王 巧 杜雪松 宋朝省 朱才朝 孫健銓 廖德林

1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，4000442.中國(guó)科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院，深圳，3780553.深圳市大族精密傳動(dòng)科技有限公司，深圳，378055

0 引言

諧波減速器是一種結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大、質(zhì)量小、回差小、傳動(dòng)精度高的高性能減速器[1]，廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、精密光學(xué)設(shè)備、醫(yī)療器械以及航空航天領(lǐng)域[2]。目前諧波減速器的設(shè)計(jì)壽命普遍要求大于8000h，當(dāng)生產(chǎn)廠家在評(píng)估或預(yù)測(cè)產(chǎn)品正常使用壽命指標(biāo)時(shí)，若通過(guò)全壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)周期長(zhǎng)、費(fèi)用代價(jià)高[3]。加速壽命試驗(yàn)(accelerate life test，ALT)則規(guī)避了以上的缺點(diǎn)，它是一種高效試驗(yàn)技術(shù)，在不改變產(chǎn)品性能退化機(jī)理的前提下，通過(guò)對(duì)產(chǎn)品加載高于正常應(yīng)力水平的負(fù)載所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，評(píng)估、預(yù)測(cè)產(chǎn)品正常使用壽命指標(biāo)和加速壽命試驗(yàn)相關(guān)壽命指標(biāo)。通過(guò)加速壽命試驗(yàn)可以在遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于產(chǎn)品真實(shí)工作壽命內(nèi)提前獲得該產(chǎn)品壽命過(guò)程數(shù)據(jù)，因此，將諧波減速器與加速壽命試驗(yàn)結(jié)合，可有效地縮短試驗(yàn)時(shí)間，降低試驗(yàn)成本，對(duì)諧波減速器進(jìn)行有效的壽命評(píng)估。

針對(duì)加速壽命試驗(yàn)，YURKOWSKY等[4]于1967年首次給出了加速壽命試驗(yàn)的統(tǒng)一定義，此后，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量的研究。加速壽命試驗(yàn)主要加載方式有恒定應(yīng)力加載、步進(jìn)應(yīng)力加載和序進(jìn)應(yīng)力加載[5]。GOUNO等[6]在步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)中，通過(guò)確定應(yīng)力變化時(shí)間或固定失效次數(shù)，逐步確定應(yīng)力變化準(zhǔn)則，從而逐步提高應(yīng)力水平，提高試驗(yàn)效率；WATKINS等[7]通過(guò)對(duì)定數(shù)截尾加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析得到，對(duì)于恒定應(yīng)力加載的加速壽命試驗(yàn)，多應(yīng)力水平試驗(yàn)比單應(yīng)力水平能更好地估計(jì)模型的參數(shù)和相關(guān)系數(shù)；潘剛等[8]使用Monte-Carlo仿真法對(duì)步降加速壽命試驗(yàn)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，有效地提高了試驗(yàn)效率，增加了試驗(yàn)的有效性；HASSAN等[9]提出了一種自適應(yīng)的Ⅱ型漸進(jìn)混合截尾技術(shù)，可以提高統(tǒng)計(jì)效率、降低試驗(yàn)時(shí)間和節(jié)省成本。NOOSHIN[10]提出了一種漸進(jìn)式定時(shí)截尾條件下具有兩個(gè)應(yīng)力變量的廣義指數(shù)(GE)分布的階梯應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)(SSALT)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)廣義指數(shù)分布的尺度參數(shù)與應(yīng)力之間的對(duì)數(shù)線性關(guān)系，利用百分位數(shù)壽命的漸近方差(AV)最小化，得到最優(yōu)的試驗(yàn)方案。徐曉嶺等[11]針對(duì)定數(shù)截尾步進(jìn)應(yīng)力加速試驗(yàn)，使用逆矩估計(jì)和極大似然法得到加速模型未知參數(shù)點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)；MOHIE等[12]通過(guò)對(duì)不同參數(shù)估計(jì)法的比較，發(fā)現(xiàn)應(yīng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選擇最合適的參數(shù)估計(jì)法，以此提高數(shù)據(jù)分析的準(zhǔn)確度。龍兵等[13]針對(duì)定時(shí)截尾的弊端，提出了定時(shí)區(qū)間加速壽命試驗(yàn)，提高了樣本的估計(jì)精度；MAHTO等[14]研究了遞進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)中Burr X分布的參數(shù)估計(jì)，假定應(yīng)力是時(shí)間的線性增長(zhǎng)函數(shù)，結(jié)合逆冪律模型和累積曝光模型得到參數(shù)估計(jì)值，其結(jié)果優(yōu)于經(jīng)典估計(jì)法。

