雷安桃

(凱里學院，貴州凱里，556000)

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022版)》指出：“通過數(shù)學的思維，可以揭示客觀事物的本質(zhì)屬性；能夠運用符合運算、形式推理等數(shù)學方法，分析、解決數(shù)學問題和實際問題；能夠發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維.[1]”這說明從辯證的角度去分析問題，發(fā)展學生的批判性思維，培養(yǎng)學生的問題解決能力是十分重要的.本文以辯證思維為視角，對初中數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生問題解決能力進行思考和研究.

1 透過數(shù)學現(xiàn)象，抓住數(shù)學本質(zhì)

1.1 概念與背景

透過現(xiàn)象看本質(zhì)是辯證思維的一個重要方面，我們對事物的思考不能僅僅停留在表面，要學會透過表面去看到事物所固有的本質(zhì)屬性，在數(shù)學中，情境化、多變式的數(shù)學問題往往無法使學生透過情境抓住數(shù)學本質(zhì).

1.2 教學實施

學習數(shù)學知識和思考數(shù)學問題的過程中，不要被數(shù)學知識的表面現(xiàn)象所迷惑.要學會透過數(shù)學的現(xiàn)象去揭示其中的數(shù)學規(guī)律，并利用揭示的數(shù)學規(guī)律解決問題，提升解決一類問題的能力.

如何在教學中去引導(dǎo)學生透過圖形這個現(xiàn)象去把握本質(zhì)呢？例如在多邊形內(nèi)角和教學中，教師在進行多邊形內(nèi)角和練習中有這樣一道問題：

(1) 求下列三個圖形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).

圖1

圖2

圖3

(2) 求一下圖形中∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù).

圖4

圖5

圖6

問題1：這幾個圖形有什么樣的聯(lián)系？

通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)圖2是由圖1中的點A轉(zhuǎn)移到線段BE的下方，圖3是由圖1的點B和點E移到圖形中間，圖4、圖5、圖6分別是把圖1、圖2、圖3中的頂點A切成線段GF，也就是說后面的五個圖形都是由圖1演變而來的，這是他們之間的聯(lián)系.

問題2：既然它們之間有如此聯(lián)系，如何進行轉(zhuǎn)化呢？

連接線段CD，我們發(fā)現(xiàn)可以把第一題的5個角內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形求解，把第二題中的六個角的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成我們熟悉的四邊形進行求解.

問題3：這6個圖形都可以用什么方法進行求解？

多邊形的內(nèi)角和公式：(n-2)×180°進行求解.

在這個過程中我們透過這些不同圖形的表象，揭示它們之間的本質(zhì)是多邊形的內(nèi)角和，這種由此及彼、由表及里的思索，可以讓學生們更好地揭示問題的規(guī)律.

2 化動為靜，靜觀其變

2.1 概念與背景

辯證唯物主義告訴我們：運動是物質(zhì)存在的方式和固有屬性，是永恒的，絕對的；而靜止則是相對的，暫時的，是物質(zhì)運動的一種特殊形式，這就是運動和變化的觀點[2].正如人在坐火車時，人沒有感覺在動，卻感覺到車窗外的樹木和建設(shè)在飛快地往后倒退，這種“車靜而物動”啟發(fā)我們，有時候“靜止”的狀態(tài)是伴隨著“運動”的，這也可以說化動為靜，靜觀其變，我們只有在運動的事物中尋求相對的靜止，才能去把握住事物的本質(zhì).在初中常見的問題中就是圖形的動點問題.

2.2 教學實施

教學中要引導(dǎo)學生用運動和靜止的觀點去思考問題并解決問題，在看待問題的時候要多方面思考，走出自己固有的思維，在解決問題的過程中要學會變換看問題的思路，尋找多種多樣的解題方法.

在教學中如何引導(dǎo)學生用運動和靜止的觀點解決問題呢？例如在初步講動點問題專題中有這樣一個問題：

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9 cm，BC=6 cm，點P從點A出發(fā)，沿著AD的方向向終點D以每秒一個單位的速度運動，當點P在AD上運動時，設(shè)運動時間為t，求當t為何值時，四邊形APCB為平行四邊形.

