李光芳，范俊杰

（1.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018；2.內(nèi)蒙古鴻德文理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000）

引言

為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于教育的重要論述和全國(guó)教育大會(huì)精神，落實(shí)新時(shí)代全國(guó)高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議要求，必須深化教育教學(xué)改革，必須把教學(xué)改革成果落實(shí)到課程建設(shè)上。自2016年教育部在《關(guān)于中央部門所屬高校深化教育教學(xué)改革的指導(dǎo)意見》中提出著力推進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合以來，以學(xué)生為中心的線上線下混合式教學(xué)在全國(guó)各個(gè)高校的實(shí)踐中已初見成效，混合教學(xué)模式結(jié)合傳統(tǒng)教學(xué)方式的優(yōu)勢(shì)和網(wǎng)絡(luò)化教學(xué)的優(yōu)勢(shì)于一身，既發(fā)揮教師引導(dǎo)、啟發(fā)、監(jiān)控教學(xué)過程的主導(dǎo)作用，又充分體現(xiàn)學(xué)生作為學(xué)習(xí)過程主體的主動(dòng)性、積極性與創(chuàng)造性[1]。2020年初新型冠狀病毒肺炎疫情爆發(fā)，對(duì)高等教育模式提出了新的挑戰(zhàn)，受到疫情的影響，全國(guó)進(jìn)行線上教學(xué)、線上線下混合式教學(xué)，對(duì)教育模式產(chǎn)生了深刻的影響。在這期間，利用各種信息化手段，為確保做到教育部“停課不停教、停課不停學(xué)”的號(hào)召，各個(gè)高校積極探索在線教學(xué)模式，積極進(jìn)行教學(xué)改革實(shí)踐，高等教育向數(shù)字化轉(zhuǎn)型得到了前所未有的提升。在此基礎(chǔ)上，到現(xiàn)在的后疫情時(shí)代，線上線下有機(jī)融合的混合式教學(xué)將成為常態(tài)化和主流，因此，推進(jìn)線上線下混合式教學(xué)需要教師提升信息化能力和水平，還需要不斷進(jìn)行實(shí)踐、探索和思考，以達(dá)到提升教學(xué)質(zhì)量的需求。2021年教育部印發(fā)的《教育部高等教育司關(guān)于開展虛擬教研室試點(diǎn)建設(shè)工作的通知》中指出：以現(xiàn)代信息技術(shù)為依托，建設(shè)一批類型多樣、動(dòng)態(tài)開放的虛擬教研室。隨著虛擬教研室的建立，高校教師可協(xié)同教研，多學(xué)科交叉融合的同時(shí)提升自身能力，為更好地開展教學(xué)活動(dòng)提供有力支撐，助推高等教育高質(zhì)量發(fā)展。

線性代數(shù)是一門應(yīng)用非常廣泛的基礎(chǔ)學(xué)科，以往傳統(tǒng)的“教師講，學(xué)生聽”的教學(xué)模式已經(jīng)不能適應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用型人才的需求，因此有必要對(duì)該課程的教學(xué)模式進(jìn)行改革和創(chuàng)新[2-4]。在后疫情時(shí)期，將現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)與線性代數(shù)教育教學(xué)深度融合的線上線下混合教學(xué)模式，通過在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)創(chuàng)建開放、自由的學(xué)習(xí)環(huán)境，突破了時(shí)間上和空間上的限制，與傳統(tǒng)課堂教學(xué)相互結(jié)合、相互補(bǔ)充，使教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)形式更加豐富多彩。在教師的引領(lǐng)指導(dǎo)下，學(xué)生不再是被動(dòng)聽課，而是充分發(fā)揮“以學(xué)生為主體”的當(dāng)代教育理念，喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主觀能動(dòng)性，不僅學(xué)習(xí)理論知識(shí)，更能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新、合作、實(shí)際應(yīng)用等多方面的能力，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果的最大化?；旌鲜浇虒W(xué)模式不僅符合時(shí)代發(fā)展的需求，也是中國(guó)高等教育改革的趨勢(shì)所在，有著重要的現(xiàn)實(shí)意義[5]。