加速壽命試驗(yàn)廣泛地應(yīng)用于航空航天、機(jī)械設(shè)備、電子器件、軍事裝備等諸多領(lǐng)域[15-19]。針對(duì)諧波減速器，張弦等[20]基于動(dòng)態(tài)接觸干涉的諧波減速器整機(jī)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)有限元分析模型，提出了一種諧波減速器時(shí)變可靠度評(píng)估方法，降低了諧波減速器壽命預(yù)測(cè)誤差。李俊陽(yáng)等[21]研究了混合潤(rùn)滑狀態(tài)下諧波減速器柔輪內(nèi)壁與柔輪軸承外圈之間黏著磨損失效加速壽命模型，并通過(guò)壽命試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。崔俊寬[22]研究了諧波減速器核心部件柔性軸承的壽命，并搭建了壽命檢測(cè)試驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)柔性軸承的壽命做了系統(tǒng)性的研究。王靜等[23]針對(duì)現(xiàn)有諧波減速器加速壽命試驗(yàn)效率低的問(wèn)題，提出了一種雙應(yīng)力步降加速壽命試驗(yàn)方法，提高了試驗(yàn)效率，但文中沒(méi)有給出系統(tǒng)的試驗(yàn)方案，而且樣機(jī)數(shù)過(guò)少，影響威布爾分布參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。

綜上，目前尚無(wú)針對(duì)諧波減速器加速壽命試驗(yàn)較為系統(tǒng)的研究，因此，本文根據(jù)諧波減速器的失效特性，提出了一種加速壽命試驗(yàn)方案。以減速器中最薄弱零件柔輪為失效對(duì)象，給出了確定失效判據(jù)、加速應(yīng)力范圍、壽命模型的方法；針對(duì)小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，通過(guò)采用極大似然法和馬爾科夫蒙特卡洛法得到了更為準(zhǔn)確的威布爾分布參數(shù)估計(jì)，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 諧波減速器加速壽命試驗(yàn)方案

擬定諧波減速器加速壽命試驗(yàn)方案的流程如圖1所示。關(guān)鍵步驟為確定失效判定標(biāo)準(zhǔn)、加速應(yīng)力范圍、加速壽命模型等因素。

圖1 加速壽命試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)Fig.1 Accelerated life test scheme design process

1.1 失效判據(jù)

在加速壽命試驗(yàn)中，產(chǎn)品失效主要包括以下關(guān)系映射：應(yīng)力→失效機(jī)理→失效模式，如圖2所示，這種映射關(guān)系不是單純的直線關(guān)系，應(yīng)力2可以同時(shí)導(dǎo)致失效機(jī)理2和失效機(jī)理H；同樣，失效機(jī)理2可以同時(shí)引發(fā)失效模式1和失效模式M。因此，在加速壽命試驗(yàn)中，在不改變失效機(jī)理的前提下，通過(guò)提高產(chǎn)品的敏感應(yīng)力來(lái)加快失效模式的發(fā)生。在實(shí)際工作中，通常諧波減速器柔輪部件在循環(huán)應(yīng)力的作用下率先發(fā)生失效[24]，從而導(dǎo)致整個(gè)諧波減速器的失效，本節(jié)根據(jù)諧波減速器這一失效特性，確定其加速疲勞實(shí)驗(yàn)的失效判據(jù)。