問題：如何用把運動的動點P化為靜止的平行四邊形？

最終是求APCB為平行四邊形，所以可以利用平行四邊形的性質(zhì)去求得動點P移動的距離.

∵四邊形APCB為平行四邊形，

∴BC=AP且BC=AP，

∴AP=6，∴t=6.

這個題目是最簡單的動點構(gòu)成特殊圖形類型，解決這一類動點構(gòu)成特殊圖形的問題，分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，確定特殊圖形中動點的位置，畫出符合題意的圖形——化動為靜，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決動點問題.因此，在變化中找到不變的性質(zhì)是解決“動點”探究題的基本思路，這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質(zhì).在教學中確立這種“化動為靜，靜觀其變”的觀點，可以使學生在解題時開拓視野，對于提高學生思考問題、解決問題的能力著不可估量的影響.

3 代數(shù)與幾何互化

3.1 概念界定與背景

唯物辯證法指出， 客觀事物是發(fā)展變化的，不同事物間存在著種種聯(lián)系， 各種矛盾無不在一定的條件下轉(zhuǎn)化[3].著名數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形本是兩依依，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形相助雙翼飛”.這說明在初中數(shù)學中，代數(shù)與幾何是密不可分的，形成你中有我，我中有你.

3.2 教學實施

在遇到一些代數(shù)問題時，根據(jù)已知條件中特有的形式與特征，利用圖形轉(zhuǎn)化為幾何問題有時候更利于解決問題.幾何問題也是如此.在教學中我們?nèi)绾稳ミM行代數(shù)與幾何的互化呢？例如在講解一元二次方程組時，我們會利用圖形法求解一元二次方程組所構(gòu)成的區(qū)域面積.

問題：直線y1、y2的圖形分別是怎么樣的？與坐標軸相交后的圖形面積怎么求？

這個問題是典型的代數(shù)問題，但是用代數(shù)思維我們無法快速求解，也就是如果借助函數(shù)圖象學生很難做出來，所要先引導(dǎo)學生畫出兩條直線的圖象，再去求交點問題和面積就很簡單了.

根據(jù)圖象可得交點P為(2， 1)

代數(shù)與幾何是初中數(shù)學的主體內(nèi)容，我們要在教學中滲透代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化的辯證思想，讓學生學會對問題的轉(zhuǎn)化，用不同的角度去思考問題，對問題進行數(shù)形結(jié)合，這對學生的解決問題能力十分重要.

4 聯(lián)系與發(fā)展

4.1 概念界定及背景

唯物辯證法告訴我們，事物之間存在著普遍的相互聯(lián)系，而且還在不斷地變化與發(fā)展[3].在數(shù)學教學中，聯(lián)系是指數(shù)學知識之間存在著某種共性，并且由此共性能發(fā)展成下一個知識點，知識點之間存在的包含關(guān)系.

4.2 教學實施

在教學中，我們不光是要學習一種知識，而是要從中找到知識的聯(lián)系點發(fā)展為一類連貫知識，由點形成面，又能從面中準確找到點的位置，用聯(lián)系與發(fā)展的觀點看待知識，學生就會明白所學的知識都不是單獨存在的、靜止的，而是可以由點成面地存在著相互聯(lián)系和變化發(fā)展的.例如在學完平行四邊形一章節(jié)之后，要引導(dǎo)學生進行知識的總結(jié)，從中發(fā)現(xiàn)知識的聯(lián)系與發(fā)展.

請你歸納一下本章我們所學的知識，試著尋找它們之間的聯(lián)系點.

首先我們先從簡單的平行四邊形出發(fā)，由邊的特性可以得到菱形，由角的特性可以得到矩形，而正方形又是特殊的矩形，由此我們可以發(fā)現(xiàn)菱形和矩形都是由平行四邊演變而來，只不過一個是領(lǐng)邊相等，一個是有一個為直角.由此讓學生由一個點的知識點變成一個面的知識點，那學生在遇到有關(guān)矩形或菱形問題時就可以想到利用平行四邊形的相關(guān)知識求解，學生的知識面廣了，解決問題的能力自然就提升了.