1 教學(xué)現(xiàn)狀及學(xué)情分析

線性代數(shù)是各高校理工科和經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)必修的一門公共基礎(chǔ)課，它不僅是后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)，也是將來在專業(yè)領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。線性代數(shù)課程的特點(diǎn)是內(nèi)容抽象，概念、定理、公式、符號(hào)多，前后知識(shí)的連貫性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的抽象能力、邏輯思維能力和計(jì)算能力都有較高的要求。但從目前線性代數(shù)教學(xué)情況看，大部分還是以傳統(tǒng)的課堂講授方式為主，知識(shí)的傳遞方式單一化，這樣就會(huì)受到學(xué)時(shí)少、班容量大、學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊等因素的影響，教師講授的內(nèi)容比較局限，只能以基本理論和復(fù)雜運(yùn)算為主，與實(shí)際應(yīng)用之間出現(xiàn)脫節(jié)，且學(xué)生自主探索和練習(xí)的時(shí)間非常少。

通過開課前對(duì)學(xué)生的調(diào)查問卷結(jié)果可以看出，學(xué)生有自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)，對(duì)新課程也有期待，且有意愿學(xué)好線性代數(shù)這門課程。但由于學(xué)習(xí)方法不當(dāng)，自制力差，有畏難情緒，隨著內(nèi)容的增多和加深，造成學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)動(dòng)力下降，學(xué)習(xí)興趣不足。因此，針對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容如何讓學(xué)生能聽得懂，感興趣，后續(xù)又用得上是老師面臨的挑戰(zhàn)。當(dāng)代大學(xué)生成長(zhǎng)于互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，對(duì)新技術(shù)和新信息的接受能力非常強(qiáng)，如果可以利用好學(xué)生的這一特點(diǎn)，將教學(xué)內(nèi)容增加以網(wǎng)絡(luò)信息呈現(xiàn)的形式，可以幫助學(xué)生在教師的引導(dǎo)下作為學(xué)習(xí)的主體積極主動(dòng)地加入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)多元化的學(xué)習(xí)。

因此，為保證教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量，運(yùn)用信息技術(shù)將豐富的線上教學(xué)資源與線下課程內(nèi)容有機(jī)結(jié)合的混合式教學(xué)模式勢(shì)在必行，通過這種方式使線性代數(shù)的學(xué)習(xí)變得不再枯燥，培養(yǎng)學(xué)生更強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，實(shí)現(xiàn)因材施教的目的。

2 線上線下有機(jī)融合的實(shí)施

線上線下混合教學(xué)模式為面對(duì)面的課堂教學(xué)和網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)的混合，要結(jié)合教師、學(xué)生以及課程的實(shí)際情況，制定更優(yōu)的教學(xué)方案，在教師的主導(dǎo)作用下，保證教學(xué)過程中學(xué)生的主體地位。線性代數(shù)的授課對(duì)象一般是大二學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)，具備了一定的邏輯思維能力，且對(duì)學(xué)校的網(wǎng)絡(luò)和學(xué)習(xí)環(huán)境非常熟悉，但大部分學(xué)生還是習(xí)慣于被動(dòng)地接受知識(shí)，只是為了應(yīng)付考試，并沒有充分了解線性代數(shù)實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值，因此結(jié)合這些特點(diǎn)和課程需求，教師應(yīng)充分利用互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，突破由于學(xué)時(shí)限制只能介紹理論知識(shí)的局限，喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力，能夠及時(shí)對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行鞏固、提高和延拓，真正做到學(xué)有所用。具體線上線下教學(xué)有機(jī)融合分為三個(gè)階段，實(shí)施過程見圖1。

圖1 混合教學(xué)模式實(shí)施過程

第一階段，喚醒學(xué)習(xí)動(dòng)力、深度預(yù)習(xí)。教師在線上教學(xué)平臺(tái)按照章節(jié)順序提供課程PPT和知識(shí)講解視頻，學(xué)生根據(jù)教師發(fā)布的導(dǎo)學(xué)單（導(dǎo)學(xué)單要對(duì)預(yù)習(xí)的內(nèi)容、學(xué)習(xí)的方法以及知識(shí)點(diǎn)中的重點(diǎn)難點(diǎn)進(jìn)行說明，并給出課前思考問題，思考問題不宜過難），結(jié)合教材和線上資源，合理安排時(shí)間在課前帶著問題自主完成預(yù)習(xí)，包括教學(xué)視頻的學(xué)習(xí)、小組互動(dòng)討論、線上預(yù)習(xí)成果測(cè)試等，過程中思考并對(duì)給出問題進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)概念性知識(shí)的儲(chǔ)備。這一階段是課堂教學(xué)的前置延伸，為課堂教學(xué)提供問題導(dǎo)向，這一部分學(xué)習(xí)任務(wù)的落實(shí)和執(zhí)行情況直接影響混合式教學(xué)的效果與質(zhì)量，因此教師要發(fā)揮好引導(dǎo)監(jiān)督的作用，讓每一位學(xué)生都積極參與到課前線上教學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考的習(xí)慣，這樣到線下課堂學(xué)習(xí)時(shí)，每一位學(xué)生都是有準(zhǔn)備、有思考地來聽課，而不是盲目地、毫無目的地被動(dòng)接受知識(shí)。

