樂(lè)續(xù)明，原安娟，崔 敏，劉立英，王麗香，張 睿，常興陽(yáng)

(1.北京工業(yè)大學(xué) 信息學(xué)部,北京 100124；2.北京工業(yè)大學(xué) 理學(xué)部，北京 100124)

動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板(The Geometer’s Sketchpad)是一款相對(duì)精確的數(shù)學(xué)作圖軟件，由美國(guó)Key Curriculum Press公司研制而成，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的教學(xué)中。幾何畫(huà)板以其所具有的編輯功能、函數(shù)與幾何作圖功能，在數(shù)學(xué)和物理教學(xué)中得到廣泛應(yīng)用，在優(yōu)化教學(xué)過(guò)程中起著重要的作用。利用幾何畫(huà)板，可以將抽象的知識(shí)進(jìn)行形象化處理，降低知識(shí)難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。利用幾何畫(huà)板特有的“動(dòng)畫(huà)功能”，能夠十分便利地將一些抽象的物理量變化過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)、分步展示，呈現(xiàn)出連續(xù)動(dòng)態(tài)表現(xiàn)效果[1]。

“熱敏電阻溫度計(jì)的設(shè)計(jì)與標(biāo)定”實(shí)驗(yàn)，是我校理工科學(xué)生必修的一個(gè)設(shè)計(jì)性研究性實(shí)驗(yàn)[2]，該實(shí)驗(yàn)具有實(shí)用性強(qiáng)、設(shè)計(jì)內(nèi)容豐富、創(chuàng)新點(diǎn)多、選材方便等優(yōu)勢(shì)，是從基本教學(xué)實(shí)驗(yàn)向科學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)渡，因此很多學(xué)校采用該實(shí)驗(yàn)作為設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目[3-7]。

文章利用幾何畫(huà)板的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)熱敏電阻溫度計(jì)的各個(gè)參數(shù)，并通過(guò)動(dòng)態(tài)圖像，模擬出電流和溫度的線性關(guān)系，并計(jì)算出熱敏電阻承載的功率。

1 熱敏電阻溫度計(jì)的工作原理

圖1的電流型非平衡電橋改裝熱敏電阻溫度計(jì)的設(shè)計(jì)方案被廣泛采用[8]。其中Rx為負(fù)溫度系數(shù)熱敏電阻，其室溫25 ℃時(shí)的阻值約為5 000 Ω，最大允許功率1 mW，熱敏電阻材料常數(shù)B=3 950 K。Rg為微安表的內(nèi)阻(Rg=160Ω)，R1、R2和Rs為待設(shè)計(jì)電阻，E為待設(shè)計(jì)電源電壓。為了使設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，同時(shí)兼顧電橋的靈敏度，實(shí)驗(yàn)中往往選擇R1=R2，其大小設(shè)定為測(cè)溫范圍內(nèi)Rx的某一特定阻值即可[2,9]。

圖1 電流型非平衡電橋電路原理圖

熱敏電阻溫度計(jì)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)重點(diǎn)是要使微安表流過(guò)的電流與溫度之間盡可能成線性關(guān)系，還要兼顧熱敏電阻的最大功率、測(cè)溫范圍等。文章側(cè)重于優(yōu)化微安表電流和溫度關(guān)系的線性關(guān)系，動(dòng)畫(huà)顯示不同溫度下熱敏電阻的阻值和熱敏電阻上功率的大小。在兼顧測(cè)溫范圍、靈敏度、線性關(guān)系等因素的前提下，得到各個(gè)元器件參數(shù)的最優(yōu)組合。

2 用幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)非平衡電橋溫度計(jì)的各參數(shù)值

2.1 計(jì)算熱敏電阻在不同溫度下的阻值

文章使用的是負(fù)溫度系數(shù)熱敏電阻(NTC)，已知B=3 950 K，t=25 ℃，Rt=25 ℃=5 000Ω。熱敏電阻的阻值R(x)是溫度x的函數(shù)，t0為室溫，RN=室溫值可測(cè)出來(lái)，可把此條件作為初始值代入(1)式中，即可得到各溫度下熱敏電阻的大小，圖2a是根據(jù)(1)式得到的電阻和溫度的關(guān)系圖。

(1)

以t0=25 ℃、Rt=25.0 ℃=5 000Ω為例，當(dāng)設(shè)置出溫度x的取值范圍(25.0、75.0)，并點(diǎn)擊“生成x參數(shù)的動(dòng)畫(huà)”，可動(dòng)態(tài)得到熱敏電阻在此溫度區(qū)間內(nèi)溫度對(duì)應(yīng)阻值的大小，部分阻值截圖如圖2b、2c、2d所示。

(a) 熱敏電阻阻值和溫度的關(guān)系圖(b) 溫度為25.0℃時(shí)熱敏電阻的阻值(c) 溫度為55.2℃時(shí)熱敏電阻的阻值(d) 溫度為75.0℃熱敏電阻的阻值

2.2 計(jì)算電源電壓的大小

計(jì)算出Rt=75.0 ℃=745.84Ω后，把已知值代入(2)式中，可以得到電源電壓E的大小。

(2)

電源電壓的大小，一要保證非平衡電橋的靈敏度，二要做到t=75.0 ℃時(shí)微安表達(dá)到滿偏300μA，且熱敏電阻RX的功率不超過(guò)其額定功率1mW。