圖2 加速壽命試驗(yàn)的失效機(jī)理和失效模式Fig.2 Failure mechanism and failure mode of accelerated life test

傳統(tǒng)機(jī)械產(chǎn)品的失效模式主要有兩種，即突發(fā)型失效和退化型失效[25]。現(xiàn)有研究表明，諧波減速器的主要失效形式為柔輪的疲勞斷裂和柔輪過(guò)度磨損導(dǎo)致的傳動(dòng)精度衰減[26]。因此本文的實(shí)驗(yàn)方案將柔輪的疲勞斷裂和整機(jī)的傳動(dòng)誤差作為加速疲勞實(shí)驗(yàn)的失效判定標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)諧波減速器以加速壽命試驗(yàn)要求的加速載荷和轉(zhuǎn)速開(kāi)始試驗(yàn)后，定期采集樣機(jī)的傳動(dòng)誤差，在規(guī)定試驗(yàn)時(shí)間內(nèi)，當(dāng)傳動(dòng)誤差超過(guò)設(shè)計(jì)值或柔輪斷裂即判定為失效。

1.2 設(shè)定加速應(yīng)力

加速壽命試驗(yàn)加速性判定的前提是不引入新的失效機(jī)理，即試驗(yàn)樣件在加速應(yīng)力水平和設(shè)計(jì)應(yīng)力水平下應(yīng)具有相同的失效機(jī)理，所以需要保證試驗(yàn)的加速應(yīng)力水平不超出諧波減速器正常失效過(guò)程的承受極限，因此，以柔輪的承受應(yīng)力極限作為加速壽命試驗(yàn)的加速應(yīng)力水平的極限。

本文試驗(yàn)的諧波減速器柔輪材料為40CrNiMoA，材料的屈服強(qiáng)度σbs=1018 MPa，疲勞極限σ-1=700 MPa，柔輪的疲勞強(qiáng)度極限為

(1)

式中，KσD為零件疲勞強(qiáng)度降低系數(shù)；Kσ為疲勞缺口系數(shù)；ε為尺寸系數(shù)；β1為表面加工系數(shù)。

對(duì)于樣機(jī)，Kσ取0.0640，ε取0.9，β1取1，計(jì)算得柔輪疲勞強(qiáng)度極限為657.9 MPa，因此，選擇的加速壽命試驗(yàn)加速應(yīng)力水平應(yīng)使柔輪Mises應(yīng)力小于或等于657.9 MPa。該諧波減速器的額定平均轉(zhuǎn)矩為33 N·m，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，初步選取69 N·m的加速應(yīng)力水平，可通過(guò)有限元分析進(jìn)行驗(yàn)算。

諧波減速器有限元模型如圖3所示，波發(fā)生器為輸入端。對(duì)波發(fā)生器凸輪、柔輪和剛輪均施加固定邊界條件，波發(fā)生器和柔輪采用過(guò)盈配合，柔性軸承滾珠與軸承內(nèi)環(huán)外圈為綁定約束；設(shè)置凸輪與柔性軸承內(nèi)環(huán)內(nèi)圈、柔性軸承滾珠與軸承外環(huán)內(nèi)圈、柔性軸承外圈與柔輪內(nèi)壁、柔輪與剛輪齒面為面接觸，軸承滾珠與滾道的摩擦因數(shù)為0.02，其余接觸副摩擦因數(shù)為0.15。

