蔣志勇

(江蘇省如皋初級中學(xué)，江蘇如皋，226599)

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生分析和解決一些綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題的重要工具，在學(xué)生四能發(fā)展中起到十分重要的作用.數(shù)學(xué)教學(xué)，要重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué).一線課堂應(yīng)努力將數(shù)學(xué)思想的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用融入常態(tài)課堂，要力求讓學(xué)生經(jīng)歷分析問題和解決問題的完整過程，并通過交流總結(jié)，感悟數(shù)學(xué)思想的客觀存在和應(yīng)用價(jià)值，從而提升其數(shù)學(xué)能力.本文擬結(jié)合一道例題的教學(xué)過程及簡要分析，談?wù)劰P者的做法，供大家參考.

1 例題及分析

例題已知P=x2+t，Q=2x，若對于任意的實(shí)數(shù)x，P>Q始終成立，則t的取值范圍為.

簡析：本題是有兩個(gè)等式和一個(gè)不等式組成的“求取值范圍”的例題，題目將函數(shù)、方程、不等式等知識融為一體，意在讓學(xué)生通過方程、不等式向函數(shù)的轉(zhuǎn)化，調(diào)用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想來分析和解決問題.本題被教師作為例題，安排在“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”復(fù)習(xí)課中.

2 教學(xué)過程及簡析

2.1 教學(xué)過程簡述

2.1.1 自主解答，組內(nèi)交流

教師投影例題，讓學(xué)生自主解答，3分鐘后，學(xué)生在學(xué)習(xí)小組中交流結(jié)果，解題思路及出錯(cuò)的原因.

2.1.2 全班交流，分享解法

學(xué)生組內(nèi)交流結(jié)束后，教師安排學(xué)生進(jìn)行了8分鐘的解法分享，按小組分別展示了如下幾種解法：

小組1：P=x2+t，Q=2x，可以看作是兩個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，P>Q就可以看作是函數(shù)P的值的大于函數(shù)Q的值，接下來在坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象.如圖1，當(dāng)兩函數(shù)圖象只有唯一的一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，P=Q，此時(shí)，方程x2+t=2x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ=0，所以，t=1，將P=x2+t的圖象向上平移，即讓t>1，即可保證P>Q了.

小組2：由P>Q得P-Q>0，將P=x2+t，Q=2x統(tǒng)整為一個(gè)函數(shù)y=x2-2x+t，作大致圖象如圖2，結(jié)合P-Q>0得y>0，即函數(shù)圖象位于x軸上方，所以，方程x2-2x+t=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，由Δ>0可得t>1.

小組3：P>Q，即x2+t>2x，整理得x2-2x>-t.令y1=x2-2x，y2=-t，作兩函數(shù)的圖象如圖3.當(dāng)y2=-t的圖象位于y1=x2-2x的下方時(shí)，滿足題目要求，此時(shí)-t<-1，即t>1.

圖1

圖2

圖3

2.1.3 小結(jié)提升，歸納經(jīng)驗(yàn)

教師引導(dǎo)學(xué)生回看三個(gè)小組列出的式子、畫出的圖象，逐一梳理三種不同解法的解題過程，并歸納出共性過程：先依據(jù)題意建構(gòu)數(shù)學(xué)模型(數(shù))——一次函數(shù)或二次函數(shù)，畫出函數(shù)圖象(形)，根據(jù)函數(shù)圖象建構(gòu)新的方程(組)或不等式(組)等數(shù)學(xué)模型(數(shù))，通過解這些新建的模型得到問題的答案.教師隨即將“數(shù)→形→數(shù)”板書在黑板上，并指出這是今后解答此類數(shù)學(xué)問題的一般路徑.

2.2 簡析

教師為這道例題的教學(xué)安排了三個(gè)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)，自主解答，組內(nèi)交流.學(xué)生先獨(dú)立思考，嘗試解決問題，然后小組交流，各人將自己的思考成果組內(nèi)分享，并在小組中達(dá)成共識；第二個(gè)環(huán)節(jié)，全班交流，分享解法.教師安排學(xué)生以小組為單位將本組的解法再全部進(jìn)行了分享，三種不同路徑下的數(shù)形結(jié)合，為下面的總結(jié)歸納提供了充足的素材；第三環(huán)節(jié)，小結(jié)提升，歸納經(jīng)驗(yàn).教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞第三個(gè)環(huán)節(jié)中呈現(xiàn)的三種不同方法，歸納其共性路徑，學(xué)生在梳理中不斷感悟數(shù)形結(jié)合思想，并對解決此類問題的一般方法——“數(shù)→形→數(shù)”有了更深的認(rèn)識.