第二階段，線下課堂學(xué)習(xí)、研討。教師通過課前小測(cè)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生自主預(yù)習(xí)的效果進(jìn)行驗(yàn)收，然后再確定課堂教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。如果測(cè)試達(dá)到所有學(xué)生預(yù)習(xí)成效好的標(biāo)準(zhǔn)，可以進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂，教師提供實(shí)際問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，分組研討后分享展示小組的思想方法，過程中將課堂主導(dǎo)權(quán)教給學(xué)生，教師進(jìn)行指導(dǎo)和反饋，幫助學(xué)生更深入地理解知識(shí)點(diǎn)，最后再由教師進(jìn)行總結(jié)和拔高。如果測(cè)試未達(dá)到預(yù)期標(biāo)準(zhǔn)，線下課堂學(xué)習(xí)形式為教師主講，教師要以重點(diǎn)、難點(diǎn)和共性問題的講授為主，有意識(shí)地將知識(shí)點(diǎn)融入交流互動(dòng)中，提高學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)的參與度與認(rèn)同感，在問題驅(qū)動(dòng)和啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的思路、方法，提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的積極性，有效提高課堂教學(xué)的學(xué)習(xí)效率。在這一階段中教師作為知識(shí)建構(gòu)的指導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主動(dòng)性并參與開放式討論，學(xué)生通過自己獨(dú)立思考得到問題的答案，才能真正掌握所學(xué)知識(shí)，并會(huì)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，在這樣不斷訓(xùn)練下，還可提升自主學(xué)習(xí)的能力。

第三階段，線上課外鞏固、延拓。完成前兩個(gè)階段的學(xué)習(xí)后，學(xué)生在線上完成教師布置的課程作業(yè)，教師批改作業(yè)后給予評(píng)價(jià)和反饋，重點(diǎn)分析學(xué)生錯(cuò)題的原因，針對(duì)掌握不清楚的知識(shí)點(diǎn)在討論區(qū)及時(shí)與學(xué)生交流。教師根據(jù)授課的內(nèi)容，通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的討論區(qū)和拓展資源模塊，發(fā)布生活中與線性代數(shù)相關(guān)的有趣問題和一些數(shù)學(xué)家的家國(guó)情懷故事，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過線上多元化的模塊，利用課余時(shí)間自主安排能力提升訓(xùn)練，包括考研、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題，利用互聯(lián)網(wǎng)搜集相關(guān)前沿信息等，通過實(shí)際應(yīng)用訓(xùn)練，將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化為能力素養(yǎng)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的信息素養(yǎng)和思想政治素養(yǎng)。針對(duì)熱點(diǎn)問題和難點(diǎn)問題，學(xué)生之間以及學(xué)生和教師之間可以在討論區(qū)相互討論，并根據(jù)關(guān)鍵詞可搜索討論過的問題。通過互動(dòng)討論，培養(yǎng)學(xué)生樂于奉獻(xiàn)、勇于擔(dān)當(dāng)?shù)木窈徒涣骱献鞯哪芰Α?/p>

下面以高斯消元法為例，舉例說明線上線下融合的過程：

通過課前預(yù)習(xí)，學(xué)生需掌握線性方程組的一般形式以及增廣矩陣等概念性知識(shí)，并在預(yù)習(xí)過程中思考線性方程組的消元法與矩陣的初等變換之間的關(guān)系。帶著問題完成預(yù)習(xí)任務(wù)，過程中遇到難理解的知識(shí)點(diǎn)，可在討論區(qū)與同學(xué)和老師互動(dòng)討論。

課堂學(xué)習(xí)時(shí)，教師先給出一個(gè)問題，大家分組探討并展示研討的分析思路和解決方法。引例：今年疫情又卷土重來，假設(shè)A市需要30噸的物資支援，B市需要40噸，C市需要50噸。呼和浩特、赤峰、通遼、呼倫貝爾可運(yùn)送物資，一次運(yùn)送情況如下表（單位：噸），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種運(yùn)輸方案。

