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        多維聯(lián)想,實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題層次的提升
        ——對一道幾何題的探究與思考

        2022-10-17 10:51:34
        數(shù)學(xué)之友 2022年15期
        關(guān)鍵詞:菱形平行四邊形線段

        王 偉

        (浙江省寧波市象山縣大目灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校,浙江寧波,315700)

        學(xué)生常說“不會的問題老師一講就懂,但自己碰到就不知如何下手.”這反映出學(xué)生解題存在的一個普遍問題,即如何探尋解題思路.解題時(shí),應(yīng)當(dāng)想些什么,怎么想.波利亞告訴我們:“你以前見過它嗎?你是否知道與此有關(guān)的問題?你是否知道一個可能用得上的定理?”這說明解決問題離不開聯(lián)想.教師如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題所包含的有用信息,聯(lián)想與之相關(guān)的內(nèi)容,幫助學(xué)生解題?本文以一道中考改編題的解法探究為例,談?wù)勛约旱膶?shí)踐與思考.

        1 題目呈現(xiàn)

        圖1

        2 解法探究

        課程標(biāo)準(zhǔn)指出:“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)需讓學(xué)生體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.”同時(shí)不同思維層次水平的學(xué)生思考問題的出發(fā)點(diǎn)不同,有的學(xué)生喜歡從已知條件入手,由因?qū)Ч?;有的學(xué)生喜歡從圖形特征出發(fā),從整體結(jié)構(gòu)去尋找思路;也有學(xué)生習(xí)慣從結(jié)論出發(fā),執(zhí)果索因.觀察本題,從已知條件來看有菱形、平行、線段倍長關(guān)系、角倍分關(guān)系,兩條線段長,隱含條件是相似三角形;從圖形特征來看有菱形、等腰三角形、隱含圖形是平行四邊形、全等三角形、相似三角形;從待求結(jié)論來看求的是菱形的邊長即求線段長度的計(jì)算型問題.

        2.1 轉(zhuǎn)化已知條件,合理聯(lián)想

        解法1(截長+平行四邊形+共邊共角相似)

        圖2

        如圖2,在AC上截取AO=EF,連接FO并延長分別交DE,AD于點(diǎn)G,H.

        ∵EF∥AC,AO=EF.

        ∴四邊形AEFO是平行四邊形.

        ∴FH∥AB.

        ∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn).

        ∴點(diǎn)G,H分別是ED,AD的中點(diǎn).

        設(shè)CD=2t,則OH=t,GF=t+2-1=t+1.

        ∵FH∥AB.

        又∵∠FEG=∠DEF.

        ∴△EFG∽△EDF.

        解法2(補(bǔ)短+平行四邊形+共邊共角相似)

        如圖3延長EF,使EM=2EF,連接CM.

        圖3

        ∵AC∥EF,又∵AC=EM=2EF.

        ∴四邊形AEMC是平行四邊形.

        ∴AE=CM,∠EAC=∠M,∠EAC+∠ACM=180°.

        ∵∠EAC=∠ACD.

        ∴∠ACD+∠ACM=180°,即D,C,M三點(diǎn)共線.

        ∴△EFD∽△EDM.

        解法3(平行四邊形+共邊共角相似+全等三角形)

        如圖4,連接BO交AC于點(diǎn)O,過點(diǎn)E畫EF垂線與FO延長線交于點(diǎn)H,F(xiàn)H交DE于點(diǎn)G.同解法1可知,四邊形AEFO是平行四邊形,G是DE的中點(diǎn).

        圖4

        ∴∠1=∠2=∠EDF,∠GEF=∠FED.

        ∴△GEF∽△FED.

        ∵EH⊥EF,DO⊥AC,EF∥AC.

        ∴EH∥DO.∴∠4=∠5而∠6=∠7.

        ∴△EGH≌△DGO.

        ∵∠2=∠1=∠3,EF=AO,∠HEF=∠DOA=90°.

        ∴△HEF≌△DOA.

        2.2 應(yīng)用圖形特征,整體聯(lián)想

        任何一道數(shù)學(xué)問題都是有結(jié)構(gòu)的,組成問題的各要素相互關(guān)聯(lián)、相互制約,形成一個整體.從整體結(jié)構(gòu)上去全面理解題意,可以尋得總體思路.菱形是圖形的整體結(jié)構(gòu),聯(lián)想到菱形的重要性質(zhì):中心對稱.圖形的中心對稱也是用來解決與菱形以及平行四邊形有關(guān)問題的重要方法.

