王 偉
(浙江省寧波市象山縣大目灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校,浙江寧波,315700)
學(xué)生常說“不會的問題老師一講就懂,但自己碰到就不知如何下手.”這反映出學(xué)生解題存在的一個普遍問題,即如何探尋解題思路.解題時(shí),應(yīng)當(dāng)想些什么,怎么想.波利亞告訴我們:“你以前見過它嗎?你是否知道與此有關(guān)的問題?你是否知道一個可能用得上的定理?”這說明解決問題離不開聯(lián)想.教師如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題所包含的有用信息,聯(lián)想與之相關(guān)的內(nèi)容,幫助學(xué)生解題?本文以一道中考改編題的解法探究為例,談?wù)勛约旱膶?shí)踐與思考.
圖1
課程標(biāo)準(zhǔn)指出:“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)需讓學(xué)生體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.”同時(shí)不同思維層次水平的學(xué)生思考問題的出發(fā)點(diǎn)不同,有的學(xué)生喜歡從已知條件入手,由因?qū)Ч?;有的學(xué)生喜歡從圖形特征出發(fā),從整體結(jié)構(gòu)去尋找思路;也有學(xué)生習(xí)慣從結(jié)論出發(fā),執(zhí)果索因.觀察本題,從已知條件來看有菱形、平行、線段倍長關(guān)系、角倍分關(guān)系,兩條線段長,隱含條件是相似三角形;從圖形特征來看有菱形、等腰三角形、隱含圖形是平行四邊形、全等三角形、相似三角形;從待求結(jié)論來看求的是菱形的邊長即求線段長度的計(jì)算型問題.
解法1(截長+平行四邊形+共邊共角相似)
圖2
如圖2,在AC上截取AO=EF,連接FO并延長分別交DE,AD于點(diǎn)G,H.
∵EF∥AC,AO=EF.
∴四邊形AEFO是平行四邊形.
∴FH∥AB.
∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn).
∴點(diǎn)G,H分別是ED,AD的中點(diǎn).
設(shè)CD=2t,則OH=t,GF=t+2-1=t+1.
∵FH∥AB.
又∵∠FEG=∠DEF.
∴△EFG∽△EDF.
解法2(補(bǔ)短+平行四邊形+共邊共角相似)
如圖3延長EF,使EM=2EF,連接CM.
圖3
∵AC∥EF,又∵AC=EM=2EF.
∴四邊形AEMC是平行四邊形.
∴AE=CM,∠EAC=∠M,∠EAC+∠ACM=180°.
∵∠EAC=∠ACD.
∴∠ACD+∠ACM=180°,即D,C,M三點(diǎn)共線.
∴△EFD∽△EDM.
解法3(平行四邊形+共邊共角相似+全等三角形)
如圖4,連接BO交AC于點(diǎn)O,過點(diǎn)E畫EF垂線與FO延長線交于點(diǎn)H,F(xiàn)H交DE于點(diǎn)G.同解法1可知,四邊形AEFO是平行四邊形,G是DE的中點(diǎn).
圖4
∴∠1=∠2=∠EDF,∠GEF=∠FED.
∴△GEF∽△FED.
∵EH⊥EF,DO⊥AC,EF∥AC.
∴EH∥DO.∴∠4=∠5而∠6=∠7.
∴△EGH≌△DGO.
∵∠2=∠1=∠3,EF=AO,∠HEF=∠DOA=90°.
∴△HEF≌△DOA.
任何一道數(shù)學(xué)問題都是有結(jié)構(gòu)的,組成問題的各要素相互關(guān)聯(lián)、相互制約,形成一個整體.從整體結(jié)構(gòu)上去全面理解題意,可以尋得總體思路.菱形是圖形的整體結(jié)構(gòu),聯(lián)想到菱形的重要性質(zhì):中心對稱.圖形的中心對稱也是用來解決與菱形以及平行四邊形有關(guān)問題的重要方法.
解法4(中心對稱+相似三角形)
圖5
如圖5,延長EF,使EM=2EF,連接CM,延長DF,交AB的延長線于點(diǎn)G.
同解法2得四邊形AEMC是平行四邊形.
∵AB∥CD.
∴∠M=∠GEF,∠MDF=∠G.
∴△MDF≌△EGF.
∴DF=FG=5,MD=EG.
∴△GEF∽△GDE.
解法5(中位線+全等三角形+共邊共角相似)
如圖6,連接CF并延長交AB于點(diǎn)N,延長DF,交AB的延長線于點(diǎn)M.
圖6
∵EF∥AC,AC=2EF.
∴AE=EN=2,CF=FN.
∵AM∥CD.
∴∠M=∠MDC,∠MNF=
∠DCF.
∴△MNF≌△DCF.
∴DF=FM=5,MN=CD.
∴△MEF∽△MDE.
“結(jié)論也是已知信息”,由結(jié)論尋找條件,由條件推算結(jié)論,綜合看條件與結(jié)論之間的聯(lián)系是常用的解題手段.這是一道求線段長度的幾何計(jì)算型試題.結(jié)合已知條件,聯(lián)想到求線段的長度的常見的方法:勾股定理、相似三角形三邊對應(yīng)成比例.題中雖有菱形的對角線互相垂直這一性質(zhì)可以構(gòu)造直角三角形,但是不具備其他條件.題中存在相似三角形:△AEG∽△DGH∽△DEF∽△CGD,從中選取合適的相似三角形利用其對應(yīng)邊成比例建立方程求解.
解法6(AGE∽△DEF+△CDG∽△DFE+方程)
設(shè)AG=2x,GE=2y.
圖7
∵EF∥AC.∴∠3=∠4.
∴△AGE∽△DEF.
∴DE=5x,EF=5y.
∴GD=5x-2y.
∵AC=2EF=10y.
∴CG=10y-2x.
∵∠EDF=∠2,∠5=∠3=∠4.
∴△CDG∽△DFE.
解法7(△AGE∽△DEF+△AGE∽△CGD+方程)
如圖7,設(shè)AG=2x,GE=2y.
同解法6可得DE=5x,EF=5y,AC=2EF=10y.
∵∠1=∠2,∠3=∠5.
∴△AGE∽△CGD.
題目的信息開始是孤立的、零散的、雜亂的.首先經(jīng)過思考,判定哪些是有用的,哪些是暫時(shí)用不著的,再考慮將有用的信息按怎樣的先后順序加以串聯(lián)和組織,最后在頭腦中形成解決問題的知識結(jié)構(gòu)框圖.如本題有序思考后解法2的知識結(jié)構(gòu)框圖如下圖.
解法8解題關(guān)鍵是由已知條件AC=2EF,即F是EM的中點(diǎn)聯(lián)想到構(gòu)造平行四邊形,解后再進(jìn)一步思考該條件還可聯(lián)想中線倍長得到解法4,還可聯(lián)想中位線得到解法3,將這些解法整合在一起就形成本題解法的“關(guān)聯(lián)性”結(jié)構(gòu)鏈,促進(jìn)學(xué)生解題思維的深層次發(fā)展.
數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是“教會學(xué)生思考”,解題教學(xué)的重心需從傳授現(xiàn)成的“數(shù)學(xué)結(jié)論”轉(zhuǎn)向“數(shù)學(xué)思維”的培養(yǎng).學(xué)生通過觀察聯(lián)想獲得多種解法,經(jīng)歷了思維的發(fā)散,拓寬了思維的廣度;通過有序思考形成解法的結(jié)構(gòu)鏈,經(jīng)歷了思維的聚合,拓展了思維的深度,最終切實(shí)提高數(shù)學(xué)解題能力.