A市 B市 C市呼和浩特 1 2 3赤峰 4 7 10通遼 3 2 1呼倫貝爾 5 3 1

通過實(shí)際問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生來說將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，寫出線性方程組應(yīng)該比較容易。設(shè)呼和浩特、赤峰、通遼、呼倫貝爾分別運(yùn)送x1，x2，x3，x4次，則

分組討論后，請(qǐng)采用不同方法的同學(xué)展示小組方案，教師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，最后給出利用增廣矩陣的初等行變換求出原方程組解的方法，即高斯消元法。解法：

對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換

由于R(A)=R(A,b)=2＜4，故方程組有無窮多個(gè)解。與原方程組同解的方程組為

取x3，x3為自由未知量，解得

取k1=3，k2=1，得整數(shù)解x1=12，x2=1，x3=3，x4=1；或取k1=1，k2=2，得x1=9，x2=2，x3=1，x4=2。只有兩組整數(shù)解，因此有兩種方案，即呼和浩特、赤峰、通遼、呼倫貝爾分別運(yùn)送12，1，3，1次或9，2，1，2次。

在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅可以掌握理論知識(shí)，也可培養(yǎng)學(xué)生眾志成城、共克時(shí)艱的團(tuán)結(jié)互助精神。課下在線上布置作業(yè)的同時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行能力提升訓(xùn)練，如根據(jù)實(shí)際車流量信息設(shè)計(jì)交通流量控制方案等問題，布置學(xué)生自己查找閱讀運(yùn)用線性方程組解決相關(guān)專業(yè)問題的學(xué)術(shù)論文等。

3 教學(xué)評(píng)價(jià)

在教學(xué)評(píng)價(jià)方面，采用平時(shí)成績(jī)占40%和期末卷面成績(jī)占60%的評(píng)價(jià)機(jī)制。混合式教學(xué)拓寬了教學(xué)的時(shí)間、空間和形式，在課程評(píng)價(jià)體系中應(yīng)更加注重過程考核，應(yīng)將線上學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)和線下學(xué)習(xí)參與度、互動(dòng)和測(cè)評(píng)全部納入評(píng)價(jià)體系中，改變以往只以平時(shí)作業(yè)和期末考試為主的考核方式，學(xué)生從開始就必須全程認(rèn)真、積極參與教學(xué)活動(dòng)，才可取得好成績(jī)，不再是考前突擊幾天即可勉強(qiáng)及格，這樣學(xué)生才可真正掌握知識(shí)，并具備思考和運(yùn)用的能力。評(píng)價(jià)過程包含課前、課中和課后的全過程，既包含“數(shù)量”評(píng)價(jià)，也包含“質(zhì)量”評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)來源于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)收集的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)。利用Excel對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)進(jìn)行精準(zhǔn)分析，形成最終評(píng)價(jià)，并且每?jī)芍軐㈦A段性的平時(shí)成績(jī)考核結(jié)果反饋給學(xué)生，讓學(xué)生掌握自己的“實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)”。具體考核項(xiàng)目見圖2。

圖2 考核項(xiàng)目及所占比例

4 總結(jié)

本文根據(jù)線性代數(shù)課程特點(diǎn)和學(xué)生特點(diǎn)，針對(duì)后疫情時(shí)代，對(duì)線性代數(shù)課程線上線下有機(jī)融合的混合式教學(xué)進(jìn)行了構(gòu)建。該教學(xué)模式教學(xué)資源實(shí)時(shí)更新，師生及生生實(shí)時(shí)交流互動(dòng)，學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)實(shí)時(shí)記錄，使得課程的教學(xué)效果得到了很大程度地提高。在教學(xué)過程中能夠?qū)⒔虒W(xué)內(nèi)容和社會(huì)熱點(diǎn)問題進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，將思政元素適時(shí)融入到課程內(nèi)容之中。

線上線下線性代數(shù)混合教學(xué)模式不是簡(jiǎn)單地補(bǔ)充線上資源，然后課堂還是傳統(tǒng)的教師講學(xué)生聽的模式，而是要充分融合突出學(xué)生的主體性，積極主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，并且有自己獨(dú)立的思考，這樣不僅可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、自主學(xué)習(xí)能力、探究能力和協(xié)作能力，而且學(xué)生熟練掌握基本知識(shí)的同時(shí)，還可訓(xùn)練舉一反三和實(shí)際應(yīng)用的能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和人才培養(yǎng)奠定理論基礎(chǔ)和思維基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)用統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生成為真正具有應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的新時(shí)代大學(xué)生。