5 可逆性思維

5.1 概念與背景

可逆思維是辯證思想的一部分，可逆是學生在遇到正向思維無法解決的問題時，要學會“倒”著思考問題，改變思考問題的角度的方向分析問題.

5.2 教學實施

在初中數(shù)學中，運用可逆思維解決問題還是很多的， 比如：完全平方差公式的逆運算，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)等.在一般考試中出現(xiàn)正面解決問題的比較少，更多的是可逆的和綜合性的.所以，教師在教學時，要有意識地引導(dǎo)學生對概念和公式進行剖析變式，培養(yǎng)其可逆性思維.比如在講解完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，有意識地引導(dǎo)學生對此公式進行逆用.

(1) 計算1.232+0.762+2.46×0.76；

問題：這三個題目怎么計算？

提示：(1)第一個題目直接就是完全平方公式的逆用，學生可自行完成.

分析：(2)對分母逆用平方差公式，這是學生思考該題目的難點，分母可以利用平方差公式解決.分母=(2 0082-1)+(2 0102-1)

=(2 008+1)(2 008-1)+(2 010+1)

(2 010-1)

=2 009×2 007+2 011×2 009.

至此，學生自然就能把這個問題解決了.

解決：(3)看著難其實簡單.第一步利用完全平方差展開：第二步展開之后看這些式子有沒有相似簡便算法；第三步解決問題.

在課堂中對學生多進行可逆思維的訓練，進行正逆向問題對比，學生能清晰地理解正問題的已知和所求正好是逆問題的所求和已知，解題思路相反，從列式上看運算也是互逆的.這樣學生對應(yīng)用題，特別是對逆問題的結(jié)構(gòu)特征，有深刻的認識，可逆性思維又得到培養(yǎng).培養(yǎng)學生的可逆性思維.

6 不可忽視的批判性思維

6.1 概念與背景

思維批判性的高層次表現(xiàn)為思維的論證性[4].擁有這種思維的學生看問題時總有自己獨特的見解，善于思考為什么，喜歡發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，他們會十分耐心地去判斷問題的真實性和根據(jù)，從而去偽存真，揭示問題正確的因果關(guān)系.

6.2 教學實施

在數(shù)學教學過程中，在教學過程中進行反思訓練，鼓勵學生大膽質(zhì)疑，引導(dǎo)學生進行辨析.教師要善于激發(fā)學生的批判性思維，多讓學生想一想“為什么要這么做？”“這樣的做法合不合理？”“怎樣做才是對的？”

例如在反比例教學中，有這樣一道練習題：

師：你為什么會想到這么做這個題目？

師：你覺得不等號的方向要改變嗎？

生：不用改變.

師：為什么不用改變呢？

生：應(yīng)該要改變吧，比較未知數(shù)的正負未定.

師：那你再想一想怎么做更合理呢？

生：可以分類討論和畫圖象.

在上面的教學過程中，老師利用學生比較容易犯的錯誤，可以通過類似不斷地詢問學生為什么，引導(dǎo)學生進行多方面思考，培養(yǎng)了學生的批判性思維.

基于辯證思維培養(yǎng)學生解決問題的能力，不僅僅只是上面闡述的六點，中學數(shù)學中的辯證關(guān)系是十分豐富的，作為一名教師，不僅是傳授知識，更重要的是通過知識的傳授，去培養(yǎng)學生辯證思考問題的習慣，提高學生的辯證思維能力.因此，既要讓學生在遇到問題時透過數(shù)學現(xiàn)象，抓住數(shù)學本質(zhì)，也要讓學生學會用運動和靜止的觀點看問題，尋找問題的聯(lián)系與發(fā)展，在代數(shù)問題與幾何問題中互化，對問題學會從反面思考，培養(yǎng)可逆思維，對問題要敢于質(zhì)疑，培養(yǎng)批判性思維，最終達到更好地培養(yǎng)學生問題解決能力.