孔祥艷 劉自強(qiáng) 夏晨曦 李麗華

（東華理工大學(xué) 信息工程學(xué)院 江西 南昌 330013）

引言

《離散數(shù)學(xué)》是計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，一門課程中包含了幾個(gè)數(shù)學(xué)分支內(nèi)容，分別為：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論?！峨x散數(shù)學(xué)》課程具有定義和定理繁多、理論性強(qiáng)和內(nèi)容抽象等特點(diǎn)，很容易被學(xué)生認(rèn)為是一門純數(shù)學(xué)課程，教學(xué)活動(dòng)主要是教師的講授，注重知識(shí)傳授而忽略應(yīng)用，更缺乏基本理論的應(yīng)用與專業(yè)學(xué)科的有機(jī)結(jié)合，這使得很多學(xué)生感覺(jué)不到此課程與專業(yè)課程的關(guān)聯(lián)，認(rèn)為這門課程難學(xué)且沒(méi)用，因而普遍對(duì)課程缺少興趣。

雖然《離散數(shù)學(xué)》課程所教授內(nèi)容以數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為主，具有較強(qiáng)的理論性，但同時(shí)具有應(yīng)用性的特點(diǎn)，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、程序設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)庫(kù)、人工智能等多個(gè)領(lǐng)域都有較廣泛的應(yīng)用[1-2]，因此適合使用案例教學(xué)。很多教師在《離散數(shù)學(xué)》課程中使用了案例教學(xué)方法[3-8]，其中一類主要探討案例教學(xué)的方法論，另一類則注重具體案例的設(shè)計(jì)與實(shí)施。

在國(guó)家一流本科建設(shè)專業(yè)支持下，采用了案例教學(xué)法，以期提高學(xué)生對(duì)《離散數(shù)學(xué)》課程的興趣，加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，提高學(xué)生的運(yùn)用知識(shí)、分析并解決工程問(wèn)題的能力。

1.教學(xué)案例的設(shè)計(jì)與選取

為提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)課程知識(shí)、分析并解決工程問(wèn)題能力，既需設(shè)計(jì)與單個(gè)知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的基本案例，又需設(shè)計(jì)涵蓋本課程的若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)和多個(gè)概念的綜合性案例。在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出設(shè)計(jì)教學(xué)案例的4個(gè)方法：

（1）深入挖掘《離散數(shù)學(xué)》基本知識(shí)在計(jì)算機(jī)專業(yè)課程中的重要作用，這是設(shè)計(jì)好基本案例和綜合案例的重要基礎(chǔ)。圖1是離散數(shù)學(xué)各知識(shí)模塊與部分專業(yè)課程之間的關(guān)系圖。

圖1 離散數(shù)學(xué)各知識(shí)模塊與部分專業(yè)課程之間的關(guān)系圖

（2）閱讀文獻(xiàn)和國(guó)內(nèi)外離散數(shù)學(xué)及其它專業(yè)課教材，并改進(jìn)已有的工程案例。

（3）在各類數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目中挖掘相關(guān)知識(shí)，找出實(shí)際工程中《離散數(shù)學(xué)》相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用案例。

（4）發(fā)動(dòng)學(xué)生們的智慧搜集案例。讓學(xué)生運(yùn)用《離散數(shù)學(xué)》知識(shí)解決生活或?qū)I(yè)課程中的一個(gè)小問(wèn)題，從而深刻體會(huì)到《離散數(shù)學(xué)》知識(shí)的實(shí)用價(jià)值。

教學(xué)案例的選取非常重要，良好的課堂教學(xué)案例是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的重要基礎(chǔ)。如果案例選取不恰當(dāng)，可能會(huì)影響教學(xué)效果。選取教學(xué)案例時(shí)需要考慮的3個(gè)重要因素如下：

（1）案例要有科學(xué)性，并與《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)內(nèi)容直接關(guān)聯(lián)，主要使用本課程相關(guān)知識(shí)來(lái)描述和解決。

