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        核心素養(yǎng)下教材例題的探究性學(xué)習(xí)例談與思考

        2022-10-17 10:51:32嚴(yán)艷華夏小剛
        數(shù)學(xué)之友 2022年15期
        關(guān)鍵詞:探究數(shù)學(xué)學(xué)生

        靳 朋,嚴(yán)艷華,夏小剛

        (貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州貴陽,550025)

        1 習(xí)題解答,探究性學(xué)習(xí)起始點(diǎn)

        人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)《5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換》一節(jié)中,練習(xí)第2題是一道求扇形內(nèi)接矩形面積的習(xí)題,它是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)、和(差)角公式、二倍角公式和輔助角公式等必備知識(shí)的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)的.在課堂教學(xué)中,教師不應(yīng)只滿足于簡(jiǎn)單地就題論題的講解、分析、總結(jié),這樣只能讓學(xué)生簡(jiǎn)單鞏固所學(xué)內(nèi)容,而很難達(dá)到對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的深度學(xué)習(xí).教師可以將課本例題和習(xí)題作為探究性學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生尋找探究學(xué)習(xí)中有關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)素材,做好類比、歸納等變式教學(xué),找準(zhǔn)探究性學(xué)習(xí)的恰當(dāng)時(shí)機(jī),只有這樣,才能對(duì)例題和習(xí)題作探究式學(xué)習(xí),不但可以提升學(xué)生問題探究的思維活躍度,還可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

        例1要在半徑為R的圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形花壇,用什么方法截取才能使花壇的面積最大?

        圖1

        分析:將圓形場(chǎng)地內(nèi)建成一個(gè)最大矩形花園就是求圓內(nèi)接最大矩形.如圖1,當(dāng)邊AB固定時(shí),內(nèi)接矩形面積的大小取決于點(diǎn)C所在圓弧上的位置,而∠BAC的大小又決定點(diǎn)C所在的位置.由此可先建立矩形面積關(guān)于∠BAC的函數(shù),再求此函數(shù)的最大值即得圓內(nèi)接最大矩形的面積.

        啟示:數(shù)學(xué)知識(shí)既是數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ),又是數(shù)學(xué)思考的結(jié)果.通過對(duì)上面題目的分析和解答,可以看出,內(nèi)接矩形面積的大小可以由圓弧上點(diǎn)的位置來確定:先設(shè)圓心角,建立起內(nèi)接矩形面積關(guān)于圓心角的三角函數(shù),再通過三角函數(shù)的有界性找出特殊點(diǎn),從而求出內(nèi)接矩形面積的最大值.所以,在實(shí)際教學(xué)中,我們不應(yīng)該只滿足于對(duì)三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用和基礎(chǔ)知識(shí)鞏固,更要擅于歸納、整理和提煉其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.探究始于問題、問題引領(lǐng)探究,正如課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“在倡導(dǎo)積極主動(dòng)的探究式學(xué)習(xí)過程中,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”[1].因此在數(shù)學(xué)課堂中,教師應(yīng)當(dāng)帶動(dòng)學(xué)生參與問題的探究活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程,發(fā)展學(xué)生的思維能力和知識(shí)遷移能力.

        2 方法類比,探究性學(xué)習(xí)關(guān)鍵點(diǎn)

        類比是在事物之間進(jìn)行的,由特殊到特殊的推理形式[2].類比思維強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的共通與轉(zhuǎn)化,主要包括聯(lián)想和比較兩種形式,聯(lián)想是指依據(jù)新信息聯(lián)想起舊知識(shí),比較是指在新舊知識(shí)間建立聯(lián)系,找出相似點(diǎn)或不同點(diǎn)[3].它不僅是科學(xué)探究中最常用的基本方法之一,也是進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的初級(jí)過程和必備知識(shí)要求.

        類比思維注重由典型例題引出新問題,即由特殊題目類比聯(lián)想,猜想到一般性的結(jié)論并加以證明,使得探究環(huán)環(huán)相扣,并且做到由淺入深,由現(xiàn)象到本質(zhì).通過不斷嘗試、探究,既能讓學(xué)生鞏固之前所學(xué)的知識(shí),又能體會(huì)數(shù)形結(jié)合、歸納類比,多題歸一等數(shù)學(xué)方法,達(dá)到“既見樹木,又見森林”的效果.

