周 寧,林新建

(1. 福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué)，福建福清，350319 2. 福清市教師進修學(xué)校，福建福清，350300)

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，學(xué)生對解析幾何的主要印象是運算量大、復(fù)雜，因此始終抱有畏難情緒，卷面上經(jīng)常出現(xiàn)“一設(shè)二聯(lián)立三韋達四放棄”.問題的根源在于對解析幾何基本思想的理解出現(xiàn)了偏差，片面認(rèn)為解析幾何就是算，缺少對問題的幾何思考.解析幾何的基本思想是坐標(biāo)法，但是坐標(biāo)法并不等同于代數(shù)運算，它的運算帶有幾何的特征[1].因此教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生用幾何的眼光去看解析幾何問題，幾何直觀與代數(shù)推理并進，探索簡潔的幾何問題代數(shù)化途徑，從而提高運算效率，化解解析幾何問題的難點.

基于以上的認(rèn)識，筆者整合教材及高考相關(guān)資源，設(shè)計一節(jié)高三微專題復(fù)習(xí)課“基于直觀想象的解析幾何‘幾何條件代數(shù)化’策略探析”.

1 教學(xué)過程設(shè)計

1.1 數(shù)學(xué)情境，感知“幾何條件代數(shù)化”背景

思考1：你如何求解這個問題？一般的步驟與過程是什么？

生：(預(yù)設(shè))從問題解決過程進行說明：設(shè)直線l的方程與點A，B坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程得到一元二次方程，利用韋達定理得到A，B坐標(biāo)關(guān)系……

思考2：在問題1的解決中，點與直線的坐標(biāo)化很輕松完成，問題解決的關(guān)鍵是如何對“點D與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系”這個幾何條件進行代數(shù)化.大家有哪些想法呢？

設(shè)計意圖：通過“點與圓的位置關(guān)系”讓學(xué)生體會解析幾何解決問題的手段就是將幾何問題進行代數(shù)化，并意識到解決問題的關(guān)鍵在于題意中幾何條件的代數(shù)化.

1.2 數(shù)學(xué)探究，抽象“幾何條件代數(shù)化”特征

生：(預(yù)設(shè))

①寫出圓的方程，將D的坐標(biāo)代入圓方程的左邊，判斷所得代數(shù)式的符號；

②計算D與圓心的距離，與半徑比較大?。?/p>

③轉(zhuǎn)化為“判斷∠ADB是銳角，直角還是鈍角”.

追問1：比較上述想法，哪種操作性更強？為什么？

生：選擇③.直觀上感覺①②代數(shù)化得到的結(jié)構(gòu)會比較復(fù)雜，①需要寫出圓的方程，②需要計算兩個長度.

追問2：如何對想法③進行代數(shù)化？

追問3：不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，請大家對上述3種想法進行代數(shù)化表達，判斷剛才的直觀想法是否正確.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過對思考2及追問的思考理解要實現(xiàn)幾何條件的代數(shù)化，關(guān)鍵在于對“幾何條件”特征的認(rèn)知，并初步感受到不同的認(rèn)知會對后續(xù)的運算復(fù)雜程度產(chǎn)生不同的影響，為“數(shù)學(xué)內(nèi)化，辨析‘幾何條件代數(shù)化’內(nèi)涵”作好鋪墊.

1.3 數(shù)學(xué)體悟，概括“幾何條件代數(shù)化”要義

思考3：上述過程我們是如何將幾何條件代數(shù)化？

生：如果現(xiàn)有的幾何條件已經(jīng)具有明顯的代數(shù)特征，可以直接代數(shù)化.還可以對已有的幾何條件挖掘相關(guān)的幾何性質(zhì)，再進行代數(shù)化.

師：解析幾何，顧名思義，對“幾何問題”進行解析，通過代數(shù)運算和推理研究幾何圖形.解析幾何問題解決的三步曲：

圖1

其中，首要的問題是將幾何圖形的要素和特征進行坐標(biāo)化，問題的難點在于幾何特征如何進行代數(shù)化.從問題1的解決過程我們可以看出轉(zhuǎn)化的過程大致是：幾何問題→(幾何性質(zhì))→代數(shù)問題.對于幾何條件性質(zhì)的挖掘如果比較充分，得到的幾何特征代數(shù)化的形式比較簡潔.

思考4：你能挖掘以下常見幾何條件的幾何性質(zhì)嗎？

表1

追問：通過上述表格，我們可以發(fā)現(xiàn)，我們代數(shù)化的常見對象就是長度、角度，在實際問題解決中還會遇到面積，那么針對這三個對象我們的代數(shù)化手段有哪些呢？

生：長度的代數(shù)化的手段有兩點距離公式、向量的模、直線參數(shù)方程t的幾何意義；角度的代數(shù)化手段有斜率、向量夾角；面積的代數(shù)化手段有三角形面積公式.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生將前面的認(rèn)知進行一個總結(jié)，明確代數(shù)化的策略，意識到圖形及幾何性質(zhì)的重要性.通過思考4學(xué)生感受到幾何問題可以挖掘不同的幾何性質(zhì)，進而思考如何選擇幾何性質(zhì)進行代數(shù)化表達.學(xué)生的初步感受是與代數(shù)化的對象有關(guān)，為下一步“辨析內(nèi)涵”埋下伏筆.

1.4 數(shù)學(xué)內(nèi)化，辨析“幾何條件代數(shù)化”內(nèi)涵

師：通過上述的分析，我們知道，幾何條件代數(shù)化的關(guān)鍵就是對幾何條件挖掘相關(guān)的幾何性質(zhì)，得到對應(yīng)的代數(shù)特征，用坐標(biāo)代入實現(xiàn)代數(shù)化.現(xiàn)在我們再來體會一下幾何條件代數(shù)化過程.