圖3 諧波減速器有限元模型Fig.3 Finite element model of harmonic reduce

計(jì)算時(shí)共4個(gè)步驟：①模擬裝配過(guò)程，通過(guò)凸輪迫使柔輪變形來(lái)消除柔輪與剛輪之間的初始干涉；②建立柔輪與剛輪間的輪齒接觸；③在柔輪上施加負(fù)載力矩；④釋放波發(fā)生器繞軸線旋轉(zhuǎn)的約束，其余邊界條件不變。

通過(guò)有限元分析，得到柔輪的最大Mises應(yīng)力為648.824 MPa，位于柔輪齒根處(圖4)，符合工程實(shí)際。同時(shí)可確定轉(zhuǎn)矩69 N·m為最大加速應(yīng)力水平。

圖4 柔輪Mises應(yīng)力分布圖Fig.4 Mises stress distribution of flexsplin

1.3 壽命模型

目前，加速壽命模型主要有逆冪律(inverse power law，IPL)模型、多項(xiàng)式加速模型、阿倫尼斯(Arrhenius)模型等[27]。逆冪律模型適用于磨損、疲勞等失效模式；阿倫尼斯模型適用于高溫使產(chǎn)品(如絕緣材料、電子元器件等)內(nèi)部加快化學(xué)反應(yīng)的失效模式；多項(xiàng)式加速模型適用于應(yīng)力與壽命特征量不成線性關(guān)系的情況。由于柔輪的磨損是導(dǎo)致諧波減速器精度衰減及疲勞斷裂的主要因素，因此本文采用逆冪律模型表示諧波減速器的壽命。

逆冪律模型表示為

ξ=AS-e

(2)

式中，ξ為諧波減速器在加速應(yīng)力S下的壽命特征量(如中位壽命、p分位可靠壽命等)；A、e為與失效模式、加速試驗(yàn)類型等因素相關(guān)的待定常數(shù)。

對(duì)式(2)兩邊取對(duì)數(shù)，可得到逆冪律線性化模型：

lnξ=lnA-elnS

(3)

諧波減速器加速壽命試驗(yàn)中的加速因子(acceleration factor，AF)可反映加速壽命試驗(yàn)加速應(yīng)力水平對(duì)其失效作用的加速等級(jí)，同時(shí)也反映加速壽命試驗(yàn)中的諧波減速器特征壽命與實(shí)際工況下的特征壽命之間的折算規(guī)律。

當(dāng)諧波減速器在應(yīng)力水平Sa與應(yīng)力水平Sb下，給定可靠度R，設(shè)置信水平γ的可靠壽命單側(cè)置信下限分別為tRLa和tRLb，加速因子可按下式計(jì)算：

(4)

其中tRLa、tRLb由下式計(jì)算：

(5)

對(duì)于式(3)中的待定參數(shù)e，可用下式計(jì)算：

(6)

待定參數(shù)A可聯(lián)立式(3)和式(6)得到，根據(jù)式(4)和式(6)，可以得到加速應(yīng)力水平Sa對(duì)正常應(yīng)力水平S0的加速因子為

(7)

1.4 數(shù)據(jù)處理模型

常規(guī)加速壽命試驗(yàn)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往只采用一種方法，如最小二乘法、極大似然法等，這在小樣本條件下可能導(dǎo)致威布爾參數(shù)估計(jì)結(jié)果不夠準(zhǔn)確。因此，本文結(jié)合極大似然法與馬爾可夫蒙特卡羅法(Markov chain Monte Carlo，MCMC)來(lái)解決小樣本數(shù)量過(guò)少導(dǎo)致估計(jì)不準(zhǔn)確的問(wèn)題。

(8)

式中，m為形狀參數(shù)(m>0)；t為諧波減速器實(shí)際壽命；η為諧波減速器特征壽命(η>0)。

針對(duì)諧波減速器定時(shí)截尾加速壽命試驗(yàn)時(shí)，設(shè)參與試驗(yàn)的樣機(jī)共有n個(gè)，其試驗(yàn)結(jié)果為：在時(shí)間段[0，T]內(nèi)有k個(gè)諧波減速器失效，其壽命依次為tl(1)