（2）案例應(yīng)貼近生活或能體現(xiàn)離散數(shù)學(xué)知識(shí)在專業(yè)課程中的應(yīng)用，以減少學(xué)生的陌生感，利于學(xué)習(xí)中的情感認(rèn)同，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（3）案例中描述的問(wèn)題要有挑戰(zhàn)性，但難度適中，學(xué)生能運(yùn)用離散數(shù)學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題，從而獲得成就感和信心。

2.教學(xué)案例的應(yīng)用

基本案例是在教師課堂講解單個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，介紹完基本概念后引入，而綜合性案例通常是在學(xué)生完成課程基本知識(shí)點(diǎn)及離散建模方法的學(xué)習(xí)后引入。由于本文篇幅有限，所以僅介紹幾個(gè)基本案例在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

2.1 命題推理理論在破案時(shí)的應(yīng)用

講解完命題推理理論中幾種常用論證方法和基本推理規(guī)則后，告訴學(xué)生推理理論在警察破案時(shí)也有重要的作用，并舉例如下。公安人員審理某珠寶店鋪金項(xiàng)鏈的失竊案，已知如下偵察結(jié)果： （1）營(yíng)業(yè)員甲或乙盜竊了金項(xiàng)鏈；（2）若乙作案，則作案時(shí)間不在營(yíng)業(yè)時(shí)間； （3）若甲提供的證詞正確，則貨柜未上鎖；（4）若甲提供的證詞不正確，則作案發(fā)生在營(yíng)業(yè)時(shí)間；（5）貨柜上了鎖。問(wèn)題：作案者是誰(shuí)？并寫出推理過(guò)程。啟發(fā)學(xué)生首先將命題（1）-（5）符號(hào)化，在這過(guò)程中，如果兩個(gè)命題中包含相同的原子命題，則相同的原子命題在不同的命題中使用相同的符號(hào)。通過(guò)這個(gè)例題的練習(xí)，學(xué)生們不僅復(fù)習(xí)了如何將命題符號(hào)化，學(xué)會(huì)了幾種基本推理規(guī)則的靈活運(yùn)用，而且認(rèn)識(shí)到命題推理理論在現(xiàn)實(shí)生活中的重要應(yīng)用價(jià)值。

2.2 笛卡爾積概念的理解及其在數(shù)據(jù)庫(kù)中的應(yīng)用

笛卡爾積是集合之間的一種重要運(yùn)算，是一種純數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論,它為關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)的研究提供了重要方法，所以學(xué)生需要對(duì)笛卡爾積的概念有較深入的理解，我們通過(guò)一個(gè)案例理解笛卡爾積。例如：令A(yù)是我們班所有學(xué)生的集合，B是我們學(xué)校開(kāi)設(shè)的所有課程的集合。A和B的笛卡爾積A×B是什么，A×B的子集又是什么，如何應(yīng)用？啟發(fā)學(xué)生可以將我們班學(xué)生只用少量學(xué)生表示，學(xué)校開(kāi)始的所有課程也只用少量部分課程，從而便于用列舉法表示出所求的集合。最后學(xué)生得出： 笛卡爾積A×B是由所有形如＜a, b>的序偶的集合，其中a是我們班的學(xué)生而b是我們學(xué)校開(kāi)設(shè)的一門課程。A×B集合表示我們班學(xué)生選課的所有可能情況，而A×B的子集表示一種可能的選課情況。學(xué)生通過(guò)做這個(gè)例題能夠?qū)Φ芽柗e的概念有較形象的掌握。

