0,使得

        C(λ,μ)(ru)≥r(1+η(r,y,z))C(λ,μ)u,

        ?u∈[y,z],r∈(0,1).

        證明由條件(H5)和(10)式可得

        C(λ,μ)(ru)=λA(ru)+Tμ(ru)≥

        rλAu+rTμu+(rτ-r)Tμu≥

        rC(λ,μ)u+[(rτ-r)φ(λ,μ)(u)]C(λ,μ)u≥

        r[1+(rτ-1-1)φ(λ,μ)(u)]C(λ,μ)u,

        u∈Pe,r∈(0,1),

        (14)

        其中,

        φ(λ,μ)(u)=

        λ≥0,μ>0,u∈Pe.

        ?[y,z]?Pe,當(dāng)u∈[y,z]時,有‖u‖≤‖z‖,故對u∈[y,z]有

        φ(λ,μ)(u)≥

        于是令

        η(r,y,z)=(rτ-1-1)φ(λ,μ)(z),r∈(0,1),

        則η(r,y,z)>0.進而由(14)式可知

        C(λ,μ)(ru)≥r[1+(rτ-1-1)φ(λ,μ)(u)]C(λ,μ)u≥r[1+(rτ-1-1)φ(λ,μ)(z)]C(λ,μ)u=r(1+η(r,y,z))C(λ,μ)u,u∈[y,z],r∈(0,1).

        證畢.

        定理2假設(shè)條件(H1)~(H6)成立,則對任意的μ>0,定理1中的臨界值λ*(μ)滿足:

        其中,0

        證明任意取定μ>0.由定理1的證明和引理6可知:對任意的λ>0,C(λ,μ)滿足引理5的所有條件,于是由引理5可得,C(λ,μ)在Pe有唯一不動點當(dāng)且僅當(dāng)存在uλ,vλ∈Pe使得uλ≤C(λ,μ)uλ≤C(λ,μ)vλ≤vλ.

        取uλ=C(λ,μ)θ,其中θ(t)≡0,則uλ∈Pe.若存在vλ∈Pe使得C(λ,μ)vλ≤vλ,由C(λ,μ)的增性和θ

        C(λ,μ)θ=uλ≤C(λ,μ)uλ≤C(λ,μ)vλ≤vλ,

        因此,C(λ,μ)在Pe有唯一不動點當(dāng)且僅當(dāng)存在vλ∈Pe使C(λ,μ)vλ≤vλ.令

        Δ={λ≥0|存在vλ∈Pe使C(λ,μ)vλ≤vλ},

        則C(λ,μ)在Pe有唯一不動點當(dāng)且僅當(dāng)λ∈Δ.于是由定理1有

        λ*(μ)=sup Δ 且λ*(μ)?Δ.

        另一方面,任意取定正整數(shù)n≥2,根據(jù)Pe的定義,存在r0∈(0,1)使

        3 例子

        例1考慮下面邊值問題

        (15)

        于是由定理1可知,對任意給定μ>0,存在λ*(μ)>0,使得當(dāng)λ∈[0,λ*(μ))時,邊值問題(15)有唯一正解uλ;當(dāng)λ∈[λ*(μ),+∞)時,沒有正解.此外,唯一正解uλ滿足定理1中的1)~3).

        下面應(yīng)用定理2估計臨界值λ*(μ).注意到

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