        2.1 從圓內(nèi)接矩形類比到半圓內(nèi)接矩形

        變式1如圖2,要在半徑為R的半圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形的花壇,應(yīng)怎樣截取,才能使花壇的面積最大?

        分析:在半圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)面積最大矩形的花壇.可以先確定半圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn),則剩下三個(gè)頂點(diǎn)也隨之而定,所以此時(shí)只要設(shè)出圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),便能求解.

        圖2

        啟示:將圓類比得到一個(gè)半圓后,同樣可通過角來設(shè)圓上點(diǎn),利用三角函數(shù)的有界性,求圓內(nèi)接最大矩形的面積,通過改變題目條件或結(jié)論,進(jìn)行探究性學(xué)習(xí),可以有效提升學(xué)生對(duì)所學(xué)方法的靈活應(yīng)用能力,激活解題思維.

        2.2 從半圓內(nèi)接矩形類比為四分之一圓內(nèi)接矩形

        圖3

        變式2如圖3,要在半徑為R的四分之一圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形的花壇,應(yīng)怎樣截取,才能使花壇的面積最大?

        分析:由變式1可以看出,圖形具有很好的對(duì)稱性質(zhì),對(duì)于本題也是一種啟發(fā),可以采用“先猜后證”,即,先根據(jù)特殊點(diǎn)(弧中點(diǎn)),特殊圖形(正方形)猜出結(jié)論,再證明一般情況.

        啟示:用三角函數(shù)和基本不等式來探求多種解法,幫助學(xué)生樹立用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的意識(shí),學(xué)生在探究過程中能更深刻感悟知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系.在理解鞏固并靈活運(yùn)用知識(shí)的基礎(chǔ)上,深層次啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,從而培養(yǎng)學(xué)生的多向思維、歸納能力和創(chuàng)造性思維.

        2.3 從四分之一圓類比到圓心角為60°的扇形

        圖4

        分析:矩形ABCD因C而定,因此設(shè)置參數(shù)α.只需要借助參數(shù)和半徑表示出矩形ABCD的相鄰兩邊長(zhǎng),再應(yīng)用三角恒等變換,將面積表示為三角函數(shù),最后利用三角函數(shù)性質(zhì)直接求解.

        啟示:波利亞認(rèn)為,類比是偉大的引路人.通過課本例題,從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手,引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法探索新知識(shí).由圓類比到半圓,由半圓到四分之一圓,再到圓心角為60°的扇形,在圓的解題方法和思想中得到了其他圖形的解題方法,具有很好的教育價(jià)值.不難看出,在圓類比的過程中也蘊(yùn)含了普遍性與特殊性的辯證關(guān)系,學(xué)生在無形中也運(yùn)用了哲學(xué)思想來思考問題,看待問題的角度和方式也更科學(xué)合理.

        3 分類討論探究性學(xué)習(xí)接力點(diǎn)

        把所有探究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求分成若干類,轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決.這種按不同情況分類,然后再逐一探究解決的數(shù)學(xué)思想,被稱為分類討論思想[4].分類討論思想可以應(yīng)用于多種題型,除應(yīng)用于四分之一圓內(nèi)接矩形這一情形外,還可用于四分之一圓內(nèi)接矩形在圓弧上有兩個(gè)頂點(diǎn)的情形,所以求四分之一圓最大內(nèi)接矩形需按圓弧上點(diǎn)的個(gè)數(shù)為一個(gè)或兩個(gè)進(jìn)行分類討論,這是開展探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的主干內(nèi)容之一,也是支撐探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)順利開展的關(guān)鍵點(diǎn)和支撐點(diǎn).

        3.1 從內(nèi)接矩形一個(gè)頂點(diǎn)在弧上變?yōu)閮蓚€(gè)頂點(diǎn)在圓弧上

        圖5

        變式4如圖5,要在半徑為R的四分之一圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形的花壇,A,B兩點(diǎn)在圓弧上,求這個(gè)花壇的面積最大值.

        解:過點(diǎn)O作矩形AB邊的垂線OP交圓弧于點(diǎn)P,則根據(jù)對(duì)稱性,點(diǎn)P為四分之一圓弧的中點(diǎn).設(shè)∠BOP=θ,則

        3.2 從圖形語言表述轉(zhuǎn)向文字語言表述

        變式5求四分之一圓內(nèi)接矩形面積的最大值.