思考5：你的結(jié)論是什么？為什么？

生：直線PB與圓Q是相切的.

思考6：那么你對幾何關(guān)系“直線PB與圓Q相切”有哪些代數(shù)化的手段呢？

學(xué)生活動：(預(yù)設(shè))

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

解法一：(幾何轉(zhuǎn)化)圓心到直線的距離等于半徑→點Q到直線PA，PB的距離相等.

解法二：點Q到直線PA，PB的距離相等?∠APQ=∠BPQ.

(數(shù)量)視角1 角→斜率

∠APQ=∠BPQ?tan ∠APQ=tan ∠BPQ，

又∵kPA=tan ∠APQ，kPB=tan (π-∠BPQ)=-tan ∠BPQ，

視角2 角→向量夾角

思考7：回顧上述幾種解法，能說說你對幾何條件代數(shù)化途徑的認(rèn)識嗎？

生：可以從數(shù)與形兩個方向切入，要結(jié)合圖形去挖掘幾何性質(zhì)，或根據(jù)數(shù)的關(guān)系去發(fā)現(xiàn)對應(yīng)圖形的幾何性質(zhì).

師：不同方向得到初始的代數(shù)化結(jié)構(gòu)不同，有的復(fù)雜，有的簡單，但最終運算化簡得到的代數(shù)結(jié)構(gòu)是相同的.不同的選擇，運算的復(fù)雜程度不一樣，具體哪種選擇更優(yōu)，取決于對應(yīng)代數(shù)特征的代數(shù)化表達.需要注意的是，這個表達一定要結(jié)合圖形去判斷，例如，線段的表達一定是復(fù)雜的嗎？一定是用距離公式表達嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過對問題2圖形幾何性質(zhì)的不同層次和方向的挖掘體會到不同幾何性質(zhì)得到的初始代數(shù)結(jié)構(gòu)不同，并明確要結(jié)合圖形進行策略上的選擇.

1.5 數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化“幾何條件代數(shù)化”理解

圖2

(1) 求動點P的軌跡方程.

(2) 設(shè)直線PA和BP分別與直線x=3交于點M、N，問：是否存在點P，使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

思考8：“△PAB與△PMN的面積相等”如何進行代數(shù)化會使得結(jié)構(gòu)較為簡單？

思考9：能否進一步挖掘問題的幾何性質(zhì)？

圖3

解法2：如圖3，連接AN，BM，延長AB交NM于點Q.

同理知B是線段AQ的中點，則AM，BN是ANQ的中線，故點P是△ANQ的重心.

課堂小結(jié)：

思考10：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對“幾何條件代數(shù)化”有什么體會？

生(預(yù)設(shè))：對于解析幾何問題，要先用幾何眼光觀察與思考，要重視對圖形幾何性質(zhì)的挖掘，結(jié)合圖形判斷哪一種幾何性質(zhì)的代數(shù)化表達會比較簡潔，再用坐標(biāo)法解決.

板書設(shè)計：

圖4

2 教學(xué)反思

解析幾何問題本質(zhì)上是“幾何問題”，對幾何對象的思考應(yīng)放在首位，也就是要有“先用幾何眼光觀察與思考，發(fā)現(xiàn)與挖掘圖形的幾何性質(zhì)，再用坐標(biāo)法解決”的意識，使幾何直觀成為分析問題、解決問題的利器.

2.1 幾何直觀的理解是解幾問題解決的前提

解析幾何問題代數(shù)化的策略上就是從數(shù)、形兩個方向思考，若只從代數(shù)角度去認(rèn)識，就可能造成問題的代數(shù)化表達比較困難或結(jié)構(gòu)復(fù)雜，因而需要圖形的支撐.通過分析幾何圖形的要素及其性質(zhì)，借助“形”的直觀思考“數(shù)”的表達，結(jié)合圖形的幾何特征感知數(shù)量關(guān)系及本質(zhì)屬性，有助于學(xué)生理解問題，尋求問題解決的思路.正如問題2中，學(xué)生通過“形”(直線與圓相切)到“數(shù)”(點到直線的距離)再到“形”(角相等)一系列的過程感受到“數(shù)”“形”之間的轉(zhuǎn)化，尤其是對“形”(角相等)進一步的思考，又可以得到“數(shù)”(斜率關(guān)系)或基于“形”(三角形相似、角平分線)得到“數(shù)”(線段關(guān)系)或基于“形”(對稱)得到“數(shù)”(點坐標(biāo)關(guān)系)等.這些“形”“數(shù)”關(guān)系的轉(zhuǎn)化依賴于學(xué)生對“形”的直觀理解水平，不同水平影響問題解決.

2.2 直觀想象的提升需幾何活動經(jīng)驗的積累

學(xué)生幾何活動經(jīng)驗的體驗和積累是直觀想象素養(yǎng)獲得和提升的有效途徑.設(shè)計有效的活動，讓學(xué)生有充裕的時間思考，多角度去探索、挖掘圖形的幾何性質(zhì)，理解“形”的代數(shù)表達，同時在積累中獲得對常見幾何圖形性質(zhì)的經(jīng)驗，再根據(jù)情境進行合理的選擇，體會解析幾何問題的研究思路、方法和思維.

總之，解析幾何教學(xué)不只是要培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力，更為重要的是要提高學(xué)生的幾何直觀能力，提升直觀想象素養(yǎng).