3 教后反思

3.1 例題教學(xué)要關(guān)注問題本質(zhì)

例題教學(xué)要關(guān)注問題的本質(zhì)，要帶領(lǐng)學(xué)生揭去問題情境的外衣，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，把握問題的實(shí)質(zhì)，從而找尋到問題解決的一般路徑.比如，本文中的這道例題，表面看是方程、不等式，其實(shí)質(zhì)確是函數(shù)問題，是需要借助函數(shù)圖象的高低來解決的.在教學(xué)中，如果教師不去引導(dǎo)學(xué)生透過方程組、不等式這一表象，去看到函數(shù)的本質(zhì)，那問題的解答與交流時(shí)很難有深度的，學(xué)生的發(fā)展自然也就很難契合例題設(shè)計(jì)的要求了.事實(shí)上，例題的本質(zhì)在其作為例題時(shí)就已經(jīng)明確了，比如，本文中的這道例題被教師安排在“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”復(fù)習(xí)課上，其用意是十分明顯的，如果學(xué)生個(gè)體不能看透這個(gè)話，片斷中安排的小組交流、全班交流同樣可以揭示這一實(shí)質(zhì)，所以，關(guān)注例題的本質(zhì)應(yīng)是教師課前要做的功課，課上也可以在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)予以明晰.

3.2 解題交流要聚焦同質(zhì)方法

一題多解在數(shù)學(xué)中十分常見.相同的數(shù)學(xué)問題，不同人會有不同思考路徑，也就會產(chǎn)生不同的解題方法.人的差異、情境的不同等都是產(chǎn)生異樣解法的重要原因，而我們的數(shù)學(xué)教學(xué)在通過多樣解法呈現(xiàn)學(xué)生的不同思維歷程，達(dá)到梳理知識、積累經(jīng)驗(yàn)的目的時(shí)，我們還應(yīng)關(guān)注同質(zhì)方法的歸納總結(jié)，要力求在相同解法的“同在何處”和“差在哪里”的詳實(shí)分析，讓學(xué)生獲取這類數(shù)學(xué)問題解決的通解通法，以求實(shí)現(xiàn)“解一題，會一類，通一片”的教學(xué)目標(biāo).再來說說文中的這道例題，學(xué)生完全可以利用配方法來求解，但教師并沒有將此為作為教學(xué)的重點(diǎn)加以呈現(xiàn)，而是讓學(xué)生觀摩了三組“數(shù)→形→數(shù)”的求解過程，這些同質(zhì)方法的交流，使學(xué)生對方程(組)、不等式(組)與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的解析式法與圖象法的關(guān)系有了深刻的認(rèn)識，有助于他們厘清初中最常見的三種代數(shù)模型之間的關(guān)系.

3.3 思想感悟要扎根過程體驗(yàn)

數(shù)學(xué)思想教學(xué)，過程體驗(yàn)尤為重要.數(shù)學(xué)思想一般都是隱性存在的，沒有個(gè)體的深入體驗(yàn)，我們一般很難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的客觀存在.因而，數(shù)學(xué)思想教學(xué)，要重視過程的歷練，要讓學(xué)生在近乎相同的分析問題和解決問題的過程中，不斷感知到同一類型路徑在問題解決過程中的價(jià)值.此時(shí)，再輔以教師或?qū)W生的適時(shí)點(diǎn)撥提升，數(shù)學(xué)思想才會“躍然紙上”，成為學(xué)生能夠接受的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).以本文所涉及的數(shù)形結(jié)合為例，我們平時(shí)教學(xué)一直掛在嘴邊，本節(jié)課上如果沒有每一名學(xué)生自主的過程探索，沒有小組交流的分享探討，沒有全班交流的圖文展示，學(xué)生對“數(shù)→形→數(shù)”的過程體驗(yàn)絕不會有本課中的那樣深刻，對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識也不可能達(dá)到本節(jié)課教學(xué)的高度.

例題教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).面對同一道例題，不同的老師講評會有不同的側(cè)重，有些老師注重一題多解，有些老師注重思路分享，有些老師注重過程展示……本文中的老師則做到了多法歸一，在眾多同質(zhì)方法中抽取了共性方法——數(shù)形結(jié)合.這樣的教學(xué)，源于例題，但高于例題，將解題通法作為教學(xué)的核心任務(wù)，在方法歸納中引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，給例題教學(xué)設(shè)置了“立足當(dāng)下，放眼長遠(yuǎn)”的目標(biāo)定位，從教學(xué)成效看，如此教法，還是可取的.以上是筆者基于一道例題“多法歸一”教法的點(diǎn)滴思考，因才疏學(xué)淺，疏漏之處難有，敬請各位同行專家批評指正.