下面描述極大似然函數(shù)的構(gòu)建過(guò)程。在威布爾分布下，假設(shè)一個(gè)產(chǎn)品在時(shí)間[ti，ti+dti]內(nèi)失效的概率為f(ti)dti，i=1，2…，k，則可以將定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的完全壽命數(shù)據(jù)集tl和截尾壽命數(shù)據(jù)集tc，通過(guò)似然函數(shù)描述如下：

(9)

將完全壽命數(shù)據(jù)tlj(j=1，2，…，k)和截尾壽命數(shù)據(jù)tcr(r=1，2，…，n-k)的壽命記為ti(i=1，2，…，n)，對(duì)式(9)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再對(duì)m、η求偏導(dǎo)可得

(10)

式(10)為超越方程，可通過(guò)牛頓迭代法進(jìn)行求解，選取最小二乘法求解迭代初值。

將式(8)線性簡(jiǎn)化可得

(11)

式(11)可表示為線性函數(shù)y=bx+a。通過(guò)平均秩次法，累計(jì)失效概率可由失效數(shù)據(jù)表示，即

(12)

式中，nS為在應(yīng)力水平S下的樣本總數(shù)；j*為試驗(yàn)樣本失效時(shí)間按從小到大排序的順序號(hào)。

聯(lián)立式(11)和式(12)可得

(13)

結(jié)合式(11)與最小二乘法所計(jì)算的迭代初值為

(14)

將式(14)的計(jì)算結(jié)果結(jié)合牛頓迭代法即可得到較為精確的m和η的估計(jì)值，采用MCMC進(jìn)行樣本數(shù)為1 000 000數(shù)據(jù)模擬，增大了樣本數(shù)，使估計(jì)值更加準(zhǔn)確，最終得到威布爾分布的參數(shù)估計(jì)值，整個(gè)數(shù)據(jù)處理的流程如圖5所示。

圖5 數(shù)據(jù)處理流程Fig.5 Data processing flow

2 加速壽命試驗(yàn)

諧波減速器的加速壽命試驗(yàn)以恒加應(yīng)力試驗(yàn)法進(jìn)行，其試驗(yàn)設(shè)備如圖6所示。

圖6 試驗(yàn)平臺(tái)Fig.6 Test platform

本次試驗(yàn)的諧波減速器額定轉(zhuǎn)矩為33 N·m。根據(jù)上文的疲勞極限初算諧波減速器的最大加速應(yīng)力水平為69 N·m。本試驗(yàn)選取兩個(gè)加速應(yīng)力水平，分別為55 N·m、69 N·m，每應(yīng)力水平有5臺(tái)樣機(jī)進(jìn)行加速試驗(yàn)，共10臺(tái)樣機(jī)同時(shí)進(jìn)行試驗(yàn)。由于試驗(yàn)過(guò)程中配重塊的重力矩一直在發(fā)生變化，導(dǎo)致諧波減速器的轉(zhuǎn)矩不恒定，根據(jù)下式可以算出諧波減速器的平均轉(zhuǎn)矩：

Tav=

(15)

以此作為負(fù)載輸入，額定工況和兩個(gè)應(yīng)力水平的平均轉(zhuǎn)矩與峰值力矩如表1所示。

表1 多應(yīng)力水平下平均轉(zhuǎn)矩與峰值轉(zhuǎn)矩

樣機(jī)試驗(yàn)過(guò)程中，由于齒面磨損造成其傳動(dòng)精度不斷衰減，且試驗(yàn)后期，衰減速度不斷加快，故平均每200 h將樣機(jī)置于傳動(dòng)精度檢測(cè)平臺(tái)(圖7)檢測(cè)其傳動(dòng)誤差，當(dāng)樣機(jī)的傳動(dòng)誤差超過(guò)42 rad·s或柔輪突然斷裂時(shí)即視為該樣機(jī)發(fā)生失效，試驗(yàn)一直持續(xù)到方案設(shè)計(jì)的定時(shí)截尾時(shí)間，期間要一直記錄失效的樣機(jī)數(shù)，試驗(yàn)結(jié)果如表2所示。試驗(yàn)中失效諧波減速器的柔輪如圖8所示。