(2)式中，Ig=300×10-6A，Rg=160Ω，Rt=75=745.84Ω，因室溫時(shí)微安表電流為零，電路為平衡電橋，所以Rs=Rt=25 ℃=5 000Ω，通過(guò)設(shè)置不同的R1=R2，可以得到不同的電源電壓值(單位：V)，如圖3所示。因?yàn)橐骖櫸脖淼碾娏骱蜏囟鹊木€性關(guān)系，后面需要對(duì)電源電壓E和R1、R2值再進(jìn)行選擇優(yōu)化。

(a) R1=R2=746 Ω時(shí)的電源電壓

(b) R1=R2=2 500 Ω時(shí)的電源電壓

(c) R1=R2=3 375 Ω時(shí)的電源電壓

(d) R1=R2=5 000 Ω時(shí)的電源電壓圖3 電源電壓分析

2.3 繪制微安表流過(guò)電流和熱敏電阻溫度的關(guān)系圖

微安表流過(guò)的電流I(x)既是R(x)的函數(shù),同時(shí)也是溫度x的函數(shù)，如式(3)所示：

(3)

當(dāng)溫度x變化時(shí)，R(x)變化，I(x)的大小相應(yīng)改變，可做出I-x關(guān)系圖，如圖4所示，AC間的曲線即為I-x關(guān)系圖?？梢钥闯?，當(dāng)溫度在60.0 ℃～75.0 ℃時(shí)曲線線性較好，在40.0 ℃附近線性較差。之后會(huì)對(duì)此現(xiàn)象進(jìn)行總結(jié)優(yōu)化，得到線性關(guān)系最佳的參數(shù)。

圖4 電流和溫度的線性關(guān)系圖

2.4 優(yōu)化參數(shù)，得到最佳的溫度和電流的線性關(guān)系

其它條件不變，改變R1=R2的大小，可以得到不同的電流和溫度的關(guān)系曲線。如圖5所示。AC間曲線是溫度對(duì)應(yīng)的電流關(guān)系圖，直線是理想線性關(guān)系，AC間的曲線越接近直線，說(shuō)明線性關(guān)系越好。圖5a中R1=R2=746Ω時(shí)，線性關(guān)系最差；圖5c中R1=R2=3 375Ω時(shí)，微安表流過(guò)的電流和溫度線性關(guān)系最佳。

(a) R1=R2=746 Ω時(shí)，I-x關(guān)系圖

與此同時(shí)，也可以用AEB曲線上的點(diǎn)和x軸的接近程度來(lái)表示線性關(guān)系，曲線AEB的縱坐標(biāo)是AC間曲線和AC間直線縱坐標(biāo)的差值，AEB越貼近x軸，說(shuō)明線性越好。當(dāng)E在AB中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)線性關(guān)系最好，此結(jié)論和用上段AC線得到的相符：R1=R2=3 375Ω時(shí)，線性關(guān)系最佳。

綜上所述，后續(xù)設(shè)計(jì)將以參數(shù)R1=R2=3 375Ω、E=2.009V為基礎(chǔ)，進(jìn)行計(jì)算或者驗(yàn)證。

2.5 計(jì)算熱敏電阻上的實(shí)際承載功率

在實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)要求中，一項(xiàng)重要的指標(biāo)就是熱敏電阻上的功率不得超過(guò)1mW。熱敏電阻上的功率計(jì)算公式為式(4)[10](單位：mW)：

(4)

式中E、R1值固定不變，隨著溫度x的不同，熱敏電阻上阻值和電流在變化，相應(yīng)的功率P也在不斷變化，如圖6a所示。通過(guò)設(shè)置出溫度x的取值范圍，并點(diǎn)擊“生成x參數(shù)的動(dòng)畫(huà)”，可動(dòng)態(tài)得到熱敏電阻在不同溫度下的功率大小，如圖6b、6c、6d所示。

(a) 熱敏電阻功率與溫度的關(guān)系圖

當(dāng)圖1電路中的各元器件值確定后，即：E=2.009V、R1=R2=3 375Ω，Rs=5 000Ω，微安表內(nèi)阻Rg=160Ω、微安表量程300uA時(shí)，可得到如圖6的計(jì)算結(jié)果。在溫度區(qū)間(25.0 ℃～75.0 ℃)觀測(cè)熱敏電阻功率隨溫度的變化數(shù)據(jù)，可知圖6c參數(shù)下熱敏電阻的功率達(dá)到峰值P(x)=0.434 8mW，遠(yuǎn)小于1mW，證明所設(shè)計(jì)的電路參數(shù)是安全的、非平衡電橋熱敏電阻溫度計(jì)的設(shè)計(jì)是成功的[11]。

3 結(jié) 語(yǔ)

文章用動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板軟件，逐步顯示了電阻和溫度的關(guān)系，完整模擬了“熱敏電阻阻值大小與溫度的關(guān)系”數(shù)據(jù)變化過(guò)程；當(dāng)選擇不同R1=R2的值，得到不同的溫度和電流的關(guān)系曲線，擇優(yōu)選擇參數(shù)為：E=2.009V、R1=R2=3 375Ω，微安表流過(guò)的電流和溫度呈最佳線性狀態(tài)；在最佳參數(shù)組合下，從25.0 ℃到75.0 ℃逐步地顯示了每個(gè)溫度下對(duì)應(yīng)的熱敏電阻的功率大小，最大功率0.434 8mW出現(xiàn)在58.0 ℃時(shí)，其值遠(yuǎn)小于1mW，說(shuō)明設(shè)計(jì)參數(shù)可行且設(shè)計(jì)方案是合理的，達(dá)到了預(yù)期設(shè)計(jì)目的。