        分析:因?yàn)閳A弧上只有一個(gè)或兩個(gè)矩形的頂點(diǎn),所以四分之一圓內(nèi)接矩形有且只有變式2和變式4兩種情形,因而求四分之一圓內(nèi)接矩形面積的最大值,只需比較兩種情形下的最大值即可.

        分析:由圓弧上只有一個(gè)或兩個(gè)矩形的頂點(diǎn)可知,半徑為R、圓心角為60°的扇形內(nèi)接矩形有且只有兩種情形,如圖6所示.

        圖6

        4 歸納拓展,探究性學(xué)習(xí)的延伸點(diǎn)

        歸納是從個(gè)別性的前提推導(dǎo)出一般性結(jié)論的推理方法,其實(shí)質(zhì)是從已經(jīng)驗(yàn)證過的事物中推斷出未經(jīng)驗(yàn)證的事物,它是從特殊推向一般的合情推理.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,有選擇性地讓學(xué)生體驗(yàn)探究一些歸納拓展的推理過程十分重要,它往往是探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中的生長(zhǎng)點(diǎn).

        分析:本題是求扇形內(nèi)接矩形面積的最大值,可以理解為在扇形中如何裁剪出最大的矩形,可以看出,矩形的頂點(diǎn)至少有一個(gè)在扇形的圓弧上才能使其面積最大,所以要分在圓弧上的頂點(diǎn)為一個(gè)或兩個(gè)來求內(nèi)接矩形面積的最大值,再比較兩種情形下的最大值,從而求得扇形內(nèi)接矩形面積的最大值.

        圖7

        啟示:在教學(xué)中,教師應(yīng)借“題”發(fā)揮,小“題”大做,引導(dǎo)學(xué)生全面、深入、創(chuàng)造性地研究經(jīng)典例題.正如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相所說:“很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展其教育功能的可能性……,從解本題到轉(zhuǎn)向獨(dú)立地提出類似的問題和解答這些問題,這個(gè)過程顯然在擴(kuò)大解題的‘武器庫’,學(xué)生利用類比和概括的能力在形成;辯證思想的獨(dú)立性以及創(chuàng)造素質(zhì)也在發(fā)展.”因此,讓學(xué)生在理解題目的基礎(chǔ)上,多角度、全方位深層次地針對(duì)習(xí)題開展探究性學(xué)習(xí)活動(dòng),并獨(dú)立地提出一些與此有關(guān)的問題或結(jié)論,是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑之一.

        5 教學(xué)啟示

        5.1 解答習(xí)題,發(fā)掘研究性學(xué)習(xí)素材

        關(guān)注習(xí)題解答,是提高教師教學(xué)效率的重要方式,更是提升學(xué)生解題能力的重要途徑.通過對(duì)教材的挖掘、探究、拓展、變式的思想理念,為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”提供機(jī)會(huì),讓學(xué)生把具有共性的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行條理化和系統(tǒng)化,以達(dá)到優(yōu)化知識(shí)、開拓視野、活躍思維的目的.同時(shí)在開展探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程中,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與提升,總結(jié)出解題的通性通法,為下一步的探究做好準(zhǔn)備,讓學(xué)生的“再創(chuàng)造”過程從被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng).

        5.2 類比求解,揭示類比數(shù)學(xué)思想方法與思維的形成

        張奠宙教授指出:“數(shù)學(xué)教育的核心是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì).”數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么?從教育者角度看,數(shù)學(xué)的本質(zhì)應(yīng)該包括數(shù)與形的客觀規(guī)律、知識(shí)所處的背景、地位、作用、聯(lián)系、區(qū)別及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、思維過程[5].應(yīng)用探究所得結(jié)論進(jìn)行解題,是探究學(xué)習(xí)的坐標(biāo)體現(xiàn).利用例題所得出的解題思路和方法,對(duì)例題作一般化的推廣處理是數(shù)學(xué)的學(xué)科特征,是理性思維的體現(xiàn).運(yùn)用類比思想,從“特殊到一般”的思維過程,落實(shí)“理性思維”的育人目標(biāo).

        5.3 歸納延伸,留下繼續(xù)探究的“上升通道”

        研究性學(xué)習(xí)不僅要做好知識(shí)層面、思想方法層面、學(xué)習(xí)方法層面的歸納,還要在歸納的基礎(chǔ)之上,運(yùn)用發(fā)散的類比思維做好延伸.

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