        解法4(中心對稱+相似三角形)

        圖5

        如圖5,延長EF,使EM=2EF,連接CM,延長DF,交AB的延長線于點(diǎn)G.

        同解法2得四邊形AEMC是平行四邊形.

        ∵AB∥CD.

        ∴∠M=∠GEF,∠MDF=∠G.

        ∴△MDF≌△EGF.

        ∴DF=FG=5,MD=EG.

        ∴△GEF∽△GDE.

        解法5(中位線+全等三角形+共邊共角相似)

        如圖6,連接CF并延長交AB于點(diǎn)N,延長DF,交AB的延長線于點(diǎn)M.

        圖6

        ∵EF∥AC,AC=2EF.

        ∴AE=EN=2,CF=FN.

        ∵AM∥CD.

        ∴∠M=∠MDC,∠MNF=

        ∠DCF.

        ∴△MNF≌△DCF.

        ∴DF=FM=5,MN=CD.

        ∴△MEF∽△MDE.

        2.3 綜合待求結(jié)論,合情聯(lián)想

        “結(jié)論也是已知信息”,由結(jié)論尋找條件,由條件推算結(jié)論,綜合看條件與結(jié)論之間的聯(lián)系是常用的解題手段.這是一道求線段長度的幾何計(jì)算型試題.結(jié)合已知條件,聯(lián)想到求線段的長度的常見的方法:勾股定理、相似三角形三邊對應(yīng)成比例.題中雖有菱形的對角線互相垂直這一性質(zhì)可以構(gòu)造直角三角形,但是不具備其他條件.題中存在相似三角形:△AEG∽△DGH∽△DEF∽△CGD,從中選取合適的相似三角形利用其對應(yīng)邊成比例建立方程求解.

        解法6(AGE∽△DEF+△CDG∽△DFE+方程)

        設(shè)AG=2x,GE=2y.

        圖7

        ∵EF∥AC.∴∠3=∠4.

        ∴△AGE∽△DEF.

        ∴DE=5x,EF=5y.

        ∴GD=5x-2y.

        ∵AC=2EF=10y.

        ∴CG=10y-2x.

        ∵∠EDF=∠2,∠5=∠3=∠4.

        ∴△CDG∽△DFE.

        解法7(△AGE∽△DEF+△AGE∽△CGD+方程)

        如圖7,設(shè)AG=2x,GE=2y.

        同解法6可得DE=5x,EF=5y,AC=2EF=10y.

        ∵∠1=∠2,∠3=∠5.

        ∴△AGE∽△CGD.

        3 解后反思

        3.1 多角度觀察促進(jìn)多維聯(lián)想——發(fā)散思維

        3.2 建立結(jié)構(gòu)化的知識結(jié)構(gòu)框圖——關(guān)聯(lián)思考

        題目的信息開始是孤立的、零散的、雜亂的.首先經(jīng)過思考,判定哪些是有用的,哪些是暫時(shí)用不著的,再考慮將有用的信息按怎樣的先后順序加以串聯(lián)和組織,最后在頭腦中形成解決問題的知識結(jié)構(gòu)框圖.如本題有序思考后解法2的知識結(jié)構(gòu)框圖如下圖.

        解法8解題關(guān)鍵是由已知條件AC=2EF,即F是EM的中點(diǎn)聯(lián)想到構(gòu)造平行四邊形,解后再進(jìn)一步思考該條件還可聯(lián)想中線倍長得到解法4,還可聯(lián)想中位線得到解法3,將這些解法整合在一起就形成本題解法的“關(guān)聯(lián)性”結(jié)構(gòu)鏈,促進(jìn)學(xué)生解題思維的深層次發(fā)展.

        數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是“教會學(xué)生思考”,解題教學(xué)的重心需從傳授現(xiàn)成的“數(shù)學(xué)結(jié)論”轉(zhuǎn)向“數(shù)學(xué)思維”的培養(yǎng).學(xué)生通過觀察聯(lián)想獲得多種解法,經(jīng)歷了思維的發(fā)散,拓寬了思維的廣度;通過有序思考形成解法的結(jié)構(gòu)鏈,經(jīng)歷了思維的聚合,拓展了思維的深度,最終切實(shí)提高數(shù)學(xué)解題能力.

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