圖7 傳動(dòng)精度檢測(cè)平臺(tái)Fig.7 Transmission accuracy testing platform

表2 加速應(yīng)力下樣機(jī)失效時(shí)間

(a)柔輪斷裂失效 (b)柔輪磨損失效圖8 樣機(jī)柔輪的失效Fig.8 Prototype flexspline failure

將表2的數(shù)據(jù)按照1.4節(jié)所述方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，求得威布爾分布參數(shù)估計(jì)值如表3所示。

表3 威布爾分布參數(shù)估計(jì)值

參數(shù)估計(jì)過(guò)程中兩加速應(yīng)力的MCMC抽樣均服從威布爾分布，如圖9所示，其中橫坐標(biāo)為威布爾分布形狀參數(shù)m的抽樣取值，縱坐標(biāo)為形狀參數(shù)m取值區(qū)間的抽樣個(gè)數(shù)。

(a)S1應(yīng)力水平下的MCMC抽樣

根據(jù)表3的數(shù)據(jù)，結(jié)合式(13)驗(yàn)證不同加速應(yīng)力下的失效機(jī)理是否發(fā)生改變，依據(jù)最小二乘法原理進(jìn)行直線擬合，結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，加速應(yīng)力S1和S2作用下的擬合曲線的斜率趨勢(shì)一致，表明諧波減速器在加速應(yīng)力作用下，失效機(jī)理一致且未發(fā)生失效機(jī)理的改變，符合加速應(yīng)力試驗(yàn)的加速性判定。

圖10 威布爾分布參數(shù)估計(jì)值擬合曲線Fig.10 Fitting curve of estimated parameters of Weibull distribution

由表3可知，m1=2.4625，m2=2.4113，所以形狀參數(shù)m的估計(jì)值為

tRL1為351.89 h，tRL2為732.27 h，因此，加速應(yīng)力水平S1對(duì)應(yīng)力水平S0的加速系數(shù)K(R10)為5.2210，加速應(yīng)力水平S2對(duì)應(yīng)力水平S0的加速系數(shù)K(R20)為10.8438。

由式(6)可得待定參數(shù)e=3.2316，將表1、表3代入式(3)可得A=1.2425×109，所以加速壽命模型為

ξ=2.3245×109S-3.2316

基準(zhǔn)載荷S0下的特征壽命為

樣機(jī)的可靠度表達(dá)式為

可靠度曲線如圖11所示。

圖11 樣機(jī)可靠度曲線Fig.11 Reliability curve of prototype

該諧波減速器的基本額定壽命為8000h，此時(shí)的可靠度為81%，比中位壽命的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)高出62%。

由此看出本文的試驗(yàn)方案有效地評(píng)估了諧波減速器的壽命指標(biāo)，提高了壽命評(píng)估準(zhǔn)確性。

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于加速壽命試驗(yàn)理論，結(jié)合諧波減速器的失效特性，提出了一種諧波減速器加速壽命試驗(yàn)方案。在該實(shí)驗(yàn)方案中，以柔輪的疲勞斷裂和整機(jī)的傳動(dòng)誤差作為失效判據(jù)；通過(guò)柔輪最大受載應(yīng)力確定加速應(yīng)力水平；以逆冪律模型作為壽命模型；采用極大似g然法結(jié)合馬爾可夫蒙特卡洛法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理。通過(guò)樣機(jī)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試，表明該方案提高了諧波減速器基本額定壽命可靠度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，比中位壽命的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)高出62%，提高了壽命評(píng)估的準(zhǔn)確性。