接著討論笛卡兒積在尋找連續(xù)日期中殘缺的數(shù)據(jù)時(shí)的應(yīng)用。例如：有個(gè)考勤記錄表，記錄著500個(gè)人的2022年4月的考勤信息，理論上這些人應(yīng)該每天都有記錄的，但可能有某些人缺少一些天的考勤數(shù)據(jù)，怎樣查找出哪些人在哪些天缺少考勤記錄呢？不論是按天查詢和還是按人查詢都比較麻煩。這種情況下，可以對(duì)這500個(gè)人的集合和2022年4月每一天得到的日期集合做笛卡爾積運(yùn)算，然后與實(shí)際的表去關(guān)聯(lián)，就能容易查詢出結(jié)果了。通過(guò)解決尋找連續(xù)日期中殘缺數(shù)據(jù)的實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生感受到笛卡爾積這個(gè)概念的實(shí)用價(jià)值。

2.3 鄰接矩陣在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

鄰接矩陣是圖論部分的一個(gè)重要概念，它是指用一個(gè)方陣表示圖的各頂點(diǎn)之間的鄰接關(guān)系，講解完基本概念后介紹鄰接矩陣一個(gè)重要應(yīng)用。圖的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都可能有關(guān)系，導(dǎo)致簡(jiǎn)單的順序存儲(chǔ)不能表示圖，但可以借助二維數(shù)組（即鄰接矩陣）來(lái)表示元素之間的關(guān)系。給出無(wú)向圖、有向圖和有權(quán)圖這三種不同圖的鄰接矩陣，讓學(xué)生總結(jié)出不同圖的鄰接矩陣分別有什么特點(diǎn)，從而對(duì)鄰接矩陣的概念有更形象和深入的理解。告訴學(xué)生只有當(dāng)圖中有許多邊，即圖是稠密圖時(shí)，用鄰接矩陣表示圖便于執(zhí)行圖的算法，但是當(dāng)圖包含的邊較少時(shí)，用鄰接表比鄰接矩陣更適合，并從算法復(fù)雜度方面簡(jiǎn)單舉例分析說(shuō)明。

2.4 可達(dá)性矩陣在電話線路故障影響中的應(yīng)用

可達(dá)性矩陣描述了圖中任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間是否存在一條路及任意結(jié)點(diǎn)上是否存在回路，講解完基本概念和可達(dá)性矩陣的求法后，讓學(xué)生解決下列問(wèn)題：設(shè)A、B、C、D、E、F六個(gè)城市之間有通信網(wǎng)絡(luò)，并給出這些城市間的通信網(wǎng)絡(luò)圖，它們之間均可進(jìn)行通話聯(lián)絡(luò)。某一天B和C間的線路產(chǎn)生故障，分析此故障對(duì)六城市間通話的影響；某一天D和F的線路產(chǎn)生故障，也分析此故障的影響。首先引導(dǎo)學(xué)生們通過(guò)題意理解以下事實(shí)：城市X與Y間可通話，若城市Y與Z間可通話，則X與Z間可通話。通過(guò)教師的啟發(fā)，學(xué)生們認(rèn)識(shí)到兩個(gè)城市之間通過(guò)一條或多條線路相連，則它們之間就可以通話聯(lián)絡(luò)。然后引導(dǎo)他們通過(guò)分別求不同故障狀態(tài)下相應(yīng)圖的可達(dá)性矩陣，即可解決問(wèn)題。通過(guò)對(duì)此問(wèn)題的解決，學(xué)生感受到可達(dá)性矩陣在解決其它領(lǐng)域工程問(wèn)題中有重要應(yīng)用價(jià)值。

結(jié)語(yǔ)

將案例教學(xué)法應(yīng)用于《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)后，學(xué)生們明顯感受到此課程與專業(yè)課程的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，認(rèn)為這門課程不僅在現(xiàn)實(shí)生活中還是在其它專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中都很有用，從而對(duì)課程內(nèi)容逐漸產(chǎn)生了學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，學(xué)生們通過(guò)積極參與課堂互動(dòng)活動(dòng)并完成案例收集相關(guān)作業(yè)，大大提高了運(yùn)用知識(shí)、分析并解決工程問(wèn)題的能力。